第3章电阻电路的分析方法

第3章电阻电路的分析方法•所谓电阻电路，是指仅包含有电阻、独立电源和受控源的电路。•若电阻电路中含有非线性元件，则称为非线性电阻电路；若电阻电路中不含有任何非线性元件，则称为线性电阻电路。•对于结构较为简单的电阻电路，可以利用等效变换的方法进行简化后分析。•但这种方法改变了电路的结构，对于结构较为复杂的电路来说不太适用。

•因此，必须研究在不改变电路结构的情况下进行电路分析的方法。•电阻电路的方程由两类约束构成：一类是由电路的网络拓扑结构所决定的约束方程，即KCL和KVL方程；另一类是由电路中具体元件所要满足的伏安特性方程，即VCR方程。•其中，第一类约束方程（KCL和KVL）是代数方程，而在第二类约束方程（VCR）中，线性电阻元件的VCR是线性代数方程，非线性电阻元件的VCR是非线性方程。•为了便于讨论和学习，本章将主要以线性电阻电路为对象，讨论在不改变电路结构的前提下建立电路方程的一般方法，其目的是为今后动态电路、正弦交流电路的分析打好基础。•本章的主要内容包括：支路电流法、回路电流法、节点电压法等。支路电流法3.1网孔电流法和回路电流法3.2节点电压法3.33.1支路电流法•在图3-1-1所示的直流电路中，各电压源及电阻均为已知，要求各支路电流。•对于这样一个问题，是无法应用第2章所介绍的方法进行求解的。•因为它的电阻既不是串联，也不是并联，而且不能利用三角形和星形的等效变换进行化简，而n个电源也无法简化成一个等效电源。•对于这类电路称为复杂电路，必须研究一般的分析方法，来简化复杂电路的计算。图3-1-1电路图•由于求解的对象是各支路电流，即各支路电流是未知量，所以必须建立一组包含这些未知量的独立方程。•建立这些方程的依据是什么呢？由于基尔霍夫电流定律是电路中各个支路电流必须遵守的规律，因此，它必然是建立方程的依据之一。•第2个依据则是基尔霍夫电压定律，因为它是形成闭合回路的各元件上的电压必须遵守的规律，而各个电阻上的电压又是与流过其中的电流有关的。•这样，运用两个基尔霍夫定律就能提供所需要的方程组。•对这组方程进行联立求解，最后求得各支路电流，这就是支路电流法。•对图3-1-1所示的电路可以列写4个电流方程，但要考察一下，它们是不是独立的。•为此，把这4个方程左右两边都加起来，结果就得到0

=

0•若都选顺时针绕行方向，则相应的回路电压方程为•在这3个方程中，无论哪一个都不能从其他两个相加减而导出，因而它们是独立的。•如果任意再取一个回路，如由支路（1，4，5，3）构成的回路，列出的回路电压方程为•一般说来，对于具有b条支路，n个节点的电路，应用基尔霍夫电压定律只能列出l

=

b(n1)

=bn

+

1个独立的回路电压方程。

•因为在b个独立方程中，已经有(n1)个为基尔霍夫电流定律所提供。•与这些独立方程相对应的回路叫做独立回路，独立回路数为•综上所述，用支路电流法分析电路的步骤可以归纳如下。（1）任意假定各支路电流的参考方向。（2）按照基尔霍夫电流定律，对(n1)个独立节点列出方程。（3）选取(bn

+

1)个独立回路，指定回路绕行方向，应用基尔霍夫电压定律列出回路方程。对平面电路可取各网孔为独立回路。（4）联立求解上述b个独立方程，便可求得全部支路电流。•例3-1-1

对图3-1-2所示的电路，若R1

=

6，R2

=

12，R3

=

24，uS1

=

96V，uS2

=

60V，求各支路电流及各电压源的功率。图3-1-2例3-1-1的图•例3-1-2列写图3-1-3所示电路的支路电流方程。图3-1-3例3-1-2电路图•例3-1-3列写图3-1-4所示电路的支路电流方程。图3-1-4例3-1-3电路图•综上所述，使用支路电流法解题的一般步骤如下：（1）标注各支路电流参考方向和电压的参考方向以及独立回路的绕行方向。（2）根据KCL对(n−1)个独立节点列写KCL方程。（3）根据KVL和VCR对(b−n

+

1)个独立回路列写KVL方程。（4）求解上述方程，得到b个支路电流。（5）求解电路的其他变量，如求解电压、功率等。3.2网孔电流法和回路电流法•支路电流法需要求解b个联立方程，如果电路结构比较复杂，支路较多，上述方法在求解时将相当繁杂。•能否使方程数目减少下来而简化手工求解的工作量呢？网孔电流法和回路电流法就是基于这种想法而提出的一类改进方法。3.2.1网孔电流法•欲使方程数目减少，就需要使待解未知量的数目减少，因此应当寻求一组数目少于支路数的待解独立变量。•图3-2-1所示的平面电路共有3条支路和2个节点，每条支路的编号及参考方向已经在图中标出。图3-2-1网孔电流法•下面将通过此图说明网孔电流就是满足要求的一组独立而完备的变量。•假想在平面电路的每一个网孔里均有一个电流沿着构成该网孔的各支路做闭合而连续的流动，这些假想的电流称为各网孔的电流（meshcurrent）。•以上网孔电流为未知时列写电路方程进行电路分析的方法，称为网孔电流法，简称为网孔法。•由于网孔电流自动满足KCL，所以在应用网孔电流为未知量列写电路方程时，只需对平面电路的所有网孔列写KVL方程即可。•可见，对于一个具有n个节点、b条支路的电路来说，网孔电流法的独立方程数就是KVL的独立方程数，为(bn

+

1)个；网孔个数就是独立回路数，也是(b−n

+

1)个。•与支路电流法所需的b个独立方程及变量相比，数目都减少了(n−1)个。•根据以上规则，则可对一般电阻电路直接写出网孔电流方程。•用网孔电流法分析平面电阻电路的一般步骤如下。（1）选定电路中各个网孔的绕行方向。（2）对每个网孔，以网孔电流为未知量，列写形如式（3-2-5）所示的KVL方程。（3）求解上述方程，得到所有的网孔电流。（4）求解各支路电流，并进一步求解其他电压和功率。图3-2-2例3-2-1电路图3.2.2回路电流法•网孔电流法只适用于平面电路，且由于平面电路给定后其网孔就是固定的，所以当遇到电路中含有复杂点的支路（如无伴电流源支路）时，处理起来不够灵话。•回路电流法是以回路电流为电路变量进行电路分析的一种方法，它不仅适用于平面电路，而且适用于非平面电路。•因此，回路电流法是一种适用性较强并获得广泛应用的分析方法。•与网孔电流的定义类似，回路电流是一组假想的电流，这组电流仅在构成各自回路的那些支路中连续流动。•在图3-2-3中，各支路编号已经由各元件下标确定，假如某回路由支路组合（2，3，5）构成，则该回路电流仅在支路2、3、5中连续流动而不再经过其他支路，回路电流是一组独立而完备的变量，这是因为回路电流总是在流入一个节点后又从该节点流出，因而回路电流自动满足了KCL。•同时若得到了所有的回路电流，则所有的支路电流都能够用回路电流表示，从而可对电路进行进一步分析。•例3-2-2对图3-2-4所示电路，各独立回路已经标于图中，试用回路电流法求电流及各电压源发出的功率。图3-2-3回路电流法图3-2-4例3-2-2的图•例3-2-3电路如图3-2-5（a）所示，试列写其回路电流方程。图3-2-5例3-2-3电路图•用回路电流法分析电路的一般步骤如下。（1）观察电路的特点，看是否含有无伴电流源和受控源。按适当的规则确定一组基本回路。指定各回路电流的参考方向（即回路的绕向）。（2）按式（3-2-8）列写回路电流方程，注意自电阻总是正的，互阻的正负由相关的两个回路电流通过公共电阻时，两者的参考方向是否相同而定。•在计算电压源电压的代数和时要注意各个有关电压源电压前面的正负号的取法。•对含有无伴电流源的回路应按有关规定列写方程。（3）对含有无伴电流源和受控源的电路，要增加必要的附加方程。（4）求解方程，并做其他规定的分析。（5）对于平面电路，可选择使用网孔电流法。3.3节点电压法

•对一个具有n个节点和b条支路的电路，若选择任意一节点为参考节点，则其他(n−1)个节点称为独立节点。•各独立节点与此参考节点之间的电压称为各独立节点的节点电压，节点电压的“+”极性为各独立节点，节点电压总是以参考节点为“−”极性端。•节点电压通常记作un1，un2，…，①、②、…为独立节点编号，习惯上独立节点的编号由１顺次递增增至（n−1）。•对图3-3-1所示的电路，电路中共有3个节点，若选取节点③为参考节点，节点①、②的节点电压分别用un1，un2，…表示，则各支路电压都可以用节点电压表示出来，即图3-3-1节点电压法•同时，节点电压自动满足了KVL，因为沿任意一回路的各支路电压，若都以节点电压来表示，则其代数和恒等于零。•例如，对于R2、R3、R5所构成的回路，有•可见，节点电压是一组完备而独立的电路变量。•以节点电压为求解变量列写电路方程进行电路分析的方法称为节点电压法。•节点电压法实质上是利用KCL和VCR，并将所有的支路电流都用节点电压表示，得到节点电压方程。对于具有n个节点的电路。•每个独立节点对应一个独立KCL方程，独立方程数为（n1）个，这也是节点电压方程的数目，与支路电流法的b个方程相比，方程数可减少（bn

+

1）个。•具有两个独立节点的节点电压方程的一般形式为•推广到具有（）个独立节点的电路，有（a）原电路中的某支路（b）等效图3-3-2某支路中含电阻串联组合时的处理图3-3-3含电压源与电阻的串联组合时的处理•例3-3-1电路如图3-3-4（a）所示，以节点③为参考节点列写节点电压方程。•若将a、ｂ端子左侧的电流源支路改画为图3-3-4（b）的形式，分析对节点电压方程的影响。图3-3-4例3-3-1电路图•例3-3-2列写图3-3-5（a）所示电路的节点电压方程。图3-3-5例3-3-2电路图•例3-3-3电路如图3-3-6所示，列写其节点电压方程。图3-3-6例3-3-3电路图•综上所述，利用节点电压法进行电路分析的一般步骤如下。（1）观察电路的特点，针对不同支路情况合理选择参考节点，其余节点与参考节点之间的电压就是节点电压，参考节点为各节点电压的负极性端。（2）对(n−1)个独立节点，以节点电压为未知量，按式（3-3-6）列写节点电压方程。注意自导总是正的，互导总是负的。在计算电流源电流代数和时要注意各个有关电流源项前面正负号的取法，流入节点取正，流出节点取负。（3）当电路中含有无伴电压源或受控源时，还应根据相关规则列写附加方程。（4）求解上述方程得到(n−1)个节点电压，进而可利用VCR求得各支路电压及支路电流，并分析电路中的功率情况。•