二次根式 省赛一等奖

7二次根式第1课时二次根式的概念及性质一、基本目标1．了解二次根式及最简二次根式的概念．2．会化简二次根式．3．理解并掌握二次根式的性质．二、重难点目标【教学重点】二次根式及最简二次根式的概念．【教学难点】化简二次根式．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P41～P42的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．一般地，形如eq\r(a)(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数．强调条件：a≥0、eq\r(a)≥0，也就是说二次根式具有双重非负性.2．积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积；商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根.3．乘法法则的推广：eq\r(a·b·c…n)＝eq\r(a)·eq\r(b)·eq\r(c)…eq\r(n).4．下列式子中，不是二次根式的是(B)A．eq\r(45) B．eq\r(－3)C．eq\r(a2＋3) D．eq\r(\f(2,3))5．计算：eq\r×22500)＝21；eq\r(5\f(4,9))＝eq\f(7,3).环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生对学)【例1】当x________，eq\r(x＋3)＋eq\f(1,x＋1)在实数范围内有意义．【互动探索】(引发学生思考)二次根式有意义要满足什么条件？本题是否还要考虑其他条件？【解答】要使eq\r(x＋3)＋eq\f(1,x＋1)在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．【例2】化简下列二次根式．(1)eq\r(48)；(2)eq\r(8a3b)(a≥0，b≥0)；(3)eq\r(－36×169×－9).【互动探索】(引发学生思考)如何化简二次根式？什么样的二次根式是最简二次根式？【解答】(1)eq\r(48)＝eq\r(16×3)＝eq\r(16)×eq\r(3)＝4eq\r(3).(2)eq\r(8a3b)＝eq\r(22·a2·2ab)＝eq\r(2a2)·eq\r(2ab)＝2aeq\r(2ab).(3)eq\r(－36×169×－9)＝eq\r(36×169×9)＝6×13×3＝234.【互动总结】(学生总结，老师点评)①若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数，如(3)题．②将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式)，即化为最简二次根式．活动2巩固练习(学生独学)1．下列二次根式中的最简二次根式是(A)A．eq\r(30) B．eq\r(12)C．eq\r(8) D．eq\r(\f(1,2))2．下列各式正确的是(D)A．eq\r(－4×－9)＝eq\r(－4)×eq\r(－9)B．eq\r(16＋\f(9,4))＝eq\r(16)×eq\r(\f(9,4))C．eq\r(4\f(4,9))＝eq\r(4)×eq\r(\f(4,9))D．eq\r(4×9)＝eq\r(4)×eq\r(9)3．把eq\r(200)化成最简二次根式是10eq\r(2).环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次根式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(定义\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(形如\r(a)a≥0的式子,有意义的条件：a≥0)),性质：\r(a)2＝aa≥0，\r(a2)＝aa≥0,最简二次根式))请完成本课时对应练习！第2课时二次根式的四则运算一、基本目标1．了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的．2．会进行简单的二次根式乘除以及加减运算．二、重难点目标【教学重点】二次根式的四则运算．【教学难点】合并同类二次根式．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P43～P45的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．分别把下面两个式子：eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)，eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)等号的左边和右边对换，就得到二次根式的乘法法则和除法法则：eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)；除法法则：eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0).2．二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根式，然后再将被开方数相同的二次根式分别合并．有括号时，要先去括号．3．计算：(1)eq\r(\f(1,3))×eq\r(27)；(2)eq\f(\r(3),\r(5))；(3)eq\r(80)－eq\r(45)；(4)(2eq\r(5)－eq\r(2))2.解：(1)3.(2)eq\f(\r(15),5).(3)eq\r(5).(4)22－4eq\r(10).环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生对学)【例1】计算：(1)2eq\r(3)－6eq\r(3)；(2)eq\r(80)－eq\r(20)＋eq\r(5)；(3)eq\f(2,3)eq\r(9x)＋6eq\r(\f(x,4))－2xeq\r(\f(1,x)).【互动探索】(引发学生思考)(1)直接把二次根式合并．(2)、(3)先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数中相同的二次根式合并．【解答】(1)2eq\r(3)－6eq\r(3)＝－4eq\r(3).(2)eq\r(80)－eq\r(20)＋eq\r(5)＝4eq\r(5)－2eq\r(5)＋eq\r(5)＝3eq\r(5).(3)eq\f(2,3)eq\r(9x)＋6eq\r(\f(x,4))－2xeq\r(\f(1,x))＝2eq\r(x)＋3eq\r(x)－2eq\r(x)＝3eq\r(x).【互动总结】(学生总结，老师点评)将各二次根式化简为最简二次根式，然后将被开方数相同的项合并．活动2巩固练习(学生独学)1．计算3eq\r(2)－eq\r(2)的值是(D)A．2 B．3C．eq\r(2) D．2eq\r(2)2．计算eq\r(3)×eq\r(5)的结果是(B)A．eq\r(8) B．eq\r(15)C．3eq\r(5) D．5eq\r(3)3．若最简二次根式eq\r(3a－8)与eq\r(17－2a)可以合并，则a＝5.4．计算：(1)eq\f(\r(15),\r(3))；(2)eq\r(6)×eq\r(15)×eq\r(10)；(3)eq\r(32)－eq\r(8)；(4)2eq\r(12)＋3eq\r(48).解：(1)eq\r(5).(2)30.(3)2eq\r(2).(4)16eq\r(3).活动3拓展延伸(学生对学)【例2】计算：(2eq\r(3)＋3eq\r(2)－eq\r(6))(2eq\r(3)－3eq\r(2)＋eq\r(6))．【互动探索】将括号内的各项重新结合，构成平方差公式，再结合完全平方公式展开并化简．【解答】原式＝[2eq\r(3)＋(3eq\r(2)－eq\r(6))][2eq\r(3)－(3eq\r(2)－eq\r(6))]＝(2eq\r(3))2－(3eq\r(2)－eq\r(6))2＝12－(18－12eq\r(3)＋6)＝12eq\r(3)－12.【互动总结】(学生总结，老师点评)结合题目特点使用适当的运算方法，可以减少计算量．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次根式的四则运算eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(乘除法则,加减法则,乘法公式))请完成本课时对应练习！第3课时二次根式的混合运算一、基本目标正确进行二次根式的四则混合运算．二、重难点目标【教学重点】二次根式的混合运算．【教学难点】运用二次根式的混合运算解决问题．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P46～P47的内容，完成下面练习．【3min反馈】计算：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(8,27))－5\r(3)))×eq\r(6)；(2)(5＋eq\r(6))(5eq\r(2)－2eq\r(3))；(3)(2eq\r(3)＋3eq\r(2))×(2eq\r(3)－3eq\r(2))；(4)(4＋3eq\r(5))2.解：(1)eq\f(4,3)－15eq\r(2).(2)19eq\r(2).(3)－6.(4)61＋24eq\r(5).环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生对学)【例1】教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米，如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用．(eq\r(2)≈【互动探索】(引发学生思考)可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论．【解答】贺卡的周长为4×(eq\r(288)＋eq\r(338))＝4×(12eq\r(2)＋13eq\r(2))＝4×25eq\r(2)≈(厘米)．∵1.5米＝150厘米，150>，∴李欣的彩带够用．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式．活动2巩固练习(学生独学)计算：(1)eq\r(\f(2,5))－eq\r(\f(1,10))；(2)eq\r(12)－eq\r(3)＋eq\r(\f(1,3))；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(18)－\r(\f(1,2))))×eq\r(8)；(4)2eq\r(75)＋eq\r(8)－eq\r(27).解：(1)eq\f(1,10)eq\r(10).(2)eq\f(4,3)eq\r(3).(3)10.(4)7eq\r(3)＋2eq\r(2).活动3拓展延伸(学生对学)【例2】已知a＝eq\f(1,\r(5)－2)，b＝eq\f(1,\r(5)＋2)，求eq\r(a2＋b2＋2)的值．【互动探索】要求代数式的值，可以先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，最后代入求解．【解答】∵a＝eq\f(1,\r(5)－2)＝eq\f(\r(5)＋2,\r(5)－2\r(5)＋2)＝eq\r(5)＋2，b＝eq\f(1,\r(5)＋2)＝eq\f(\r(5)－2,\r(5)＋2\r(5)－2)＝eq\r(