考研高数知识点经典例题6-8章

第六章多元函数微分学

§6.1多元函数的概念、极限与连续性

(甲)内容要点

一、多元函数的概念

1.二元函数的定义及其凡何意义

设D是平面上的一个点集，如果对每个点尸(x,y)GD,按

照某一对应规则力变量z都有一个值与之对应，则称z是变

量x,y的二元函数，记以z=/(x,y),。称为定义域。

二元函数z=fCx,>')的图形为空间一块曲面，它在孙

平面上的投影域就是定义域D。

例如z=^\—x2-y2,D:x2+y2<I二元函

数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域

D就是xy平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。

2.三元函数与“元函数

u=f(x,y,z),(x,y,z)eQ空间一个点集，称为三元函数

u=…,X")称为〃元函数。

它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数•条件极值中，可能会

遇到超过三个自变量的多元函数。

二、二元函数的极限

设/(x,y)在点(%,为)的邻域内有定义，如果对任意£>0,存在6>0,只要

J(x-Xo)2+(y->o)2<b,就有y)一H<£

则记以limf(x,y)=A或limf(x,y)=A

称当(x,y)趋于(%,%)时，f(x,y)的极限存在，极限值为A。否则，称为极限不存在。

值得注意：这里(x,y)趋于(%,%)是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于

(%,为)，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但考试大纲只要求知道基本概念和

简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

三、二元函数的连续性

1.二元函数连续的概念

若lim/(x,y)=/(/，%)则称f(x,y)在点(4,加)处连续

yfo

若/(x,y)在区域。内每一点皆连续，则称/(x,y)在。内连续。

2.闭区域上连续函数的性质

定理1(有界性定理)设/(x,y)在闭区域。上连续，则/(x,y)在。上一定有界

定理2(最大值最小值定理)设/(x,y)在闭区域。上连续，贝ij./■(》,>)在O上一定

有最大值和最小值max/(x,y)=M(最大值)，min/(x,y)=皿最小值)

(X,)*。(x,.v)eD

定理3(介值定理)设/(x,y)在闭区域D上连续，M为最大值，机为最小值，若

mWcWM,则存在(飞，升)6。，使得f(x0,y0)=C

(乙)典型例题

一、求二元函数的定义域

例1求函数z=arcsin'+J5的定义域

解：要求A<1B[J-3<A-<3;

又要求孙20即或xW0,yW0综合上

述要求得定义域

-3<x<0,、[0<x<3

V或<

y<0y>0

例2求函数2=)4-_?一)，2+In(y2-2x+l)的定义域

解：要求4-x2-/>0和/-2x+l>0

即归

[y2+\>2x

函数定义域D在圆V+V<22的内部(包括边

界)和抛物线V+l=2x的左侧(不包括抛物线上的点)

二、有关二元复合函数

例1设/1(x+y,x-y)=x2y+y2,校(x,y)

解：设x+y=〃，x-y=u解出x=—(〃+v),y=一(〃一u)

代入所给函数化简/(w,v)=-(H+V)2(M-V)+—(H-V)2

84

11

故/(x,y)=-(x+y)(x-y)+-(x-y)

84

例2设/(x+y,孙)=/+3砂+y?+5,^/\x,y)

解：：x?+3孙+>2+5=(x?+2盯+y2)+盯+5

=(x+y)2+孙+5

.-.f(x,y)=x2+y+5

例3设z=8+/(五-1),当y=l时，z=光，求函数井口z

解：由条件可知

X=]+/(五-1)，令五-1="，则/(“)=x—\=(»+1)2—1=u2+2u

f(x)=x2+2x,z=yfy+x—i

三、有关二元函数的极限

।工

例1讨论lim(l+—)R(aHO常数)

1v(*+y)

解：原式=lim(1+—r

孙_

(1Yv1

而lIi*m1+——…令f=%Xy-lim(l+-#)’=’

又lim--------=lim-------=—

y^a孙(X+>))：工+马。

X

原式=/

2

y

例2讨论lim4L

；Zox+y

解：沿＞原式=1磔/于二°

lx4

沿>=戊2,原式=lim—

x+l2x41+/2

原式的极限不存在

3

X2|-y|2

例3讨论lim4J

T4+2

y.0人r十yv

解：•••X4+y2>2x2\y\(v(x2-\y\)2>0)

33

2

f而x|yR1..1

0<.11.<^-=-b2

x+y2x2|y|27

而1星评=。；

lim0=0

x->0

)T0乙y->0

用夹逼定理可知原式=0

§6.2偏导数与全微分

(甲)内容要点

一、偏导数与全微分的概念

1.偏导数

二元：设z=/(x,y)

dzf(x+^x,y)-f(x,y)

-.lim

=Z；Uy)Ax

r)7f(x,y+\y)-f(x,y)

△)'

三元：设”=/(x,y,z)

$A，)；新融.);

2.二元函数的二阶偏导数

设z=/(x,y),

14=斤@，＞)=枭韵，］^"(乂＞)=2年)

oxoxoxuxoydyox

(X，＞)=枭打TT=＜：(X，y)=T-(韵

oyaxdxdyaydyay

3.全微分

设z=f(x,y),增量Az=/(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)

若Az=AAr+BAy+OQ(AX)2+出了)

当Ax—»0Ay—＞0时

则称z=f(x,y)可微，而全微分dz=AAv+BQ

定义：dx=Ax,dy=^y

定理：可微情况下，A=f；(x,y),B=f；Xx,y)

-,-dz=f"(x,y)dx+f；(x,y)dy

三元函数u=f(x,y,z)

全微分du=f"(x,y,z)dx+f'y\x,y,z)dy+£(x,y,z)dz

4.相互关系

常用连续ndf{x,y)存在丁优温g’)存在

5.方向导数与梯度(数学一)

二、复合函数微分法一一锁链公式

模型I.设z=f(u,v),u=w(x,y),v=v(x,y)

,.dzdzdudzdvdzdzdudzdv

则r——=-------+--------:——=---------+-------

dxdudxdvdxdydudydvdy

模型H.设〃=f(x,y,z),z=z(x,y)

EIdu,,dzdudz

则L+仁’而=力+殊

模型III.设〃=f(x,y,z),y=y(x),z=z(x)

思考题：设z=f(u,v,w),w=w(u,v),u-w(r),v=v(z),r=r(x,y)

求手Hz的锁链公式，并画出变量之间关系图.

OX

三、隐函数微分法

设F(x,y,z)-0确定z=z(x,y)

则生=-二；生=-刍(要求偏导数连续且E'HO)

oxF.dyF.

四、几何应用(数学一)

1.空间曲面上一点处的切平面和法线

2.空间曲线上一点处的切线和法平面

(乙)典型例题

例1求〃二(工厂的偏导数

y

解半=Z(土尸,A-Z-X'

oxyyyyy

”=(当Z如三

dzyy

例2设〃=/(x,y,z)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定

du

exy—xy=2和e"=求r区

解华=/1+/咨+-牛

axaxax

由exy-xy=2两边对光求导，得e"[y+尢虫]-(y+x虫)=0

dxdx

解出—(分子和分母消除公因子(e“-1))

dxx

由e，=7皿1两边对x求导，得e'=sin("-z)在)

*t(x-z)dx

解出名=1一，(1)

dxsin(x-z)

所以包=班上江+[1_"5一％些

dxdxxdysin(x-z)dz

例3设>=y(x),z=z(x)是由z=4\x+y)和尸(x,y,z)=O所确定的函数，其中/具有一

阶连续导数，尸具有一阶连续偏导数求二

dx

解分别在两方程两边对X求导得

的

和

1

JZ区/dz

=+1+

区+一于+4'

化简

<dx

办

心

+号+O

区=z

V

解出袅号审

例4设〃=/(x,y,z)有连续偏导数，z=z(>,y)由方程

xex-ye-'=ze]所确定求力，

解一：令F(x,y,z)=xe*-ye-'-z"得"'=(x+l)e*,耳=-(y+l)e>,

p=_(z+1)"则用隐函数求导公式得

Hz_工'_x+l〃rdz_y+1y-2

dxF；z+1'dyz+1

"=/+走"+/'，上

dx，xJzdxJxJzz+1

2=4+/咨=4―/：•号

dydyz+1

du="dx+"dy=(f；+f'ex'!)dx+-f^^ey~:)dy

oxdyz+1z+1

解二：在xex-yey-zez两边求微分得

(1+x)exdx-[\+y)eydy=(1+z)e~dz

(1+x)exdx-(1+y)eydy

解出dz=

(l+z)ez

代入du=f；dx+f'dy+f'dz

(1+%)e'dr-(1+y)eydy

(l+z'z

合并化简也得血=（G/驾e『+GY号e”

例5设/（，，,u）具有二阶连续偏导数，且满足夏=1,

du"加~

g(X，y)=/孙,g"一/)，求需+需

解：u=xy,v=^(x2-y2)

返二理+2返二/_陛

dxdu3vdydu.3v

需=用居卜患％前十5

a「方]a"dua"3v2悸卜暮白翳当代入上式

3xdu加~3x3w3vdxdxLdu」ovouoxovox

故,：,fa2g»2壮a2/+2c孙Wa"+/2

8v23v'

巧2尤第

所以:翳+需"+*£+，+/

=r2+y-2

例6已知F(-,—)=0确定z=z(x,y)其中F(〃,u),z(x,y)

zz

均有连续编导数，求证x孕+y孕=z

oxOy

XV

证：F(u,v)=F(-,—)=G(x,y,z)=0

zz

G：=E/，G；=E，，G；=E：(一力+F：(一_

zzzz

根据隐函数求导公式

dz_G：_zF：3z_G；_zF"

派G；xF^+yF'dyG；xF't+yF'

dzdz

则得x—+y—=z

oxdy

2

x--u"+v+zdu3v加

例7设求

y=u+vz5dz

2

x=-u+u+z

解：对的两边求全微分，得

y=〃+vz

dx=-2udu+du+dz2udu-dv=-dx+dz

=><

dy=du+zdv+vdzdu+zdv-dy-vdz

=>而_z小+(z-v)dz+dy

2uz+1

乱_2udy+tZx-(14-2uv)dz

2uz+1

〉—du——---z---,—3v_____1___,d—u—-z---v----

3x2uz+1dx2uz+1dz2uz+1

§6.3多元函数的极值和最值

（甲）内容要点

一、求z=，（x,y）的极值

第一步〔然;2求出驻点⑷山

（攵=1,2,…

第二步令yk）fyy（xk,yk）-匕0，以）F

若AA.＜0则/（七,券）不是极值

若△*=（）则不能确定（有时需从极值定义出发讨论）

若△*＞（）则是极值

若/二（々，”）＞0则/（4.,%）为极小值

进一步

若/X®,九）＜。则/（4,”）为极大值

二、求多元（〃？2）函数条件极值的拉格朗日乘子法

求〃=/（再,…，兑）的极值

血（一,…，怎）=0

约束条件＜：（〃?＜〃）

.em（Xl，.~，Z）=0

令F=E（X，…,x“，4,…,儿“）=/（和…,x.）+Z4e（Xi，,rJ

i=l

E=o

F：=0

Fj=9i（X|,…,x“）=0

产工=。,"，…，x"）=°

求出（甘,…,只）（A=1,2,…,/）是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确

定其充分性，这种方法关键是解方程组的有关技巧。

三、多元函数的最值问题（略）

（乙）典型例题

一、普通极值

例1求函数Z=/+y4_工2一2个一>2的极值

解导4—导4~尤一2y

乎=半=0,得x+y=2/=2y3

要求

oxdy

故知x=y,由此解得三个驻点

x=0X=1x=—\

y=0,J=T

步12~，器5-2

又=-2,

dxdy

在点(b1)处

8=生⑺产一2,0=第,.|)=10

A（i,i）=1°，

dxdy

\^AC-B-=96>0

又A=10>0,(U)是极小值点

极小值Z[]）=—2在点（-1,-1）处

(-1)=-2,c=|^r|(-i,-i)=10

=10,8=

ifdxdy

A=AC-B2=96>0

A=10>0,-1,-1）也是极小值点

极小值Z|（T,_|）=-2在点（0,0）处

4科,_A_氏

9=-2,=-2

"dxd

(o.o,'_y

(0.0)力(0.0)

△=AC-82=0不能判定

这时取X=£,y=T■（其中£为充分小的正数）则Z=2£4>0

而取x=y=戌寸Z=2£4-4/<0由此可见（0,0）不是极值点

例2设z=z(x,y)是由/-6xy+l0y2-2yz-z2+18=0确定的函数，求z=z(x,y)的

极值点和极值。

解因为x2-6xy4-10/-2yz-z2+18=0

每一项对x求导，Z看作X,y的函数，得

2x-6y-2y生-22生=0,(1)

oxox

每一项对y求导，z看作x,y的函数，得

()z()z

-6x4-20y-2z-2y-——2z—=0.(2)

dydy

3Z

一=0,

令x-3y=0,x=3y,

ax得故<

az

-=0,-3x+10>'-z=0,z=y.

a)

将上式代入T—6xy+10y~-2yz—z~+18=0,可得

x-9,x--9,

y=3,或y=-3,

z=3.z=-3.

Hz

把（l）的每一项再对无求导，z和丁看作的函数,得

dx

2-2点—2弓)2_22售=0,

dxoxdx"

Hz

把（1）的每一项再对y求导，z和一看作的函数,得

dx

3zd~zdzdzd~z

-6-2------2y---------2------------2z-------=0,

dxdxdydydxdxdy

Hz

把（2）的每一项再对y求导，z和3看作xj的函数,得

dy

20—2$一2M2>詈-2仔>_2z普=0,

dydydydyoy~

所以A唠B=^~-1C-_5

…=2'办2

(933)口dxdy

,1又A=L>0,从而点（9,3）是z（x,y）的极小值点，极小值

故AC-B2=—>0,

366

为z(9,3)=3.

类似地，由

A-逅---B-3~Z---C--I

——一个6—奇——一天。一犷1-97.-“__]

可知AC-B2=—>0,又4=一!<0,所以点(一9,—3)是2(羽田的极大值点，极

366

大值为z(—9,—3)=-3.

二、条件极值问题

例1在椭球面泉+学+奈=1第一卦限上尸点处作切平面，使与三个坐标平面所围四面

体的体积最小，求P点坐标。

.2x2y2z

解：设P点坐标(x,y,z),则椭球面在P点的切平面的法向量为(了-，3v，万石)

221

切平面：-x(X-x)+-y(Y-y)+-z(Z-z)=O

22I

—xX+—浮+―zZ—2=0

259-2

x轴截距(y=o,z=o)x=—

X

y轴截距(Z=0,X=0)Y=-

y

4

z轴截距(x=o,y=o)z=?所以四面体的体积

z

j_2594_150

6xyzxyz

222

约束条件|r+y+|r-1=0O>o，y>o，z>o)用拉格朗日乘子法，令

„八150..x2y2z2..

F=F(x,y,2,之)=二+〃不+港+至-1)

xyzDDN

1502/1

F：=—x=0(1)

fyz25

1502An

F；尸2+—y=0⑵

xyz9

1502A八

F：=-------r+—z=0⑶

孙z~4

X222

卜y+:一1=0(4)

*3222

450

用x乘（1）+y乘（2）+z乘（3）得------1-2/1=0

xyz

则24=当

(5)

xyz

将(5)分别代入(1),(2),(3)得

532

_5_

所以p点坐标为（）而最小体积V=156

元2+22=]

例2求坐标原点到曲线C：\）一的最短距离。

2x-y-z=1

解：设曲线C上点（x,y,z）到坐标原点的距离为d,令w=d2=X2+y2+z2,

约束条件r+y2—z2—1=0,2x—y—z—1=0用拉格朗日乘子法，令

F=F(x,y,z,44)=(x2+y2+z2)+2(x2+y2-z2—l)+//(2x-y—z—1)

F'=2x+2Ar+2〃=0(1)

=2y+2狗-〃=0⑵

£'=2z-24z-4=0(3)

-x2+y2-z2-1-0(4)

F；=2x-y_z-]=0⑸

首先，由（1）,（2）可见,如果取7=-1,则4=0,由(3)可知z=0,再由(4),(5)得

£+y2_]=o,2九_y_l=0

这样得到两个驻点4(0,—1,0),鸟《,|,0)其次，如果取4=1,由(3)得4=0,再由

(1)(2)得》=0,〉=0这样⑷成为-z2=l,是矛盾的，所以这种情形设有驻点。

最后，讨论/1/-1情形，由(1)(2),(3)可得

、二一七‘"缶’2=缶代入⑷，⑸消去4得3无一期+8=°此方

程无解，所以这种情形也没有驻点。

综合上面讨论可知只有两个驻点，它们到坐标原点的距离都是1,由实际问题一定有最

短距离，可知最短距离为1。

另外，由于C为双曲线，所以坐标原点到C的最大距离不存在。

例3已知函数2=/。,)0的全微分a=2%小-2)山,并且/1(1,1)=2.求/(龙，30在椭圆域

D=](x,y)x2+上4上的最大值和最小值。

4

解法1由dz=Ixdx-2ydy可知

z=/(x,y)=_?一/+c

再由/(1,1)=2,得C=2,故

z=f(x,y)=x2-y2+2

令%=2尤=0,%=—2y=0,解得驻点(0,0).

oxdy

在椭圆/+—=1上，z=九2一(4一412)+2,即

4

z=5x2-2(-1<x<1),

其最大值为由珏=3,最小值为2=|户0=-2,

再与/(0,0)=2比较，可知f\x,y)在椭圆域D上的最大值为3,最小值为-2。

解法2同解法1,得驻点(0,0).

用拉格朗日乘数法求此函数在椭圆/+汇=1上的极值。

4

设L—x~-y~+2.+“尸+q—1),

=2x+2Ax=0,

2

令<4=-2y+5y=o，

L!,—x2+----1=0

I4

解得4个可能的极值点(0,2),(0,-2),(1,0)和(-1,0).

又f(0,2)=-2,f(0,-2)=-2,/(1,0)=3,/(-1,0)=3,再与/(0,0)=2比较，得/(x,y)在。上的最

大值为3,最小值为-2。

第七章多元函数积分学

§7.1二重积分

(甲)内容要点

-、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题

模型I：设有界闭区域

D={(x,y)\a<x<b,例(x)WyW仍(x)}

其中一(x),仍(%)在［a,b］上连续,/(x,y)在

。上连续，则

b02。)

JJ/(*,y)da=JJf(x,y)dxdy=^dxj/(九,y)dy

DDa仍(x)

模型n：设有界闭区域

D={(x,y)|c<y<d,(p^y)<x<^p2(y)}

其中一(y),*2(y)在Cd］上连续，/(x,y)

在。上连续

d%(y)

则jjf(x,y)dcrf(x,y)dxdy=^dyJf(x,y)dx

DDcg(y)

关于二重积分的计算主要根据模型i或模型n,把二重积分化为累次积分从而进行计算,

对于比较复杂的区域D如果既不符合模型I中关于D的要求，又不符合模型II中关于D的

要求，那么就需要把D分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型1或模型II中

关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和,

而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。

在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是

先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D,然后根据D再把二重积

分化为另外一种顺序的累次积分。

二、在极坐标系中化二重积分为累次积分

在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定。对7进行积分，然后再对

。进行积分，由于区域D的不同类型，也有几种常用的模型。

模型I设有界闭区域

其中Qi(。),/(6)在3。］上连续，/(x,y)=/(/cos8,/sin8)在。上连续。

P仍(6)

则JJ/(x,y)da=jj/(/cos0./sinO)ydydO=j/(/cos0,/sin0)ydy

DDa8(6)

模型n设有界闭区域

D={(y,^)|a<^<AOSyW9(6)}其中

夕(6)在［a,Bl上连续，

/(x,y)=/(/cos仇/sin6)在。上连续。

B叭6)

则JJ/(羽y)do=j|/(/cos6,/sinO^^ydO=^d0j/(/cos仇ysin。)典y

DDa0

(乙)典型例题

一、二重积分的计算

例1dxdy,其中。由和y轴所围区域

D

11,

解：如果jjey心心=|dx^e~ydy

DOx

那么先对"丁求原函数就不行，故考虑另一种顺序的累

次积分。

1y

jje~ydxdy=jdy^e~ydx

D00

这时先对X积分，e-广当作常数处理就可以了。

例2计算JJyl\y-x2\dxdy

|A1<1

0<y<2

1_x2_________2_________

解：原式=J么|yjx2-ydy+J^y-x2dy

-iL°『

=-|||j(2-x2')2dx-^-+^

JT3T,乙

例3求/=jj(yjx2+y2+y)d(j

D

x2+y2<4

D:/o

u+l)2+y2>l

解mu

D。大眼。小康

JJ+do=JJJf+fdb+o(对称性)

D大网。大1国

2万2

216

=jdgjrdr—兀

00°3

34

,2—2cos030

JJ=JJ'♦+—^b+0=jr1dr-一

。小HID小圜X09

+/+y)db=苧(34一2)

9

解二：由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知

D

jjJ/+y2do=2jjy/x24-y2d(J

DDx

原式=2Jj+y2do■+JjJX?+y2do

_Dg。上2

7t

22712

12

=2\de\rd7+\deJrdr

00至-2cos®

2

「4416J16/c-

=2—4+(—4---)=—(3/r—2)

3399

二、交换积分的顺序

2aJ20r

例1交换\dxf/(x,y)dy的积分顺序

o悬？

解原式=JJ于(x,y)dxdy

D

其中D由y=d2ax-X2和y=N2ax以及

x=2。所围的区域

D=D}UD2UD3

y=J2ax解出x=—

由"2。

y^^lax-x1解出x=a±&2_y2

因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三块小区域得

aa-a2a2a2a

原式=jf(x,y)dx^-^dyjf(x,y)dx+jdyJf(x,y)dx

o《°a+\ja2-y2a£

五五

例2设，'(y)连续，证明

令x-"+)=---sint,则dx=---costdt,

222

1a-y

a2----------COSta

/=Jj-^-7----------dt=可r(y)dy=7r[/(a)-/(0)]

0^cos/0

22

三、二重积分在几何上的应用

1、求空间物体的体积

例1求两个底半径为R的正交圆柱面所围立体的体积

解设两正交圆柱面的方程为Y+y2=R2和*2+Z2=R2,它们所围立体在第一卦限

中的那部分体积

V,=jjylR'-x1dxdy

D

其中。为OSxWR,0<y<yjR2-x2

R>!R2-X2_______R0

因此X=J公j」R2-£dy=「R2-炉灶=4R3

0003

而整个立体体积由对称性可知

V=8V,=—/?3

13

例2求球面V+y2+z2=4R2和圆柱面/+卜2=2&（火>0）所围（包含原点那一

部分）的体积

解匕=叫也/?2-％2-y2dxdy

D

其中。为孙平面上y=^2Rx-x2与x轴所围平面区域用极坐标系进行计算

£

.__________~22Reos0________

v=4yj4R2-r2rdrdO=4jd6jJ4H?一

D00

32/?'?...tz)j323Jr2

=e)xd/z8=，R(y--)

2、求曲面的面积(数学一)

§7.2三重积分（数学一）

（甲）内容要点

一、三重积分的计算方法

1、直角坐标系中三重积分化为累次积分

(1)设。是空间的有界闭区域

Q={(%,y,z)|z,(x,y)<z<z2(x,y),(x,y)eD}

其中。是孙平面上的有界闭区域，Z](x,y),Z2(x,y)在D上连续函数/(x,y,z)在。上

连续，则

.z2(x,y)

川/(%,y,z)dv=jjdxdyjf(x,y,z)dz

CD4(x,y)

(2)设已={0,%2).<24£,(x,y)e£>(z)}

其中力⑵为竖坐标为z的平面上的有界闭区域，则

P

JJJf(x,y,z)dv=jdzJJf(x,y,z)dxdy

CaD(z)

2、柱坐标系中三重积分的计算

J|j/(x,y,z)dxdydz=jj|/(rcos6,rsin0.z)rdrd0dz

cQ

相当于把a,y)化为极坐标(几。)而z保持不变

3、球坐标系中三重积分的计算

x=0sinJcos。p>0、

y=psin0sin(pO<0<7T

z=pcos00<(p<2万)

jjj/(x,y,z)dxdydz=jjj/(psin0cos(p,psin6sin0,pcos3)p2sin3dpelOd(p

(乙)典型例题

一、有关三重积分的计算

例1计算JJJAY2Z3公“ydz,其中。由曲面2=q,y=x,x=l,z=0所围的区域

1xxy

解JUxy2z3dxdydz=jdx^dy^xy~z3dz

Q000

xndx=—

364

22,2,222

•7Y

例2计算叫*+方+J世dydz淇中。由曲面三+/+