RBNS的线性预测模型

RBNS的线性预测模型

1引言非寿险责任准备金是保险公司最主要的负债项目，责任准备金评估的充足性和准确性，分别构成了保险公司履行保险赔付责任的能力和经营成本的重要基础，尤其是准备金的充足性更是成为保险监管部门的重点监管目标之一。保险公司非寿险业务准备金包括未到期责任准备金（notincurred，简记为NI）和未决赔款准备金（指保险公司为尚未结案的赔案而提取的准备金）。而未决赔款准备金又包括已发生已报案未决赔款准备金（reportedbutnotsettled，业界通称RBNS）和已发生未报案未决赔款准备金（incurredbutnotreported，业界通称IBNR）。IBNR是指对那些到当前会计日或精算评估日（简称currentinstant）已经发生但还没有报告给保险公司的赔案而提取的责任准备金，而RBNS是指对那些到当前会计日或精算评估日已经报告给保险公司但还没有结案的赔案而提取的责任准备金。对于未决赔款准备金，人们提出了许多确定性和随机性的方法来对它进行预测和估计。这些传统的准备金评估方法都是基于聚合数据（aggregatedata）的，因而，Tayloretal.（2003）称它们为聚合索赔模型（aggregateclaimsmodels），相关内容可以参见综述EnglandandVerrall（2002）、Tayloretal.（2003）及WüthrichandMerz（2008）。然而，由于聚合数据模型使用的数据是对单个时间周期（通常为一年）内的所有个体索赔数据的加总，因而必然会部分地丢失个体数据中所含的有用信息，这就将使得传统的聚合索赔模型没有充分地利用历史数据所提供的完整信息，对准备金进行有效的预测，因此对于准备金的厘定，用基于单个索赔的个体数据比用聚合数据更为有效（可以参见EnglandandVerrall（2002）和Tayloretal.（2003））。实际上，从统计学的观点来看，这是显然的，因为数据的简单加总不一定能够保证信息的完好保存，或者，用统计的术语来说，传统的聚合索赔模型中所用数据一般不是原始数据的充分统计量。基于上述的观察，人们提出了一些基于个体数据的准备金模型，Tayloretal.（2003）称这样的模型为个体索赔模型（individualclaimsmodel）。下面是该方法的一些值得一提的结果。Antonioetal.（2006）用基于纵向数据的广义线性混合模型（GLMM：generalizedlinearmixedmodels）来预测已报告未结案的准备金（RBNS）。Jewell（1989，1990）用齐次Poisson过程来刻画索赔发生过程，Norberg（1993）提出用标值Poisson过程（markedPoissonprocesses）来刻画索赔过程，Norberg（1999），Larsen（2007），HaastrupandArjas（1996）和Neuhaus（2004）是Norberg（1993）模型的进一步研究。本文把线性预测理论引入到RBNS的厘定当中来，是基于个体索赔数据的一个模型，也就是说，是一个个体索赔模型。在本文的模型中，不需要假定其前两阶矩的形式，更不需要对索赔数据的具体分布进行假设，而只需假设个体索赔数据的前两阶矩存在，这在实际生活当中不失为一个合理的假设。与此同时，该模型能给出预测的均方误差，这在准备金的厘定过程中甚至对整个公司的全面管理都是非常有用的。该方法具有成本低、费时少、可操作性强等特点。在文章的最后，基于准备金厘定文献中常用的分布假设进行数据模拟，然后对模拟数据用线性预测方法和经典的链梯法同时对RBNS进行预测，并把它们与准备金真实值进行对比，模拟结果表明，本文提出的方法是一个行之有效的方法。2数据结构及模型假设及总准备金注释2.11.我们在这里假定了索赔进展的最大年份是n+1，对于规定了最迟结案时间的险种，这是现实的；如果没有最大结案年限的限制，则结案时间是一个随机变量，比如说T，我们总是可以选取足够大的n，使得概率P（T＞n+1）的值充分小到可以容忍的程度，使得本文所得到的方法可以认为是真实模型的一个近似。而且，最大结案时间也是传统的链梯法一直采用的假定，我们这里采用这个假定，除了数学上的方便之外，一个附带的好处是容易与链梯法直接进行对比。2.我们明白本模型的一个严重的不足是，忽视了索赔是否已经结案。在精算的评估日，一个案例是否已经结案是已知的，这个信息在这里被忽略了。为了个体数据模型能够得到更准确的预测，这个问题将是我们进一步研究的课题。本模型在实际应用中的一个修正方法是：对已经结案的索赔不再预测其将来的索赔（或者说，将其准备金预测为0，但是这样做的合理性有待进一步思考）。3.除此之外，本模型的假定可以说是相当弱。3线性预测及其均方误差3.2均值向量和协方差阵的估计此时，误差项满足下面的关系来估计。4.2模拟结果为了验证本文研究的个体索赔的线性预测方法的可行性、有效性、方法的广泛性及稳定性，接下来，本文将对多元正态分布、Direchlet分布和代表重尾分布的多元对数正态分布产生的随机模拟数据进行分析。步骤如下：首先产生随机数，然后再用传统的链梯法和本文的线性预测方法分别对准备金进行预测，再把两种方法预测得到的总准备金和模拟得到的总准备金真实值进行对比。4.2.1几点说明（1）假设计算机产生的模拟数据的含义为0-9年间所有个体索赔案件，对于每个案件，我们假设其进展年为0-9年。假设这些个体案件在各个进展年的赔付额由计算机根据相应分布假设一次性产生，并根据其报告年把未观察到的部分作为准备金真值予以保留，用来和各方法的预测值比较；（2）在线性预测方法中，出现个别个体总准备金为负的情况，此时，我们令其在各个进展年的准备金为0；（3）模拟和计算产生的所有数据均采用四舍五入的方法保留四位小数；4.2.2多元正态分布情形假设各进展年的增量索赔数据服从多元正态分布，均值向量为[69.48，56.91，54.58，65.61，72.83，32.53，22.24,34.53，33.04,35.58]，各进展年的标准差分别为[15.115，13.069，16.631，14.364，13.506,9.739,7.119,9.246，11.506，11.155]，各发生年的个体索赔次数分别为[25，20，35，15，40，13，28，23，34，25]。我们选取三个相关系数矩阵（来自于Timm（1970）），分别代表各进展年的增量索赔数据弱相关、一般相关和强相关，以此来考察方法的适应性。4.2.3多元对数正态分布情形假设这里的多元对数正态分布数据是由多元正态分布数据通过对数变换得到，先要得到多元正态分布数据，设其均值向量为[6.948，5.691，5.458，6.561，7.283，3.253，2.224，3.453，3.304，3.558]，各进展年的标准差分别为[1.5115，1.3069，1.6631，1.4364，1.3506，0.9739，0.7119，0.9246，1.1506，1.1155]，各发生年的个体索赔次数分别为[25，20，35，15，40，13，28，23，34，25]。和多元正态分布一样，我们仍然考虑三种情形：情况1：用来产生对数正态分布的正态分布的相关系数矩阵取多元正态情形1中的弱相关阵；情况2：用来产生对数正态分布的正态分布的相关系数矩阵取多元正态情形2中的一般相关阵；情况3：用来产生对数正态分布的正态分布的相关系数矩阵取多元正态情形3中的强相关阵。4.2.4Dirichlet分布情形对于Dirichlet分布情形，我们也考虑三种情况：情况1：用来产生dirichlet分布的gamma分布的形参：[2.55，3.12，5，2.11，3.29，1.54，3.11，3.28，1.7，3.92]，尺度参数为2，索赔的程度用参数为1000的指数分布来模拟，各报告年的个体索赔次数分别为：[25，20,35，15,40，13，28，23，34，25]；情况2：其他同情况1，但是增大后面几个进展年所占的比例，把用来产生dirichlet分布的gamma分布的形参改为：[2.55，3.12，5，2.11，3.29，1.54，5.67，6.78，6.81，5.22]；情况3：其他同情况1，增大靠后面的报告年的个体索赔次数，以使得总准备金的不确定性更大，各报案年的个体索赔次数改为[25，20，35，15，40，13，45，44，34，45]。4.2.5模拟结果分析·除多元正态中的第二种情形外，多次模拟下，由线性预测方法给出的准备金误差平方的平均值总是小于由链梯法给出的准备金误差平方的平均值。这三者都表明，相对于链梯法而言，线性预测法给出了更加接近总准备金真实值的预测值。5结束语针对传统的聚合索赔模型的缺点，本文提出了一个基于个体数据的线性预测模型。该模型的假定可以说是相当地弱，它不需要对数据的矩进行假设，更不需要对数据的分布进行假设，而只需假设个体索赔之间独立同分布。因而该模型具有适用范围广，简单易操作等特点。由于本文的数据结构和模型假设可以纳入单调缺失数据下的回归模型框架下，因而本文采用了单调缺失数据回归模型的EGLS估计方法对未知的均值和协方差进行了估计。并且，在文章的最后，我们通过随机模拟把该方法与著名的链梯法进行了对比，模拟结果显示，本文提出的方法