概率论与数理统计试题

《概率论与数理统计》试题

一、判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“J"，错误

打“X”）

⑴对任意事件A和B,必有P（AB）=P（A）P（B）

⑵设A、B是。中的随机事件，则（AUB）-B=A

⑶若X服从参数为人的普哇松分布，则EX=DX

（4）假设检验基本思想的依据是小概率事件原理

（）

⑸样本方差叫=工£（占-又产是母体方差DX的无偏估计

n普

（）

二、（20分）设A、B、C是Q中的随机事件，将下列事件用A、

B、C表示出来

（1）仅A发生，B、C都不发生；

（2）4,B,c中至少有两个发生；

（3）中不多于两个发生；

（4）A,8,C中恰有两个发生；

（5）中至多有一个发生。

三（15分）把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角

形的概率.

四（10分）已知离散型随机变量X的分布列为

X-2-1013

F111111

5651530

求y=X?的分布列.

五、(10分)设随机变量X具有密度函数=,00<X

V00,

求X的数学期望和方差.

六(15分)某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索

赔户占20%,以X表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保

险公司索赔的户数，求P(14〈XW30).

X00.511.522.5

3

①(x)0.5000.6910.8410.9330.977

0.9940.999

七(15分)设X-X2,…,x”是来自几何分布

p(X=k)=k=l,2,…,0<p<l,

的样本，试求未知参数p的极大似然估计.

《概率论与数理统计》试题(1)评分标准

一(1)X；(2)X；(3)J；(4)J；(5)X。

二解(1)ABC

(2)AB\JACUBC^ABC\JABC\JABC\JABC;

(3)AUBUC或

ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC;

(4)ABCUABCUABC;

(5)A5UACU5CABCUABCUABCUABC

每小题4分；

三解设4='三段可构成三角形'，又三段的长分别为

x,y,a—x—y>则0cx<a,0<y<a,0<x+y<a,不等式构成平面域

s.----------------------------5分

\A发生

,0<y<—,—<x+y<a

\222

不等式确定S的子域A，

-10分

所以

D,.、A的面积1

0/.〃/?〃r

-15分

四解y的分布列为

Y0149

1711

P

530530

Y的取值正确得2分，分布列对一组得2分；

五解EX=J[xgT呸=0,(因为被积函数为奇函数)

--------------------------4分

DX=EX2=x2-e-udx=「'x2e-'dx

J口2J。

CI+00f+00

=-x2e~+2[xe~xdx

10J0

i+=oe+oo

=2[—xe-1+J°e~xdx]=2.-------------------------

---------io分

六解X-b(k;100,0.20),EX=100X0.2=20,DX=100X0.2

X0.8=16.一5分

.(144X430),①。/。)-①。)--------10

JV16JV%16

分

=虫(2.5)—中(―1.5)

=0.994+0.933-1

=0.927.---------------------------------------------15分

/一＞内-n

:-1,=,

七解L(x1,•••,x„；p)=p(l-pY=p"(1-p)--------5分

/=!

InL=〃lnp+(Zx,-〃)ln(l-p),

dlnLn2"一〃八

-----=------------U,-------------------------------

dpp1-72

分

解似然方程

_"+fXi

“一篙

pi-p

得P的极大似然估计

1

P=:O

x

15分

《概率论与数理统计》期末试题(2)与解答

一、填空题(每小题3分，共15分)

1.设事件A,8仅发生一个的概率为0.3,且P(A)+P(5)=0.5,则

48至少有一个不发生的概率为.

2.设随机变量X服从泊松分布，且P(XW1)=4P(X=2),则

P(X=3)=.

3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量

y=X2在区间(0,4)内的概率密度为万(y)=.

4.设随机变量X,y相互独立，且均服从参数为丸的指数分布,

P(X>1)="2,则2=,P{min(X,y)<1}=.

5.设总体x的概率密度为

X-X2,…,X,是来自x的样本，则未知参数。的极大似然估计量为

角翠：1.P(AB+AB)^0.3

即0.3=P(AB)+P(XB)=P(A)-P(AB)+P(B)-尸(AB)=0.5-2P(AB)

所以P(A6)=0.1

P(AUB)=P(而)=1-P(AB)=0.9.

j*2

2.P(XW1)=P(X=0)+P(X=1)=1+&一，P(X=2)=—e"

2

由P(XW1)=4P(X=2)知0-"+&-'=2矛6-'

即2/l2-A-l=0解得2=1,故

p(x=3)=£.

3.设y的分布函数为4(y),X的分布函数为a(x)，密度为

/(x)则

弓(y)=P(Y<y)=P(X2<y)=P(T<XW6)=&(4)-4(一6)

因为X~U(O,2),所以4(—6)=0，即为():)=心(6)

故

fy(J)=F'y(y)=—Ufx(V7)=<47^'O''

24|0,其它.

另解在(0,2)上函数y=f严格单调，反函数为//(y)=4

所以

1n.

2X(6)・生=济，"

”[0,其它.

4.尸(X〉1)=1-P(X<1)=「=/,故2=2

F{min(X,r)<l}=l-P{min(X,r)>l}=1—P(X>1)P(7>1)

=l-e-4.

d

5.似然函数为g，…,4；6)=立矽+1w=(。+1)"(石,x„)

i=l

InL=nln(64-1)+In玉

<=i

胆=其+虫呻0

doe+\tr

解似然方程得。的极大似然估计为

0=——!-----1.

〃；=i

二、单项选择题(每小题3分，共15分)

1.设A,B,C为三个事件，且A,B相互独立，则以下结论中不正确

的是

(A)若P(C)=1,则AC与6c也独立.

(B)若尸(C)=l,则AUC与8也独立.

(C)若P(C)=0,则AUC与6也独立.

(D)若CuB,则A与C也独立.

()

2.设随机变量X~N(O,1),X的分布函数为①(x),则P(IXI>2)的值为

(A)2口-①⑵].(B)2①⑵-1.

(C)2-①(2).(D)1-20(2.

()

3.设随机变量x和丫不相关，则下列结论中正确的是

(A)X与y独立.(B)D(X-Y)^DX+DY.

(C)D(X-Y)^DX-DY.(D)D(XY)=DXDY.()

4.设离散型随机变量x和y的联合概率分布为

(XY)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)

若X,y独立，则。,夕的值为

2_2

(A)a=—/3=1.(A)

9'9一9

11

(C)a=-,p=-(D)a)

6618

5.设总体X的数学期望为〃,X-X2,…,X”为来自X的样本，则下列

结论中

正确的是

(A)X］是〃的无偏估计量.(B)X］是〃的极大似

然估计量.

(C)是〃的相合(一致)估计量.(D)不是〃的估计

量.()

解：1.因为概率为1的事件利概率为0的事件与任何事件

独立，所以(A),(B),(C)都是正确的，只能选(D).

2.X~^(0,1)^WP(IXl>2)=1-P(IXl<2)=1-P(-2<X<2)

=1-0)(2)+中(-2)=1-[262)-1]=2[1—0)(2)]应选(A).

3.由不相关的等价条件知应选(B).

4.若X,y独立则有

3

T

183

1La»

2918

(-1+a+/3)(1-+a)^2-(-1+a)

a--2

9

故应选(A).

5.EX,=乂，所以X是〃的无偏估计，应选(A).

三(7分)已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格

品被误认为是次品的概率为0.05,一个次品被误认为是合格

品的概率为0.02,求(1)一个产品经检查后被认为是合格

品的概率；(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合

格品的概率.

解：设4='任取一产品，经检验认为是合格品'

8='任取一产品确是合格品'

则(1)P(A)=P(B)P(AIB)+P(B)P(AIB)

=0.9x0.95+0.1x0.02=0.857.

(2)P(BIA)==°-9X0-95=0.9977.

P(A)0.857

四(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设

在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是

2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、

数学期望和方差.

解：X的概率分布为

P(X=k)k=0,1,2,3.

X0123

即

P2754368

125125125125

X的分布函数为

0,x<0,

27

0<x<l,

1255

81

(x)=v1<x<2,

尸1255

117

2<x<3,

125,

1,x>3.

EX=3x26

55,

.318

DX=3x-X-=-----

5525

五、（10分）设二维随机变量（x,y）在区域

£)={(x,y)lx>0,y>0,x+y<1}上服从均匀分布.求（l）（x,y）关

z=x+丫的分布函数与概率密度.

（1）（x,y）的概率密度为

2,(x,y)eD

f(x,y)=<

0,其它.

（2）利用公式/z（z）=L,/（x,LX）dx

0<x<l,0<^-x<l-xJ2,0<x<1,x<^<L

其中/(x,z-x)=<其它=[o,其它.

u,

当z<0或z>l时^（2）=0

0<z<l时

故Z的概率密度为

2z,0<z<1,

川）=

0,其它.

Z的分布函数为

z<0fo,z<0,

2

fz(z)=「心(y)dy=<Jo2ydy,0<z<l=<z,0<z<1,

1,z>lI」z>L

或利用分布函数法

0,z<0,

Fz(z)=P(Z<z)=P(X+Y<z)=<\\2dxdy,0<z<1,

1,Z>1.

0,z<0,

=<z,0<z<1,

1,z>1.

0<z<l,

fz(Z)=Fz,(Z)=L2z

其它.

六（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点

的横坐标x和纵坐标丫相互独立，且均服从N（0,22）分布.求

（1）命中环形区域。=｛（羽），）114/+/42｝的概率；（2）命中

点到目标中心距离Z=评下的数学期望.

(1)P[X,Y)eD}^^f(x,y)dxdy

广2_________

-\e8d(---)=~e8=es-e2;

J18

(2)EZ=E(yjx2+Y2)=「'「"yjx2+y2-^-e^~dxdy

七（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）X~N（〃,4）,

今抽取容量为16的样本，测得样本均值方=10,样本方差

/=0.16.（1）求〃的置信度为0.95的置信区间；（2）检验

假设/：/wo」（显著性水平为0.05）.

（附注）—（16）=1.746,fOO5（15）=1.753,/0025（15）=2.132,

总。5（16）=26.296,总。5（15）=24.996,必值（15）=27.488.

解：（1）〃的置信度为l-a下的置信区间为

（X-%2（"一I）-/=，X+%2（〃-1）-/=）

7nyjn

X=10,5=0.4,〃=16,a=0.05,z0025（15）=2.132

所以〃的置信度为0.95的置信区间为（9.7868,10.2132）

（2）%：4«0.1的拒绝域为1）.

15V2

Z2=-^-p=15xl.6=24）/，（⑸:24.996

因为/=24<24.996=/05。5）,所以接受“0.

《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答

一、填空题(每小题3分，共15分)

(1)设事件A与8相互独立，事件8与。互不相容，事件A与。互

不相容，且P(4)=P(B)=0.5,尸(C)=0.2,则事件4、B、C中仅

C发生或仅C不发生的概率为.

(2)甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个

黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，

则这颜色是黑色的概率为.

(3)设随机变量x的概率密度为=现对x进

行四次独立重复观察，用丫表示观察值不大于0.5的次数，

贝!jEY2=.

(4)设二维离散型随机变量(X,y)的分布列为

(X,p(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)

p]0402ab

若EXY=0.8，则Cov(X,F)=.

(5)设七工,…是总体N(〃,4)的样本，S2是样本方差,若

PS>a)=0.01,贝lja=.

(注：忌。«7)=33.4,忌005a7)=35.7,7；。«6)=32.0,

就oos(16)=34.2)

角窣：(1)P(ABC+ABC)=P(ABC)+P(ABC)

因为A与。不相容，B与C不相容，所以Z=)C,8nC,故

而C=C

同理ABC=AB.

P(ABC+ABC)=P(C)+P(AB)=0.2+0.5x0.5=0.45.

(2)设4='四个球是同一颜色的'，

Bt='四个球都是白球‘，B2='四个球都是黑球'

贝LlA=g+与.

所求概率为="“)=——

P(A)P(BI)+P(B2)

C；2C；2_3C2C23

P⑷W才而^)=tt=wo

所以尸(&IA)=；.

(3)Y~5(4,p),

其中p=P(X<0.5)=J：2xdx=x2£=；,

1133

EK=4x-=l,£>y=4x-x-=-,

4444

EY2DY+(EY)2」+l=』.

44

(4)(x,y)的分布为

这是因为a+b^OA,由EXY=0.8得0.2+20=0.8

a=0.1,8=0.3

EX=0.6+2x04=1.4,EY=0.5

故cov(X,7)=EXY-EXEY=0.8-0.7=0.1.

]6q2

(5)P(S2>a)=P{-^~>4a}=0.01

4

即力;oi(16)=4〃，^^即4a=32・，.〃=8.

二、单项选择题(每小题3分，共15分)

(1)设4、B、C为三个事件，P(A5)>0且P(CIAB)=1,则有

(A)P(C)4P(A)+P(B)-1(B)P(C)WP(AU8).

(C)P(C)>P(A)+P(B)-1(D)P(C)NP(AU8).

()

(2)设随机变量X的概率密度为

1.(^

/(x)=--j=e4,-oo<x<oo

2〃

且丫="+。~"(0,1),则在下列各组数中应取

(A)a=l/2,b=l.(B)a=W2,b=母.

(C)a=1/2,b=—1.(D)a—>/2/2,b——V2.

()

(3)设随机变量x与y相互独立，其概率分布分别为

X01Y01

P0.40.6—P0.40.6

则有

(A)p(x=y)=o.(B)p(x=y)=o.5.

(C)p(x=y)=o.52.(D)p(x=y)=i.

()

(4)对任意随机变量X,若EX存在，则E[E(EX)]等于

(A)o.(B)x.(C)EX.(D)(EX)3.

()

(5)设%,%2,…,为正态总体N(〃,4)的一个样本，亍表示样本均值,

则〃的

置信度为1-0的置信区间为

(x-ual2-^,x+ua,2

解(1)由P(CIA8)=1知P(A8C)=P("),故P(C)NP(A5)

P(C)>P(AB)=P(A)+P(B)~P(AUB)>P(A)+P(B)-1

应选c.

口92)]2

1(X+2

1C2(扬2

⑵f(x)=—j=e4

2。兀414171

即X~N(-2,行)

故当"=上b=—=V2时Y=aX+b-N(0,1)

V2

应选B.

(3)尸(X=丫)=尸(X=0,y=0)+尸(X=1,y=1)

=0.4x0.4+0.6x0.6=0.52

应选C.

(4)E[E(EX)]=EX

应选C.

(5)因为方差已知，所以〃的置信区间为

(又一"a/23，又+%/23)

yJn7n

应选D.

三(8分)装有10件某产品(其中一等品5件，二等品3件，

三等品2件)的

箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件

产品，结果都

是一等品，求丢失的也是一等品的概率。

解：设4='从箱中任取2件都是一等品'

Bj='丢失i等号'i=1,2,3.

则P(A)=P(B1)P(AIB,)+P(B2)P(AI52)+P(—)P(AIB3)

2C；10Cg5Cl9

所求概率为尸(用IA)=0田)松田)二

四(10分)设随机变量X的概率密度为

ox+1,0<x<2,

/(x)=s修、

I0,其它.

求(1)常数〃；(2)X的分布函数/(X);(3)P(1<X<3).

角翠：(1)1=[f(x)dx=[(ax+i)dx=(―x2+=2a+2

j-00j02

.1

••a=—

2

(2)x的分布函数为

o,x<0,

fxfxn

产(工)=J,J°(l—耳)4〃,0<x<2,

1,x>2.

0,x<0,

="-"r，0<x<2,

4

1,x>2.

(3)P(1<x<3)=J1/(x)dx=J[(l-1)dx=；.

五(12分)设(X,y)的概率密度为

e~x,0<y<x,

/*,)')=，

0,其它.

求(1)边缘概率密度£(x)/(y);(2)F(x+r<1)；

(3)Z=x+y的概率密度加z).

,x<0,

,x>0.

,y<0

3e~xdx,y>0.

(2)P(X+Y<1)=f(x,y)dxdy=j2Je~xdxdy

.r+y<lL-

2」

j『-"•△)dy=1-2e-3+不

(3)介⑵=J：/(x，Z—x)dx

x>0,x<z<2x,

f{x,z-x)='e

其它.

当z<0时％(z)=0

x

z>0时

/z（z）=^e~xdx=e2-e~z

2

所以

[o,Z<Q,

/z（Z）=工

[e2-e~z,z>0.

六（10分（1）设x~u[0,i],y~〃o,i]且x与y独立，求EIX—yi；

（2）因x,y相互独立，所以z=x-Y~N（O,2）

7X-Y

-r=—1）

V2V2

X-Y

E-,所以EIX-YI=/.

V2万yJTT

七（10分）设总体的概率密度为

0x°-',Q<X<1,八C

于（x；e）=<0,其它.（八°）

试用来自总体的样本…,x“，求未知参数。的矩估计和极

大似然估计.

解：先求矩估计

=f0xedx=©

…EX

J。e+i

0=-^-故。的矩估计为0=£

1一Ml-X

再求极大似然估计

g,…，尤”;6）=立。短=夕（芭…天产

i=\

ln£=nln6»+(6»-l)^lnx/

)=1

d\nL

dO

所以。的极大似然估计为

《概率论与数理统计》期末试题(4)与解答

-、填空题(每小题3分，共15分)

(1)P(A)=0.5,P(B)=0.6,P{BIA)=0.8,贝llA,B

至少发生一个的概率为.

(2)设X服从泊松分布，若破2=6,则

P(X>1)=,

(3)设随机变量x的概率密度函数为

/«=4(x+1),℃<2,今对x进行8次独立观测，以y表示

.o,其他.

观测值大于1的观测次数，则。1.

(4)元件的寿命服从参数为工的指数分

100

布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作100

小时以上的概率为.

(5)设测量零件的长度产生的误差x服从

正态分布"(〃,/),今随机地测量16个零件，得9x,=8,

/=1

£X；=34.在置信度0.95下，〃的置信区间为.

/=1

405(15)=1.7531,%.025a5)=2.1315)

解：⑴。.8=尸(创彳)=尸的=「-"(AB)得P(AB)=0.2

l-F(A)0.5

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=LI-0.2=0.9.

(2)X-P(A),6=EX2=DX+(EX)2=A+A2故2=2.

P(X>1)=1-P(XW1)=1—P(X=0)-P(X=1)

=l-e-2-2e-2=l-3e-2.

(3)y~B(8,p),其中p=P(X>1)=J：；(x+l)dx=q

z,5315

DY=8ox—x—=—.

888

(4)设第i件元件的寿命为X,,则X：~E%),i=1,2,3,4,5.系

统的寿命为L所求概率为

100)=P(Xj>100,>100,---,X>100)

P(Y>X25

=[P(X]>100)]5=[l-l+e-1]5=e-5.

(5)〃的置信度1-a下的置信区间为

_S—s

(X-%2("一D—jfX+%/2(〃—1)方=)

yjnyjn

_116_

X=0.5,S2=—[^X.2-16X2]=2,S=1.4142,〃=16

15,=|

r0.025(15)=2.1315.

所以〃的置信区间为(-0.2535,1.2535).

二、单项选择题(下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其

代号填入()

中，每小题3分，共15分)

(1)A,8,C是任意事件，在下列各式中，不成立的是

(A)(A-B)U5=AU8.

(B)(AUB)-A=6.

(C)

(D)(AU8)?=(A-C)U(8-C).

()

(2)设X1,X2是随机变量,其分布函数分别为冗(X),B(X),为

使

(x)+(x)

F(x)=aFt此是某一随机变量的分布函数，在下列给定的

各组数值

中应取

(A)a=3,b=.(B)a=—,〃=2

5533

(C)a=,b=—.(D)a=—,b=—

2222

()

(3)设随机变量X的分布函数为Fx(x)，则y=3-5X的分布函数

为%(y)=

(A)Fx(5y-3).(B)5Fx(y)-3.

(C)及哼).(D)i"x(『.

()

Xj-101

(4)设随机变量％,X?的概钙rw为iiii=\,2.

p±±

424

且满足P(Xd2=0)=l,则X1,X2的相关系数为P",=

(A)0.(B)(C)(D)-1.

42

()

(5)设随机变量x〜u[0,6],y〜5(12,工)且x,y相互独立，根据

4

切比

雪夫不等式有P(X-3<y<X+3)

(A)<0.25.(B)<—.(C)>0.75.(D)>—.()

1212

解：(1)(A):成立，(B):=应

选(B)

(2)F(+oo)=l=a+b.

应选(C)

(3)6(y)=P(Y<y)=P(3—5X<y)=P(X>(3-y)/5)

=1—尸(与^2X)=1—f应选

(D)

(4)(X-X2)的分布为

1

oo

4-

11

o-

4-4

1

o-o

4

111

---

424

-o-£久X

Ex£x2o,2所以cov(X|,X2)=0,

是

于

应选(A)

(5)P(X_3<y<X+3)=尸(IY-Xl<3)

921

E(y—x)="—EX=0o(y-x)=oy+ox=3+—=—

44

由切比雪夫不等式

21

p(ir-xi<3)>i-^-=—应选

912

(D)

三(8分)在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为力的泊松

分布，而进入

超市的每一个人购买A种商品的概率为P，若顾客购买商品是

相互独立的，

求一天中恰有4个顾客购买A种商品的概率。

解：设8='一天中恰有k个顾客购买A种商品')1=0,1,-

C“=’一1天中有〃个顾客进入超市'n=k,k+l,•••

*6

贝I」P(B)=£P(C.B)=£P(G)P(8IC„)

n=kn=k

可与"C»(1-P严

n=k〃•

=心这上尸

&!£(〃-幻！

四(10分)设考生的外语成绩(百分制)X服从正态分布，平

均成绩(即参

数〃之值)为72分，96以上的人占考生总数的2.3%,今任

取100个考生

的成绩，以丫表示成绩在60分至84分之间的人数，求(l)y

的分布列.(2)

EY和DY.

(0(2)=0.9