2023届河北省中考数学系统复习：第七单元图形变换第28讲图形的平移、旋转与位似8年真题训练

PAGEPAGE1第28讲图形的平移、旋转与位似命题点近8年的命题形式考查方向平移2023(T15选)，2023(T24解)，2023(T17填)由于平移的性质比拟简单，因此考查的频率较少，注意平移的隐性考查，即函数图象的平移越来越可能出现在中考的题目中.旋转2023(T25解、T23解)，2023(T26解)，2023(T23解)，2023(T20填、T24解、T26解)，2023(T25解)eq\x(高频考点)主要是解答题形式，以常见的几何图形为背景，旋转为操作手段，通过对特殊位置的研究，考查几何图形的性质，综合解题能力.位似2023(T23解)，2023(T20(1)解)既考查位似作图，又考查在位似变换的条件下，探究变换后原来结论是否成立.命题点1图形的平移1．(2023·河北T17·3分)如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，那么阴影局部的周长为2．图1图2命题点2位似2．(2023·河北T20·8分)如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．(结果保存根号)解：(1)如下图．(2)AA′＝CC′＝2.在Rt△OA′C′中，OA′＝OC′＝2，∴A′C′＝2eq\r(2).同理可得，AC＝4eq\r(2).∴四边形AA′C′C的周长为4＋6eq\r(2).重难点1图形的平移在由相同的小正方形组成的3×4的网格中，有3个小正方形已经涂黑，请你再涂黑一个小正方形，使涂黑的四个小正方形中，其中两个可以由另外两个平移得到，那么还需要涂黑的小正方形序号是(D)A．①或②B．③或④C．⑤或⑥D．①或⑨【变式训练1】(2023·石家庄模拟)如图，将边长为2个单位长度的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位长度得到△DEF，那么四边形ABFD的周长为8个单位长度．【变式训练2】如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影局部的面积为24__cm2．eq\x(方法指导)判断两个图形之间的平移情况时，两个图形必须全等，才可以转化成图形上对应点的平移．eq\x(易错提示)易把图形的平移与图形轴对称混淆，从而产生错误．重难点2与图形的旋转相关的计算与证明如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AC边上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转到线段AE，使得AE⊥AB，且点E，D，B恰好在同一直线上，作EM⊥AC于点M.(1)假设线段AD逆时针旋转了54°，求∠CBD的度数；(2)求证：AB＝EM＋BC.【思路点拨】(1)求∠CBD的度数可以转化成求∠ADE的度数，求∠ADE的度数相当于在等腰△ADE中，顶角求底角；(2)对于证明AB＝EM＋BC，可作DF⊥AB于F，先证明AF＝EM，再证明BF＝BC.【自主解答】解：(1)由旋转的性质，得AD＝AE，∵∠DAE＝54°，∴∠ADE＝eq\f(1,2)(180°－∠DAE)＝eq\f(1,2)×(180°－54°)＝63°.∵∠BDC＝∠ADE＝63°，∠C＝90°，∴∠CBD＝90°－∠BDC＝90°－63°＝27°.(2)证明：过点D作DF⊥AB于点F.∵AE⊥AB，EM⊥AC，∴∠AEM＋∠EAM＝∠DAF＋∠EAM＝90°，即∠AEM＝∠DAF.在△AEM和△DAF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEM＝∠DAF，,∠AME＝∠DFA＝90°，,AE＝DA，))∴△AEM≌△DAF(AAS)．∴AF＝EM.∵∠CBD＋∠BDC＝90°，∠ABD＋∠AED＝90°，∠AED＝∠ADE＝∠BDC，∴∠CBD＝∠ABD.又∵DC⊥BC，DF⊥BF，∴CD＝FD.在Rt△BCD和Rt△BFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝BD，,CD＝FD，))∴Rt△BCD≌Rt△BFD(HL)．∴BC＝BF.又∵AB＝AF＋BF，∴AB＝EM＋BC.【变式训练3】(2023·南充)如图，在矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B′落在AC上，B′C′交AD于点E，在B′C′上取点F，使B′F＝AB.(1)求证：AE＝C′E；(2)求∠FBB′的度数；(3)AB＝2，求BF的长．解：(1)证明：∵在Rt△ABC中，AC＝2AB，∴∠ACB＝∠AC′B′＝30°，∠BAC＝60°.由旋转，得AB′＝AB，∠B′AC＝∠BAC＝60°.∴∠EAC′＝∠AC′B′＝30°.∴AE＝C′E.(2)∵∠BAC＝60°，AB＝AB′，∴△ABB′为等边三角形．∴AB＝BB′，∠AB′B＝60°.∴∠FB′B＝150°.∵B′F＝AB＝BB′，∴∠FBB′＝eq\f(1,2)×(180°－∠FB′B)＝15°.(3)过点B作BH⊥B′C′，垂足为H.∵∠BB′H＝30°，B′B＝2，∴BH＝1，B′H＝eq\r(3).∴FH＝eq\r(3)＋2.∴BF＝eq\r(12＋〔2＋\r(3)〕2)＝eq\r(8＋4\r(3))＝eq\r(6)＋eq\r(2).eq\x(方法指导)1．一条线段旋转相当于形成一个等腰三角形，旋转角是等腰三角形的顶角，同样等腰三角形也可以看作一条线段绕它的一个端点旋转得到图形．2．证明一条线段等于两条线段的和，通常用截长法或补短法，表示为：假设证明a＝b＋c，先从a中截取d＝c，再证明剩下的e＝b或先把b，c补成一条线段，再证明补得的线段与a相等．注：此题还可以先截取AF＝EM，再证明BF＝BC.重难点3位似如图，等腰△OBA和等腰△ACD是位似图形，那么这两个等腰三角形位似中心的坐标是(－2，0)．【思路点拨】由于位似中心是对应点连线的交点，对应边平行或在同一条直线上，因此连接CB并延长与x轴的交点即所求．【变式训练4】(2023·河北模拟)如图，在平面直角坐标系中，与△ABC是位似图形的是(C)A．①B．②C．③D．④【变式训练5】(2023·承德模拟)在平面直角坐标系中，点A(6，3)，以原点O为位似中心，在第一象限内把线段OA缩小为原来的eq\f(1,3)得到线段OC，那么点C的坐标为(A)A．(2，1)B．(2，0)C．(3，3)D．(3，1)eq\x(方法指导)1．位似的两个图形，只可能有一个位似中心，位似中心是两对对应点连线的交点．2．位似比确定，位似中心确定，可作一个图形的两个位似图形，且分居位似中心两侧，大小、形状相等．eq\x(易错提示)作一个图形的位似图形时，可能漏掉一个．1．如图，将方格纸中上面的图形平移后和下面的图形拼成一个长方形，那么正确的平移方法是(C)A．先向下移动1格，再向左移动1格B．先向下移动1格，再向左移动2格C．先向下移动2格，再向左移动1格D．先向下移动2格，再向左移动2格2．(2023·唐山路北区二模)如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为(A)ABCD3．(2023·枣庄)将数字“6〞旋转180°，得到数字“9〞，将数字“9〞旋转180°，得到数字“6〞，现将数字“69〞旋转180°，得到的数字是(B)A．96B．69C．66D．994．如图，将△ABC的三边分别扩大一倍，得△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以点P为位似中心的位似图形，那么点P的坐标是(D)A．(－2，0)B．(－1，0)C．(0，－2)D．(0，－1)5．如图，假设正六边形ABCDEF绕着中心点O旋转α度后得到的图形与原来图形重合，那么α的最小值为(D)A．120B．90C．45D．606．(2023·天津)如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD.以下结论一定正确的选项是(C)A．∠ABD＝∠EB．∠CBE＝∠CC．AD∥BCD．AD＝BC7．(2023·大连)如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD.假设点A恰好在ED的延长线上，那么∠CAD的度数为(C)A．90°－αB．αC．180°－αD．2α8．(2023·唐山乐亭县一模)如图，网格纸上正方形小格的边长为1.图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A′B′和点P′，那么点P′所在的单位正方形区域是(D)A．①B．②C．③D．④9．(2023·枣庄)如图，在正方形ABCD中，AD＝2eq\r(3)，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，那么三角形PCE的面积为9－5eq\r(3)．10．(2023·曲靖)如图，图形①②③均是以P0为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动1个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆心依次为P1，P2，P3；第二次移动后图形①②③的圆心依次为P4，P5，P6；…；依此规律，P0P2018＝673个单位长度．11．(2023·吉林)如图是由边长为1的小正方形组成的4×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按以下步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D.(1)请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；(2)所画图形是轴对称图形；(3)求所画图形的周长(结果保存π)．解：(1)如下图．(3)所画图形周长为4×eq\f(90×π×4,180)＝8π.12．(2023·徐州)如图，AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3eq\r(3)，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC＝4；(2)求线段DB的长度．解：∵AC＝AD，∠CAD＝60°，∴△ACD是等边三角形．∴DC＝AC＝4.过点D作DE⊥BC于点E.∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°.又∵AC⊥BC，∴∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°.∴在Rt△CDE中，DE＝eq\f(1,2)DC＝2，CE＝DC·cos30°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).∴BE＝BC－CE＝3eq\r(3)－2eq\r(3)＝eq\r(3).∴在Rt△BDE中，BD＝eq\r(DE2＋BE2)＝eq\r(7).13．(2023·宜宾)如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，△ABC的面积为9，阴影局部三角形的面积为4.假设AA′＝1，那么A′D等于(A)A．2B．3C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)14．(2023·邯郸模拟)一个数学游戏，正六边形被平均分为6格(其中1格涂有阴影)，规那么如下：假设第一个正六边形下面标的数字为a(a为正整数)，那么先绕正六边形的中心顺时针旋转a格；再沿某条边所在的直线l翻折，得到第二个图形．例如：假设第一个正六边形下面标的数字为2，如图，那么先绕其中心顺时针旋转2格；再沿直线l翻折，得到第二个图形．假设第一个正六边形下面标的数字为4，如图，按照游戏规那么，得到第二个图形应是(A)15．(2023·石家庄模拟)如图，∠AOB＝90°，点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上，点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，…，连接AA1，AA2，AA3，…，依此作法，那么∠AA2A3＝157.5°，∠AAnAn＋1＝(180－eq\f(90,2n))°．(用含n的代数式表示，n为正整数)16．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，D为△ABC内一点，连接AD，将线段AD绕点A旋转至AE，使得∠DAE＝∠BAC，F，G，H分别为BC，CD，DE的中点，连接BD，CE，GF，GH.(1)求证：GH＝GF；(2)试说明∠FGH与∠BAC互补．解：(1)证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，))∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴BD＝CE.∵F，G，H分别为BC，CD，DE的中点，∴HG∥CE，GF∥BD，且GH＝eq\f(1,2)CE，GF＝eq\f(1,2)BD.∴GH＝GF.(2)∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE.∵HG∥CE，GF∥BD，∴∠HGD＝∠ECD，∠GFC＝∠DBC.∴∠HGD＝∠ACD＋∠ACE＝∠ACD＋∠ABD，∠DGF＝∠GFC＋∠GCF＝∠DBC＋∠GCF.∴∠FGH＝∠DGF＋∠HGD＝∠DBC＋∠GCF＋∠ACD＋∠ABD＝∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC.∴∠FGH与∠BAC互补．17．如图1，在▱ABCD中，AB＝10cm，BC＝4cm，∠BCD＝120°，CE平分∠BCD交AB于点E.点P从A点出发，沿AB方向以1cm/s的速度运动，连接CP，将△PCE绕点C逆时针旋转，使CE与CB重合，得到△QCB，连接PQ.(1)求证：△PCQ是等边三角形；(2)如图2，当点P在线段EB上运动时，△PBQ的周长是否存在最小值？假设存在，求出△PBQ周长的最小值；假设不存在，请说明理由；(3)如图3，当点P在射线AB上运动时，是否存在以点P，B，Q为顶点的直角三角形？假设存在，求出此时t的值；假设不存在，请说明理由．解：(1)证明：由旋转性质，得△PCE≌△QCB，∴CP＝CQ，∠PCE＝∠QCB.∵∠BCD＝120°，CE平分∠