第2课件1.1桥梁内力影响线

一、影响线的基本概移动荷最不利荷载位（移动荷载的最不利荷载位置。影响P=1表示单位荷载移动到该位置，该。影响线是研究移动荷载的最不利位置和计算内力、位移最大值小值的有效工具移动荷载通常是由多个间距不变的竖向集中荷载或竖向均布荷载所组P1量值的变化规律，然后根据线性叠加原理进一步研究各种实际移动荷载作图1a为一简支梁，当竖向单位集中荷载P1在梁上移动时，支座反力的变化规律及其图形。绘制影响线的基本方法有两种，静力法和机动法。

P=1 a B

RA R b

用静力法绘制影响线时，可先把荷载P放在任意位置，根据所选坐标系，以横坐标x与荷载P1x之间的关系。表示这种关系的方程称为影响线方程。根据方程即可做出影响单跨简支梁的影响1.反力影响求图2a所示简支梁反力RA线，可取A为坐标原点，以x表示

B 载P=1距坐标原点A的距离，取全 作 体，由平衡条件 a

设反力向上为正，则∑MB=RA•l—P(l—由此可 Plx1

b 0 当x0时，RA当xl时，RA图2b即为RA的影响线图形根据影响线定义，RA影响线中 A a)该处时反力RA的大小。同时RA的 影响线只能代表RA的变化规律反A1力，而不能代表其它任何量值 b1变化规律，其量值是唯一的这就是RA的影响线方

xKl+

B 011它是x的一次函数，故RA的影响可确定这条直

c

同理，可绘出反力RB的影响线方程为 图 同样可绘出RB的影响线（图2c）2求图3a所示简支梁上某指定截C的弯矩影响线，取A为坐标原点，以 a表示荷载P=1距坐标原点A的距离， aa

荷载P=1在截面C以左AC段（即x≤ 移动时，取截面C以右部分 体

则 bx

abb 左 右ab由此可知，MC的影响线在截面以左部分为一直

0当x0时，MC当x=a时

l

b)中跨Mc图于是可以绘出当荷载P=1在截面C以左移动时MC的影响线(图3b)当荷载P=1在截面C以右CB段（即x≥a）移动时，上面求得的影响线程显然已不再适用。可取截面C以左部分 体，则 alx

由此可见，MC的影响线在截面 a以右部分也为一直线。当x=a时

a当x=l时 MC= b ab线线于是可以绘出当荷载P=1在截 左 右b线线以右移动时MC的影响线(图3b)。 图3b可知MC的影响线由上述两直线所组成，为一三角形。三角形的顶点位于截面C的下面，纵坐标ab/l通常称截面C以左的直线为左直线，截面C以右的直线为右直从上述影响线方程可以看出，左直线可由反力RB的影响线乘以b得到，绘制MC的影响线：纵坐标ab分别将其顶点与、右两支座处的零点用直线，则两直线的交点与左、右零点相连的MC3b作它量值影响线的方法是非常方便由于竖向单位集中荷载P1为不带任何单位的无名数。则反力B响线的纵矩也是无名数，弯矩影响线纵坐标的单位为长度3设要绘制截面C的剪力影响线（图3c）。同上分析，当荷载P=1在截面以左AC段（即x≤a）移动时，取截面C以右部分 体，并规定以体顺时针方向转动的剪力为正，则 =-

a)

因此，将RB的影响线反号并截取AC段分，即得QC影响线的左直线（图3c） 同样，当荷载P=1在截面C以右CB11体，并规定以 体顺时针方向转c动的剪力为正，则 =因此，可直接利用RA的影响线并取CB段部分，即得QC影响线的右直线（图3c）

l 右_ _a 1左 1线c中跨Qc图由上可知，QC的影响线由两段相互平行的直线组成（图3c）反力影响

如图4a所示的伸臂梁，仍

a RB左支座A为坐标原点，横坐标x向右为正。显然，无论荷载在AB部分或是在两支座以外的 b分上移动时，由平衡条件可得到支座反力为

1+1

01 1 1

c

图4 跨中部分为求MC和QC的影响线，可将它们表示为反力RA和RB的函数。当荷P=1在截面C以左AC段（即xa）移时，取截面C以右部分 体，则MC QC

左部分为体，则：MC QC

a

ala+

bMc影响b0因为RA和RB的影响线方程在b)关系可知，MC和QC的影响线方程在c)两种梁上也完全相同。因此，只需将支梁上相应的弯矩和剪力影响线向两

b+l+1+1 al

Qc影响1-1 分延长，即可得到伸臂梁的和QC力影响线，如图4d、e所示

图4伸臂梁中跨 设要绘制截面K的弯矩和剪影响线（图5a）。为方便起见，取K点为坐标原点，并规定横坐标

Px 以向左为正。当荷载P=1在截面K a右（KE段）移动时，取截面K以部分 体，则显然MK和QK均于零，故该二影响线在KE部分均 b基线重合。当P=1在截面K以1（DK段）时，仍取截面K以左部 c1 体，可得

d-d--

Mk影响Qk影响MK QK

图5 分影线据此可以作出DK部分的MK和QK影响线。综上所述，伸臂梁部分截K的MK和QK影响线分别如图5b、c所示对于支座处截面的剪力影响

PxD

Px 须对支座左、右两边的截面分别讨论因为这两个截面是分别属于伸臂和跨中a部分。例如：支座A左截面的剪力QA

R RA1的影响线，可由QK的影响线使截面K1于支座A的左截面而得到（图 d对于支座A右截面的剪力QA右 影响线，则可由QC的影响线（图使截面C趋于支座A的右截面而得

QA左--QA右1+11-1（图5e）

图5 分影线程，关x次函数，故均是由直线段所组成。但般为曲线形。四、机动法作单跨机动法作影响线的理论依据是理论力学中的虚位移原，一 系系作用下处于平衡的必要和充分条件是：在任何微小的虚位移中，力系所虚功；为了求解出反力RA，首先去掉与它应的联系（即支座A处的竖向约束）， a以正向的反力RA代替其作用（图6b）。

P P时，原结构变为具有一个自由度的机使其产生微小的虚位移（图6b）,以δA和δPb分别表示RA和P的作用点沿力的作用方向功的总和应等于零，有 cRAAPP

d dP 1+1-根据影响线的定义：P=1，则：

图式中δ为力A作用点沿其力方给定虚位移的情况个常。δP为P1x各点的竖向虚令δA=1，则上式成为RAδ反P1移动时虚位δP便代表了的影响线。（图6c），而符号相反。由于δP是以与力P向一致者为正，故δP向下为正。因而可知：当δP向下时，A为负；当δP向上时，RA为正。这就恰好与在影响线中纵坐标以向上为正相一致由上述可知：要作某一反力或某一内力的影响线时，只需将与该量的联系去掉并使所得机构沿该量值的正方向发则由此得到的虚位移图即代表该量值的影响线。这种绘制影响线的方法称为机动法。机另种途径其优点过具体计算就能够迅速绘出影响线的轮廓。这对于设计工作将有很，且有利于对静力作的影响线进行较核。为进一步说明机动法的应用，下面再举两个例子。如图7a梁，用机动法作截面C的弯矩影响线和剪力影响截面C弯矩影响MC相应的，即将截面C处改为铰接，一对力偶Mc代替原有联系的作用（该处便不能传递弯矩，但仍能传递剪力和轴力）。后使与Mc的正方向发生虚（图7b），虚功方程为：M()

PC CP Pa (a若使α+β=1，即AC与BC两部分 相对转角等于1，则所得到的虚位移即表示MC的影响线（图7c） 令：影响线顶点至基线的距离 b

la+b= d

B B

则：tga

tgb

Ca因此有a

a c

yc=lcc

ycab

a+b=b+b所以

a 图截面C的剪力影响首先将与QC相应的联系去掉将截面C处改为用两根水平链杆相（该处便不能传递剪力，但仍能传

P 弯矩和轴力），并以一对正向剪力 a 代替原有联系的作用（图7d）使机

沿QC的正方向发生虚位移，由虚功理得 d

1dCg1dCpQc(

)PP

Q P12 CC12图若使121，即与两部分沿截面C方向的位移等于，Q（7e。必须注意于A与两部分是两根平行链杆相联，它们之间只能作相对平行移动，故在移图中1与2应为平行直线，是QC影响线的左右两直线相互平行A CC1a CC2b a

P

Ratgb RCC1CC2(ab)tgltgAtg d

d

B B1 1右右线左线+l图1以

CC

e

1 1

CC2 五、多跨对于多跨静定梁，只需分清它的基本结构和附属部分以及这些部分间的传力关系，再利用单跨静定梁的已知影响线，即可顺利完成按静力ABCKDEFal图8a所示多跨静定梁，图8b为结构拆分的层叠图，ABCKDEFalaEEFCKDAB图8按静力法求多跨当P=1在CE段移动时，附属部分EF是不受力的，可将其撤去。基本部分AC则相当于CE梁的支座，故此时Mk的影响线与CE段单独作为一伸臂的，故Mk影响线在AC段的竖坐标为零。最后考虑P=1在附属部分EF段移动时的情况，此时CE梁相当于在铰E处受到力VE的作用（图8c）。因此，VEl-x)/l即x的一次函数，故此时CE梁相当于在铰E处受到力VE

b c

aa

图8按静力法求多跨由此可知Mk影响线必为一直线，只需要定出两点即可将其绘出。当P=1作用于铰E处时Mk值已由CE段的影响线得出；而P=1作用于支座F处时有Mk=0。于是可绘出Mk的整个影响线如图（8d）所示。当P=1在量值本身所在的梁段上移动时，量值的影响线与相应的单跨静定梁相同按上述方法，不难作出QB左和RF的影响线如图8e、f所示ABEFCKDadABEFCKDa1e 1

K

Q左E左

f

RF1图8按静力法求多跨1按机动按机动法求解多跨静定梁的影响线更为方便。首先去掉与所求反力或内力的相应联系，使所得到的体系沿X的正方向发生单位位移，此时根据每一刚片位移图应为一段直线以及在每一竖向支座处竖向位移为零的条件。便可迅速绘ABCKDEFalABa+b=ABCKDEFalABa+b=EFCMKADFEABBCDEFa

ab MKa1 QB左11d RF1

a) l

l

b l l aa+b=1

aa+b=1

中跨MK影响++K-

中跨QK影响 a+b=a+b=-bK 支点MB影响+RB右影响--+-xK+反力RB影响

+K反力+K反力RD影响

RB左影响+-++-+首先讨论当若干个集中力荷载或分布荷载作用于某已知位置时，如何利y1+1.集中力荷线上的纵距分别为y1、y2…yn，要求解这些集中荷载作用下所产生的某一量S的大小

根据影响线的定义和特点，影响线上的纵距y1代表荷载P1SP1PP1SP1y1SP1y1P2y2PnynPi(P1x1P2x2Pnxn)tgtgPi

CaB1 xy因∑Pixi为各力对O点CaB1 xyOPixiRx代入上式，SRxtgR

式 y——为合力R所对应得影响线纵坐标

图2、分布力荷若将任意分布荷载沿其长度分成微段，则每一微段dx上的荷载qx•dx都作为集中荷载（图13a），故在ab区段内的分布荷载所产生的量值S为bSaqx

b若qx为均布q时（图13b、13c），则上式为S

yxdxq

（4式中ω——表示影响线在均布荷载范围ab区段内的面积合a-byxa a -SbS(a

Sa+-b(a+-b图

(c由此可见，在均布荷载作用下求量值S时，只需把影响线在荷载分布六、利用影响线求最不利荷载位量值都将随荷载的位置求出各（或最小值）是我们的最终目的，以作为设计的依据。首先必须确定使发生最大值（或最小值）因此，寻求某一量值的最大值的关键，就是确定其最不利荷载位置，当其位就可按前述方法求解该量值的最大值（或最小值）。1、一个集中荷 P+-P+-+-S这是最+-SS=P·集中荷载P置于S影响线最大纵坐标处即产生

S

(a

(b最小纵坐标处即产生Smin值 图2、均布荷b这里是指可以任意截断布置的均布荷载，也称为可动均布荷载（如b群荷载）。由式Sqayxdxq可得：将荷载布满对应影响线所有面a反将布满对应影响线所有负号积的部分，则i值；如图15所示求的最大、最小值时相应的最不利荷--S++q--S++q-S-++qa b 合力为Ri（i=1~n）,则S1可表示为：S1R1y1R2y2Rnaaaa aab当整个荷载组向右移动一微小距离Δx时，其相应的量值S2S2R1(y1y1)R2(y2y2)Rn(ynyn故S的增量为SS2S1R1y1R2y2R1xtga1R2xtga2RnxnRixni其中Δx为一常数，上式可写为 SxRitg量值S的增加率和减小率

SR

（5 使S成为极大值的条件是：荷载自该位置向左或向右移动时，S的当荷载向左移动时，Δx0

SR 当荷载向右移动时，Δx0

SR 即：当荷载先向左、后向右移动时，Ri可能为极大当荷载先向左、后向右移动时，Ri可能为极小值

必须由正变负，S才必须由负变正，S才 Ritgai变号的荷载称为临界荷载，而把

应的不利荷载位置可能有几个，这就需将与各临界荷载对应的S极SPi

dsΔSSqω可知，S为x的二次函数，故此时最不利荷载位置可按一ds0的条件来确定。对于常遇的形图 述别式以化为更便于应用的形式。设临界荷载 Pk处于三角形影响线的顶点位置以a载力，以b表荷则根据荷载向左、向右移时，判式由正负可以写出如两个：(RaPK)tgRbtgRatg(RbPK)tg式中α、β为水平基线与影响间的倾角（图17），其正负号规

h同前。若以tghtgh代 则 RaPk RaPk

（6

图 这就是三角形影响线上确定临界荷载 。上式可以理解为：把Pk入影响线的哪一边，则哪一边上的“平均荷载”就大