高中数学第一单元常用逻辑用语132命题四种形式教学案新人教B1新人教B数学案

1．3.2

命题的四种形式学习目标

1.认识四种命题的观点，

会写出所给命题的抗命题、

否命题和逆否命题

.2.

认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系

.3.

会利用命题的等价性解决问题．知识点一

四种命题的观点思虑给出以下四个命题：当x＝2时，x2－3x＋2＝0；若x2－3x＋2＝0，则x＝2；若x≠2，则x2－3x＋2≠0；若x2－3x＋2≠0，则x≠2.你能说出命题(1)与其余三个命题的条件与结论有什么关系吗？梳理对命题的条件和结论进行“换位”和“换质”(否认)后，能够组成四种不一样形式的命题：原命题：________________；抗命题：________________(“换位”)；否命题：________________(“换质”)；逆否命题：________________(“换位”又“换质”)．知识点二命题的四种形式之间的关系思虑1为了书写方便常把p与q的否认分别记作“綈p”和“綈q”，假如原命题是“如果p，则q”，那么它的抗命题、否命题、逆否命题该如何表示？思虑2原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的抗命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的抗命题与其否命题呢？梳理四种命题间的互相关系知识点三四种命题的真假关系思虑1知识点一的“思虑”中四个命题的真假性是如何的？思虑2假如原命题是真命题，它的抗命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？梳理(1)在原命题的抗命题、否命题、逆否命题中，必定与原命题真假性同样的是________________．(2)两个命题互为抗命题或互为否命题时，它们的真假性________________．种类一四种命题及其互相关系命题角度1四种命题的观点例1写出以下命题的抗命题、否命题和逆否命题．若x∈A，则x∈A∪B；若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；在△ABC中，若a>b，则A>B.反省与感悟四种命题的变换方法交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的抗命题．同时否认原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．交换原命题的条件和结论，而且同时否认，所得命题是原命题的逆否命题．追踪训练

1

命题“若函数

f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则

log

a2<0”的逆否命题是( )A．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数命题角度2四种命题的互相关系例

2

若命题

p：“若

x＋y＝0，则

x，y互为相反数”的否命题为

q，命题

q的抗命题为

r，则r

与p的抗命题的关系是

(

)A．互为抗命题B．互为否命题C．互为逆否命题D．同一命题反省与感悟判断四种命题之间四种关系的两种方法利用四种命题的定义判断；巧用“逆、否”两字进行判断，如“抗命题”与“逆否命题”中不一样有“否”一个字，是互否关系；而“抗命题”与“否命题”中不一样有“逆、否”二字，其关系为逆否关系．追踪训练2已知命题p的抗命题是“若实数a，b知足a＝1且b＝2，则a＋b<4”，则命题p的否命题是__________________________________．种类二四种命题的真假判断例3有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的抗命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则

x2－2x＋m＝0

有实数解”的逆否命题；④“若

A∩B＝B，则

A?

B”的逆否命题，此中真命题为

(

)A．①②

B．②③C．④

D．①②③反省与感悟

原命题与逆否命题老是拥有同样的真假性，

与抗命题或否命题的真假性没相关系．抗命题与否命题也老是拥有同样的真假性．追踪训练

3

命题“若

a>b，则

ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的抗命题、

否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．0B．2C．3D．4种类三等价命题的应用例4判断命题“已知a，x为实数，若对于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．引申研究227判断命题“已知a，x为实数，若对于x的不等式x＋(2a＋1)x＋a＋2>0的解集为R，则a<4”的逆否命题的真假．反省与感悟因为原命题和它的逆否命题有同样的真假性，即互为逆否命题的两个命题拥有等价性，因此我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，能够经过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．追踪训练4证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.1．命题“若a?A，则b∈B”的否命题是( )A．若a?A，则b?BB．若a∈A，则b?BC．若b∈B，则a?AD．若b?B，则a?A2)2．命题“假如x<1，则－1<x<1”的逆否命题是(A．假如x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．假如－1<x<1，则x2<1C．假如x>1或x<－1，则x2>1D．假如x≥1或x≤－1，则x2≥13．假如一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的抗命题是( )A．真命题B．假命题C．不必定是真命题D．不必定是假命题4．以下命题：①“全等三角形的面积相等”的抗命题；②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；③“若k<0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有两相异实数根”的逆否命题．此中真命题的个数是( )A．0B．1C．2D．35．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的抗命题为真命题，则m的取值范围是________．1．写四种命题时，能够按以下步骤进行：找出命题的条件p和结论q；写出条件p的否认綈p和结论q的否认綈q；依据四种命题的结构写出全部命题．2．一个命题都有条件和结论，要分清条件和结论．3．判断命题的真假能够依据互为逆否的命题真假性同样来判断，这也是反证法的理论基础．学习目标

1.理解命题及四种命题的观点，

掌握四种命题间的互相关系

.2.

理解充分、必需条件的观点，掌握充分、必需条件的判断方法

.3.

理解逻辑联络词的含义，会判断含有逻辑联络词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否认．知识点一全称命题与存在性命题1．全称命题与存在性命题真假的判断方法判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只要举出反例．判断存在性命题为真命题，需要举出正例，而判断存在性命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．2．含有一个量词的命题否认的关注点全称命题的否认是存在性命题，存在性命题的否认是全称命题．否认时既要改写量词，又要否认结论．知识点二简略逻辑联络词“且、或、非”命题的真假判断能够归纳为口诀：“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假．pq綈pp∨qp∧q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假知识点三充分条件、必需条件的判断方法1．直接利用定义判断：即若p?q建立，则p是q的充分条件，q是p的必需条件．(条件与结论是相对的

)2．利用等价命题的关系判断：

p?

q的等价命题是綈

q?

綈p，即若綈

q?

綈p

建立，则

p是q的充分条件，

q是

p的必需条件．3．从会合的角度判断充分条件、必需条件和充要条件若A?B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不用要条件若B?A，则p是q的必需条件，若BA，则p是q的必需不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A?B且

B?A，则

p既不是

q的充分条件，也不是

q的必需条件此中p：A＝{x|p(x)建立}，q：B＝{x|q(x)建立}．知识点四四种命题的关系原命题与逆否命题为等价命题，抗命题与否命题为等价命题．种类一命题的关系及真假的判断例1将以下命题改写成“假如p，则q”的形式，并写出它的抗命题、否命题和逆否命题以及它们的真假．垂直于同一平面的两条直线平行；2(2)当mn<0时，方程mx－x＋n＝0有实数根．反省与感悟(1)四种命题的改写步骤①确立原命题的条件和结论．②抗命题：把原命题的条件和结论交换．否命题：把原命题中条件和结论分别否认．逆否命题：把原命题中否认了的结论作条件、否认了的条件作结论．命题真假的判断方法追踪训练1以下四个结论：①已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”；②命题“若x－sinx＝0，则x＝0”的逆命题为“若x≠0，则x－sinx≠0”；③命题p的否命题和命题p的抗命题同真同假；④若|C|>0，则C>0.此中正确结论的个数是( )A．1B．2C．3D．4种类二逻辑联络词与量词的综合应用例2已知：?x∈R，2＋2≤0.：?x∈R，x2－2＋1＞0，若∨为假命题，则实数pmxqmxpq的取值范围是()mA．[1，＋∞)B．(－∞，－1]C．(－∞，－2]D．[－1,1]反省与感悟

解决此类问题第一理解逻辑联络词的含义，

掌握简单命题与含有逻辑联络词的命题的真假关系．其次要擅长利用等价关系，如：

p真与綈

p假等价，

p假与綈

p真等价，将问题转变，进而谋得最正确解决门路．追踪训练

2

已知命题

p：方程

2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]

上有解；命题

q：只有一个实数

x02若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．知足不等式x0＋2ax0＋2a≤0.种类三充分条件与必需条件命题角度1充分条件与必需条件的判断例3(1)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的( )A．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件(2)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )A．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件反省与感悟条件的充要关系的常用判断方法定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．等价法：利用A?B与綈B?綈A，B?A与綈A?綈B，A?B与綈B?綈A的等价关系，对于条件或结论能否认式的命题，一般运用等价法．利用会合间的包括关系判断：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必需条件；若A＝B，则A是B的充要条件．追踪训练3使a>b>0建立的一个充分不用要条件是( )A．a2>b2>0B．log1a>log1b>022C．ln>ln>0D．xa>b且x>0.5abx命题角度2充分条件与必需条件的应用例4设命题p：x2－5＋6≤0；命题q：(x－)(x－－2)≤0，若綈p是綈q的必需不充分xmm条件，务实数m的取值范围．反省与感悟利用条件的充要性求参数的范围解决此类问题一般是把充分条件、必需条件或充要条件转变为会合之间的关系，而后根据会合之间的关系列出对于参数的不等式求解．(2)注意利用转变的方法理解充分必需条件：

若綈

p是綈

q的充分不用要

(必需不充分、充要)条件，则

p是

q的必需不充分

(充分不用要、充要

)条件．追踪训练

4

已知

p：2x2－9x＋a<0，q：2<x<3且綈

q是綈

p的必需条件，务实数

a的取值范围．x1．已知命题p：?x>0，总有(x＋1)e>1，则綈p为( )B．?x>0，使得(x＋1)ex≤1C．?x>0，总有(x＋1)ex≤1D．?x≤0，总有(x＋1)ex≤12．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )A．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件3．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为______________．4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈

p)∨q中，真命题是

________．5．对随意

x∈[－1,2]

，x2－a≥0恒建立，则实数

a的取值范围是

________．1．否命题和命题的否认是两个不一样的观点否命题是将原命题的条件否认作为条件，将原命题的结论否认作为结论结构一个新的命题．(2)命题的否认不过否认命题的结论，常用于反证法．若命题为“假如

p，则

q”，则该命题的否命题是“假如綈

p，则綈

q”；命题的否认为“假如

p，则綈

q”．2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必需条件方向正好相反，不要混杂．4．注意常有逻辑联络词的否认一些常有逻辑联络词的否认要记着，如：“都是”的否认“不都是”，“全部是”的否认“不全部是”，“起码有一个”的否认“一个也没有”，“至多有一个”的否认“起码有两个”．答案精析问题导学知识点一思虑命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰巧交换了．命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否认和结论的否认．命题(1)的条件和结论恰巧是命题(4)结论的否认和条件的否认．梳理(1)假如p，则q(2)假如q，则p(3)假如綈p，则綈q(4)假如綈q，则綈p知识点二思虑1抗命题：假如q，则p.否命题：假如綈p，则綈q.逆否命题：假如綈q，则綈p.思虑2互逆、互否、互为逆否．梳理假如p，则q假如q，则p假如綈p，则綈q假如綈q，则綈p知识点三思虑1(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．思虑2原命题为真，其抗命题不必定为真，其否命题不必定为真，其逆否命题必定是真命题．梳理(1)逆否命题(2)没相关系题型研究例1解(1)抗命题：若x∈A∪B，则x∈A.否命题：若x?A，则x?A∪B.逆否命题：若x?A∪B，则x?A.抗命题：若a＋b是偶数，则a，b都是偶数．否命题：a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数．逆否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数．抗命题：在△ABC中，若A>B，则a>b.否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B.逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b.追踪训练1B例2B[已知命题p：若x＋y＝0，则x，y互为相反数．命题p的否命题q为：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，命题q的抗命题r为：若x，y不互为相反数，则x＋y≠0，∴r是p的逆否命题，∴r是p的抗命题的否命题，应选B.]追踪训练2若实数a，b知足a＋b≥4，则a≠1或b≠2分析

由命题

p的抗命题与其否命题互为逆否命题可得．例

3

D[①②③明显正确；对于④，若

A∩B＝B，则

B?

A，因此原命题为假，故它的逆否命题也为假．]追踪训练3B[命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”是假命题，则其逆否命题是假命题．该命题的抗命题为“若ac2>bc2，则a>b(a，b，c∈R)”是真命题，则其