高中生能听懂的有关三大几何作图难题的探讨

高中生能听懂的有关三大几何作图难题的探讨第一页，共二十六页，2022年，8月28日1.尺规作图的由来尺规作图是起源于古希腊(公元前800年-公元前146年)的数学课题。只使用圆规和没有刻度的直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。欧几里得在《几何原本》中对规则作了总结。

第二页，共二十六页，2022年，8月28日2.尺规作图的基本方法（1）通过两个已知点可作一直线。

（2）已知圆心和半径可作一个圆。

（3）若两已知直线相交，可求其交点。

（4）若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。

（5）若两已知圆相交，可求其交点。第三页，共二十六页，2022年，8月28日3.尺规作图的五种基本图形（1）作一个角等于已知角

（2）平分已知角

（3）作已知直线的垂直平分线

（4）作一条线段等于已知线段

（5）过一点作已知直线的垂线第四页，共二十六页，2022年，8月28日4.三大几何问题（1）化圆为方求作一正方形，使其面积等于一已知圆（2）三等分角分任意角为三等分（3）倍立方体求作一正方体，使其体积等于已知正方体体积的2倍。第五页，共二十六页，2022年，8月28日作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。三大几何问题（1）：化圆为方第六页，共二十六页，2022年，8月28日你能把长方形化为等面积的正方形吗？作图演示第七页，共二十六页，2022年，8月28日阿基米德（约公元前287～前212），古希腊伟大的数学家、力学家。后人常把阿基米德和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。阿基米德的非尺规作图“化圆为方”第八页，共二十六页，2022年，8月28日阿基米德螺线你能想象吗？时钟上的指针在作匀速转动，假如有一只小虫子从时钟的中心，沿指针作匀速爬动，那么虫子最终走出的轨迹是怎么样的？几何画板演示阿基米德的非尺规作图“化圆为方”第九页，共二十六页，2022年，8月28日阿基米德螺线的简单画法

有一种最简单的方法画出阿基米德螺线，如图4，用一根线缠在一个线轴上，在其游离端绑上一小环，把线轴按在一张纸上，并在小环内套一支铅笔，用铅笔拉紧线，并保持线在拉紧状态，然后在纸上画出由线轴松开的线的轨迹，就得到了阿基米德螺线。阿基米德螺线的简单画法

有一种最简单的方法画出阿基米德螺线，如图4，用一根线缠在一个线轴上，在其游离端绑上一小环，把线轴按在一张纸上，并在小环内套一支铅笔，用铅笔拉紧线，并保持线在拉紧状态，然后在纸上画出由线轴松开的线的轨迹，就得到了阿基米德螺线。阿基米德螺线的简单画法

有一种最简单的方法画出阿基米德螺线，如图4，用一根线缠在一个线轴上，在其游离端绑上一小环，把线轴按在一张纸上，并在小环内套一支铅笔，用铅笔拉紧线，并保持线在拉紧状态，然后在纸上画出由线轴松开的线的轨迹，就得到了阿基米德螺线。阿基米德螺线的简单画法

有一种最简单的方法画出阿基米德螺线，如图，用一根线缠在一个线轴上，在其游离端绑上一小环，把线轴按在一张纸上，并在小环内套一支铅笔，用铅笔拉紧线，并保持线在拉紧状态，然后在纸上画出由线轴松开的线的轨迹，就得到了阿基米德螺线。阿基米德的非尺规作图“化圆为方”第十页，共二十六页，2022年，8月28日阿基米德螺线化圆为方阿基米德的非尺规作图“化圆为方”第十一页，共二十六页，2022年，8月28日达芬奇式化圆为方意大利著名艺术大师达芬奇利用巧妙方法来解决化圆为方.达芬奇的非尺规作图“化圆为方”第十二页，共二十六页，2022年，8月28日π是一个超越数化圆为方能用尺规作图“化圆为方”的本质第十三页，共二十六页，2022年，8月28日三大几何问题（2）：三等分角先退一步任意给你一个角，你能把它而等分吗？第十四页，共二十六页，2022年，8月28日三大几何问题（2）：三等分角任意给你一个角，请你把它三等分。这么简单的事，居然是历史难题！第十五页，共二十六页，2022年，8月28日阿基米德的非尺规作图“三等分角”第十六页，共二十六页，2022年，8月28日非尺规作图“三等分角”OABRR母线：3R底面半径：R3R3RBAV1896年，奥布里给出圆锥妙法第十七页，共二十六页，2022年，8月28日非尺规作图“三等分角”OABOAB第十八页，共二十六页，2022年，8月28日没有有理根第十九页，共二十六页，2022年，8月28日三大几何问题（3）：倍立方体作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍第二十页，共二十六页，2022年，8月28日据说，公元前四百多年，在古希腊雅典流行伤寒病。万分惊惶的雅典人，向太阳神阿波罗祈祷消除灾难。太阳神指示：要消灾免祸，必须把殿前立方体香案的体积扩大两倍。雅典人听了非常高兴，觉得这个要求很容易办到。于是就把香案的各条棱都扩大了两倍，做了个新立方体香案。不料太阳神大为震怒。原来新香案的体积并不是旧香案的两倍，而是旧香案的八倍。那么，怎样才能把立方体香案的体积正好扩大两倍呢？如果设原来香案的棱长为1，新香案的棱长就必须是2的立方根。当时没人能解决的。于是，只好去请教久负盛名的大学者柏拉图。非尺规作图“倍立方体”第二十一页，共二十六页，2022年，8月28日柏拉图先画了两条互相垂直相交于O点的直线m和l，在l上截取线段OC＝1；在m上截取线段OD＝2。再把两个木匠用的角尺，像下图那样放在上面，使两把角尺的直角点A、B，分别在两条直线上，并且另外两条臂分别通过C、D两点(如图)：非尺规作图“倍立方体”第二十二页，共二十六页，2022年，8月28日作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍不是有理根第二十三页，共二十六页，2022年，8月28日（1）三等分任意角（2）倍立方直尺与圆规不能做出一般的立方根（无理数）三等分任意角和倍立方不可能尺规作图（3）化圆为方π是一个超越数，即是一个不能通过有理系数求根得到的数。化圆为方也不可能尺规作图第二十四页，共二十六页，2022年，8月28日从方程角度理解“尺规作图”（1）通过两个已知点可作一直线。

（2）已知圆心和半径可作一个圆。

（3）若两已知直线相交，可求其交点。

（4）若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。

（5