《应用光学》第一章例题

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1．P20习题1（部分）：已知真空中的光速c=3í108m/s,求光在火石玻璃（n=1.65）和XXX树胶（n=1.526）中的光速。解：按照折射率与光速的关系v

c

n=

可求得火石玻璃)/(10818.165

.11038

8

11smncv?=?==

XXX树胶)/(10966.1526

.110388

22smncv?=?==

3．P20习题5，

解：设水中一点A发出的光芒射到水面。

若入射角为I0（sinI0=n空/n水），则光芒沿水面掠射；据光路可逆性，即与水面趋于平行的光芒在水面折射进入水中一点A，其折射角为I0（临界角）。故以水中一点A为锥顶，半顶角为I0的圆锥范围内，水面上的光芒可以射到A点（入射角不同）。因此，游泳者向上仰望，不能感觉囫囵水面都是光明的，而只能看到一个光明的圆，圆的大小与游泳者所在处水深有关，如图示。满足水与空气分界面的临界角为75.033

.11

sin0==

I即'36480?=I，若水深为H，则光明圆的半径R=HtgI04.(P20习题7)

解：依题意作图如图按等光程条件有：

''''1OAnOGnMAnGMn?+?=?+?

即

.1)100(5.112

2

1+=+-?++OGyxxOG

所以

xyx-=+-?150)100(5.122

两边平方得

222)150(])100[(25.2xyx-=+-

2223002250025.245022500xxyxx+-=++-025.225.115022=++-yxx

0120231822=-+xxy——此即所求分界面的表达式。

其次章例题

1．（P53习题1）一玻璃棒（n=1.5），长500mm，两端面为半球面，半径分离为50mm和100mm，一箭头高1mm，垂直位于左端球面顶点之前200mm处的轴线上，如图所示。试求：1）箭头经玻璃棒成像后的像距为多少？2）囫囵玻璃棒的垂轴放大率为多少？解：依题意作图如图示。分析：已知玻璃棒的结构参数：两端面的半径、间隔和玻璃棒材料的折射率n，以及物体的位置和大小，

求经玻璃棒之后所成像的位置和大小。解决这一问题可以采纳近轴光学基本公式（2.13）和（2.15），即单个球面物像位置关系式和物像大小关系式，逐面举行计算。1）首先计算物体（箭头）经第一球面所成像的位置：据公式（2.13）有

1111111'''rnnlnln-=-，将数据代入得50

1

5.12023'5.11-=--l解得)(300

'1mml=；以第一球面所成的像作为其次球面的物，按照转面公式（2.5）可求出其次面物距

)(202300300'12mmdll-=-=-=

对其次球面应用公式（2.13）得

2222222'''rnnlnln-=-即100

5

.112023.1'12--=--l

计算得)(400'2mml-=——箭头经玻璃棒成像后，所成的像位于其次球面前方400mm处。2）垂轴放大率：据公式（2.15）有?-=-??==

1)

200(5.1300

1''11111lnlnβ；?=-?-?==

3)

200(1)

400(5.1''22222lnlnβ，所以?-=?-==33)1(21βββ2．（P55习题20）有一光学系统，已知f′=-f=100mm，总厚度（第一面到最后一面的距离）为15mm，lF′=96mm，lF=-97mm。求此系统对实物成放大10倍的实像时物距（离第一面）l1，像距（离最后一面）lk′及物像共轭距L。

解：依题意作图如图示。要求l1和lk′，只要分离求出x和x′即可，又因为系统对实物成放大10倍的实像，所以β=-10×

。

按照牛顿公式的物像大小关系'

'

fx-=β得

)(1000''mmfx=-=β

又''ffxx=，所以)(101000

)100(100''mmxffx-=-?==

)(107)97(101mmlxlF-=-+-=+=)(1096961000'''mmlxlFk=+=+=

而共轭距)(1218109615107'1mmldlLk=++=++-=

3．（P55习题14）由已知f1′=50mm，f2′=-150mm的两个薄透镜组成的光学系统，对一实物成一放大4倍的实像，并且第一透镜的放大率β1=-2×

，试求

1）两透镜的间隔；2）物像之间的距离；3）保持物面位置不变，移动第一透镜至何处时，仍能在原像面位置得到物体的清楚像？与此相应的垂轴放大率为多大？

解：1）依题意知组合系统的放大率β=-4×

，而21βββ=,β1=-2×

，所以β2=2×

，

由牛顿公式'

'

fx-

=β有)(100''111mmfx=-=β，则)(150'''111mmxfl=+=

又由高斯公式l

l'

=

β，有)(752150'111mmll-=-=

=β，同理，)(300''222mmfx=-=β，)(150300150'''222mmxfl=+-=+=

)(752

150

'

2

22mmll==

=

β第一个透镜所成的像即是第二个透镜的物，按照以上关系可得右图。由图可知两透镜的间隔

)(75'21mmlld=-=

2）物像之间的距离：

)(3007515075'21mmdllL=++=++-=

3）保持物面位置不变，而移动第一透镜时，为了保证仍能在原像面位置得到物体的清楚像，实际上只要保证第一透镜移动前后的物像共轭距L1不变即可。

由上述计算可得第一透镜的物像共轭距)(22575150'111mmllL=+=-=由题意可列出以下方程225'=-ll，

50

1

1'1=

-ll，两式联立解得：)(1501mml-=，)(75'1mml=和)(751mml-=，)(150'1mml=

其中其次个解是透镜本来的位置。两解之间的透镜位置相距Δd=-75-（-150）=75mm，即新的透镜位置在原位置之后75mm处，此时第一透镜对应的垂轴放大率为

2115075'1-=-==

llβ，故囫囵系统的垂轴放大率为122

121-=?-==βββ4．（补充）由已知f1′=500mm和f2′=-400mm的两透镜组合，二者的间隔为d=300mm。

求组合系统的焦距，像方焦点位置（lF′）及像方主点位置（lH′）。解：法1）双光组组合。求组合系统的焦距。由Δ=d-f1′+f2和?

-

='

''21fff得：Δ=300-500+400=200（mm），)(1000200

)

400(500'''21mmfff-=-?-=?-=——Fˊ点在Hˊ右方1000mm处；

)(800200

)

400(400''22mmffxF=-?-=?-

=所以)(400400800'''2mmfxlFF=-=+=——Fˊ点在L2右方400mm处，

)(6001000400'''mmfllFH-=-=-=

法2）近轴光路计算：由图和式（2.10）、高斯公式确定l1′、l2、l2′，再据式（2.57）计算；mmflfll400'''2222

2=+=l1′=f1′=500mm，l2=l1′-d=200mm,

'

1

1'1222fll=-

)(1000200

400

500'''''

''22132321mmllllllllllfkk=?=?=???=

，)(400'

'2mmllF==

)(6001000400'''mmfllFH-=-=-=

1．P.53习题2-2；

解：依题意作图如图。mmr50=

，n=1.5，n＇=11）对球心处气泡，mml50'=，据r

n

nlnln-=

-'''将数值代入解得mml50=；

2）对球心与前表面间的一半处气泡，mml25'=，据

r

n

nlnln-=

-'''，将数值代入得50

5

.115.1251-=

-l，解得：mml30=

2.P.54习题2-6（c),(d),(f)；

3.用作图法求下列各图中物体AB的像A′B′

4.P.54习题2-7

5.P.55习题2-10解：据题意有2111-=-

=xfβ（1）12

2-=-=xf

β（2）10012+=xx（3）联立（1）（2）（3）式解得)(100

mmf-=；或据'

'

fx-

=β和题目条件可以解得)(100

'mmf=（说明：本题也可以用高斯公式求解）

6.P.55习题2-13

解：因为两透镜密接，故d=0，所求''xffxL++--=，或'llL+-=

把透镜看成光组，则此为双光组组合问题。可由?

-='

''21fff和?=21fff计算组合后系

统的焦距：

)(31005010050100'''21mmfff=+?-=?-

=，)(3

100

50100)50(10021mmfff-=?-=?=又（法一）101''-=-=-

=xffxβ，所以)(3

10

'101'mmfx=-=，)(3

1000

10mmfx-

==)(3.4033

1210

3103100310031000''mmxffxL≈=+++=++--=

又（法二）101'-==llβ，所以'10ll-=，代入高斯公式得1003

'1011=

--'ll解得)(311031001011'mml=?=，)(3

1100

'10mmll-=-=

所以)(3.40331210

311031100'mmllL≈=+=+-=

7.P.55习题2-18

解：据题意透镜为同心透镜，而r1=50mm，d=10mm，故有r2=r1-d=40mm，所以，由

d

nrrndrlH)1()(121

-+--=

得

)(50163.5163.15500

10)15163.1()5040(5163.15010mmlH=+--=?-+-?-=

d

nrrndrlH)1()('122

-+--=

得

)(40163

.5163.15400

10)15163.1()5040(5163.14010'mmlH=+--=?-+-?-=

10

)15163.1()5040(5163.1)15163.1(40

505163.1)1()()1('221221?-+-?-??=

-=-+--=

fdnrrnnrnrf

)(37168.587163

.56

.3032665656.2828656.76.3032mm-=-=+-=

习题8、

例1：（P78习题1.）解：依题意作图如图。

1）为求由玻璃平板产生的轴向位移

)1

1('ndl-=?代入数据得

)(20)5

.11

1(60'mml=-=?——向右移动20mm距离。

2）由玻璃平板产生的侧向位移

mmt5'=?而)1

1('1nidt-?=?

所以5201=i得)(4

1

1radi=

因此，只要使平板在图面内逆时针转过1/4rad即可。如图

例2：（补充题）

一光学系统由一透镜和平面镜组成，如图。平面镜MM与透镜光轴交于D点，透镜前方离平面镜600mm处有一问题AB，经过透镜和平面镜后，所成虚像A"B"至平面镜的距离为150mm，且像高为物高的一半，试分析透镜焦距的正负，确定透镜的位置和焦距，并画出光路图。

解：平面镜成β=1的像，且分离在镜子两侧，物像虚实相反。设透镜的物距和像距分离为l和l′，则450150600'=-=-ll

l

l'21=-=β

解此二式得l′＝150mm和l＝-300mm所以，由高斯公式

'

1

1'1fll=-解得f′＝100mm光路图如右图。

例3：（P74例题）

解：因为物体在无限远，故像面在透镜的像方焦平面。按照题目给出的条件，所有成像光束位于一个高100mm，上底和下底分离为10mm和20mm的梯形截面的椎体内，如下图示。

150

因为棱镜第一面位于梯形上底与下底的中间，故其通光口径

15)2023(2

1

1=+=D

五角棱镜绽开后的等效平行玻璃平板厚度为（K=d/D=3.414）：d=KD=3.41415=51.21，其等效空气平板厚度

8.335163

.121

.51===

ndd

2.168.3350'2=-=l

棱镜出射表面的通光口径可由三角形相像求得

'

100)2102/()210220(

22lD=-

-

100

'

5210222lD+

=62.11100

2

.1610

102=?+=D

第四章

作业：习题1、

解：

据题意，分离求出光孔AB和透镜L1经其前面的光学系统成像。

光孔前面无光学系统，其经前面光学系统成的像为其本身；透镜前面无光学系统，其经前面光学系统成的像亦为其本身。

1）因为物在无限远，光孔直径35mm小于透镜直径40mm，所以开口直径35mm的光孔为孔径光阑，也是入瞳；

出瞳为孔径光阑经后方光学系统所成的像：设孔径光阑AB经L1成像为A′B′。由高斯公式和垂轴放大率公式得

)(100100

50100

)50('''mmfllfl-=+-?-=+=

——在L1左侧100mm

)(703550

100''mmylly=?--==

——出瞳直径为70mm2）当物在透镜前300mm处，光孔对物点的张角为07.050

3002

/351≈-=tgu

透镜（像L1′）对物点的张角为06667.0300

2

/402≈=tgu比较u1、u2可知，透镜（像L1′）对物点的张角u2小于光孔（像）对物点的张角（见下图）

故透镜L1为孔径光阑、入瞳和出瞳。

可见，同一光学系统，当物距不同时，其孔径光阑不同，随着l削减，本来限制光束的光孔失去限制光束的作用，而由透镜框内孔限制光束。习题4解：

1）按照光通量和辐射通量的关系式有：lme76.01051523

=??=Φ=Φ-η

2）据发光强度定义式Ω

Φ

=I，当激光束的发散角u很小时，立体角2uwπ=所以，发光强度：(cd)10512.15024.0760000)

104.0(76.076.06

232?≈=??==Φ=

-ππαwI3）据光亮度定义式dS

wdS

IL??Φ

=

?=

θθcoscos和0=θ，2)2(ddSπ=

得光亮度：)/(101.927577536

.11004.3)10(14.35024.010476.0dSL2

12122

36mcdw?≈?=????=?Φ=-4）由2

cosr

IEθ

=

和0=θ得激光束在5m远处屏幕上产生的光照度：)(10051.65

10512.1cos42

6

2lxrIE?≈?==θ

例题：

例1．两个薄凸透镜L1和L2的口径均为4cm，L1的焦距为8cm，L2的焦距为3cm，L2在

L1之后5cm，对于平行于光轴入射的光芒，求系统的孔径光阑、入射光瞳和出射光瞳。

解：1）求孔径光阑：L1对其前面的光学系统成像就是本身。设L2对其前面的光学系统L1成像为L2＇。由高斯公式和cml

5-=，

f＇=f1＇=8cm得3

40

858)5('''-=+-?-=+=fllfl=-13.3（cm）——L2＇位于L1右侧约

13.3cm处。又由

l

lyy'

'==

β，所以7.10)

5(43402''2≈-?-=?=

yllycm，因为物点位于无限远，且L2＇的孔径（10.7cm）大于L1的孔径（4cm），故L1对入射光束口径限制最大，即L1为孔径光阑。

2）求入瞳：由于孔径光阑经前面的透镜组（光学系统）在物空间所成的像为入瞳。所以L1

又为入瞳。

3）求出瞳：由于出瞳为孔径光阑经后面的透镜组（光学系统）在像空间所成的像，即求L1

经L2所成之像。将cml

5-=，f＇=f2＇=3cm代入高斯公式得

215353)5('''=+-?-=+=

fllfl=7.5（cm），645

5

.72''2=?-=?=ylly（cm）——即出瞳位于L2右侧7.5cm处，口径为6cm。

例2：有一焦距为f’＝5cm，口径D＝5cm的放大镜，观看者眼睛瞳孔直径为0.4cm，其位

置在放大镜后面6cm处。假定眼珠不动，而且像在明视距离处，求放大镜及人眼组成的系

统的孔径光阑、入瞳及出瞳；视场光阑、入窗及出窗的位置及孔径角。

解：

1）先求物点的位置。设一物位于放大镜的左侧，经放大镜成像后位于瞳孔左侧25cm（明视距离）处。将f＇＝5cm，l＇=(-25+6)=-19cm，代入高斯公式得495.3)

19(55

)19(''''≈-=--?-=-=lffll（cm）

——物点位于放大镜的左侧约4cm处；2）求孔径光阑。

①由于放大镜前面无光学系统，放大镜对物点的张角为

625.04

5

.21==

tgu②设瞳孔经放大镜成像为L2＇，将l=-6cm，f＇＝5cm，y=0.2cm代入高斯公式得

30)

6(55

)6('''=-+?-=+=

lflfl（cm），12.0630''=?-==ylly（cm）——L2＇位于放大镜的左侧30cm处，口径为2cm；故L2＇对物点的张角为04.04

301

2

=-=

tgu

比较u1和u2可知，瞳孔为孔径光阑。

3）求入瞳。由于孔径光阑经前面的光学系统所成的像为入瞳。所以L2＇为入瞳，位于放大镜的左侧30cm处，口径为2cm。

4）求出瞳。由于孔径光阑即瞳孔后无光学系统，故瞳孔又为出瞳。

5）求视场光阑。因为L2＇对入瞳XXX即自身XXX的张角为90°，放大镜对入瞳XXX的张角

083.030

5

.23≈=

tgu，所以放大镜为视场光阑。6）求入窗。因为视场光阑即放大镜前无光学系统，故放大镜又为入窗。

7）求出窗。因为瞳孔在此仅作为一个光阑，后面无成像元件，故出窗为视场光阑即放大镜本身。

例3：两灯的发光强度分离为I1=35cd和I2=95cd，两者相距1.5m，将两面都是白XXX的光屏置于何处才干使屏两侧有相同的照度？解：

设白屏位于两灯的连线之间，分离距两灯为r1和r2，如图。

点光源在白屏上的照度为2

cosrIEθ=

由题意可知

2

2

22

1

1coscosrIrIθθ=

，r1+r2=1.5m，I1=35cd，I2

联立上述几式解得：r1=0.567(m)和r2=0.933(m)

例4：设有一个60w的灯泡，其发光效率为15lm/w，假定把灯泡作为在各方向匀称发光的

点光源，求光源的发光强度为多少？在距灯泡2m处的垂直照明的屏上的光照度为多少？

解：

（1）由P

V

Φ=

η，而P=60w，η=15lm/w，得光源的光通量为：ΦV=ηP=15×60=900lm，

又灯泡作为在各方向匀称发光的点光源，则Ω=4π所以光源的发光强度：)(66.7114

.34900

4cdIVV=?=Φ=ΩΦ=π（2）据2

cosr

IEθ

=

可求在距灯泡2m处的垂直照明的屏上的光照度为)(915.17466

.712166.712

lxE==?=

第六章作业：6-1解：

（1）250度对应的视度为SD=-2.5，

而因为人眼近（远）视的程度都是用远点距离对应的视度表示的，即SD=1/r所以，人眼远点距离为r=1/SD=1/（-2.5）=-0.4（m）（2）f′=r=-0.4m=-400mm

6-4．解：

（1）依题意作图如右，l1′-l1=195mm，而β=l1′/l1所以l1′=βl1即-40l1-l1=195

解得l1=-4.76，l1′=190.24又由高斯公式

'

11'1fll=-得物镜焦距)(64.424

.19076.424

.19076.4'''1111mmllllf≈--?-=-=

（2）光学筒长Δ

由图可知Δ=l1′-f物′=190.24–4.64=185.6（mm）【或1）由Δ=d-f物′-f目′计算，而d=195+f目′+l1，

所以Δ=195+f目′+l1-f物′-f目′=195+l1-f物′=195-4.67–4.64=185.6（mm）2）由β=-Δ/f物′，Δ=-βf物′=40×4.64=185.6（mm）】（3）?-≈?-=?=Γ60067

.16250

40'250目物总fβ

例题：

1：对正常人眼，如要观看2m远的目标，需要调整多少视度？解：据lSD1=

有5.0

m211-=-==lSD2：一个年龄为50岁的人，近点距离为-0.4m，远点距离为无限远。试求他的眼睛的调整范围。

解：若以p表示近点到眼睛物方主点的距离，以r表示远点到眼睛物方主点的距离，其倒数分离表示近点和远点发散度（或会聚度）的屈光度数，它们的差以A表示，即

pr11P-RA-=

=，故：5.2m

4.01111P-RA=--∞=-==pr（屈光度）3：如要求测微目镜的对准精度为0.001mm，使用夹线对准精度为10〞，试问需采纳多大焦距的测微目镜？

目镜

解:从题意可知，测微目镜的镜焦距的大小应使夹线角对准精度为10〞，这就和测微目镜分划面上的线对准精度正巧协作，如图所示。

AB＝0.001mm，

mmf63.20'