含参量反常积分

§2含参量反常积分教学目的：掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法.教学要求：掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法，含参量反常积分的性质，以及含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法.掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法.教学建议：本节的重点是含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法.要求学生会用魏尔斯特拉斯判别法判别含参量反常积分的一致收敛性.本节的难点是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理的证明.对较好学生在这方面提出高要求，布置有关习题；另外，由于这方面内容与函数项级数部分有类似之处，还可要求他们作比较与总结.教学程序：定义设函数f(x,j)定义在无界区域r=L,y)a<x<b,c<y<+8^上，若对",b］内每一个固定的x，反常积分ff(x,y)dy都收敛，则它的值定义了",b］上一个x的函数，记I(x)=ff(x,y^dy，xe\a,b］⑴称(1)式为定义在a,对上的含参量、的无穷限反常积分.一一致收敛概念及其'判别法一致收敛的定义定义1若含参量的反常积分(1)与函数i(x)对任给的正数£，总存在某个实数N>c，使得当m>N时，对一切xe",b］，都有jf(x,y)dy-1(x)<£c+jf(x,y)dy则称含参量的反常积分(1)在",b］上一致股敛于I(x)一致收敛的柯西准则定理19・7含参量的反常积分(1)在",b］上一致收敛的充要条件是：对任给的正数£，总存在某个实数M>c，使得当A,A>M时，，对一切xe",b］，都有j2f(x,y)dy-1(x)例1证明参量的反常积分+8例1证明参量的反常积分+8sinxy,j——土dy在，上一致收敛（其中0），但在0,上不一致收敛.证令uxysinxy|—sinu,dy=duyuAAx其中A0,由于Mdu收敛，故对任给的0,总存在正数m，使当AM时就u0有业duuA取AM，则当A虹时，对一切x0，有sinxy.dyyA所以皂Edy在x0上一致收敛.y0再证曰竺dy在0,上不一致收敛.按定义只要证明：存在某一正数°，使对任何实数Mc，总相应地存在某个AM及某个x0,，使得sinxy.dyy0A因^du收敛，故对任何正数u0与Mc，总相应地存在某个x0，使得0siru|duuMxsinu|duu00即有业u0du0Mxsinu.duu0sinu|duu0令10sinxy〔dyyM业du>0，则可得usinudusin^duuuMx002000所以业Idy在0,上不一致收敛.y3.—致收敛的充要条件定理19.8含参量的反常积分（1）在a,b上一致收敛的充要条件是：对任一趋于的递增数列A（其中A1c），函数项级数n1fx,ydy=uxn在a,b上一致收敛.「1Ann1证［必要性］由（1）在a,b上一致收敛，故对任给的正数，必存在Mc，使当

A〃>A，>M时，对一切xeb,。］总有<8(8)Af(x,y<8(8)存在正整数n，只要m>n>N时，就有由(8)对一切xe",对，就有G)=f+1fG,y)dyHFf'fG,y)dyA,又由存在正整数n，只要m>n>N时，就有由(8)对一切xe",对，就有G)=f+1fG,y)dyHFf'fG,y)dy［充分性］略一致收敛的M判别法设有函数g(y)，使得|f(x,y)<g(x)，a<x<b，c<y<+3若fg(y)dy收敛，则Pf(x,y)dy在",b］上一致收敛.一致收敛的狄里克莱判别法(i)对一切实数n>c，含参量的反常积分NfG,y)dy对参量x在",b］上一致有界，即存在正数m，对一切，N>c及一切xe",b］，都有ff(x,y)dy<M；(ii)对每一个xe"b］，函数g(xy)关于y是单调递减且当yt+3时，对参量x，g(xy)一致地收敛于0，'则含参量的反常积分+3f(x,y)g(x,y)dy在",b］上一致收敛.—致收敛的阿贝尔判别法(i)设ff(x,y)dy在",b］上一致收敛(ii)对每一个xe",b］，函数g(x,y)关于y是单调函数，且对参量x，g(x,y)在",b］上一致有界，则含参量的反常积分，ff(x,y)g(x,y)dy在",b］上一致收敛.c例2证明含参量的反常积分f竺三dy在(-3,+3)上一致收敛.0证由|竺x|<，，因J二dy收敛和一致收敛的M判别法即可得.1+x21+x2。1+x2例3证明含参量的反常积分+fe-y业dy在hd］上一致收敛.x0证、由1也dx收敛从而一致收敛，e-xy=e-xy<1，(x,y)eh+3)xlo,d］及对每一yeIo,d］

单调，据阿贝尔判别法即得.例4证明：若f(x,y)在侦^]x[?,+w)上连续，又ffG,y)dy在la,b)上一致收敛，但在x=bc处发散，则If(x,y)dy在la,b)上不一致收敛.c证反证法.假若积分^^f(x,y)dy在1a,b)上一致收敛.则对于任给的£>0，总存在M>c，当A,A，>M时对一切xGa,b)恒有，ff(x,y)dyA由假设f(x,y)在la,b\xlc,+^)上连续，所以+ff(x,y)dy在la,b)上是x的连续函数.在上面不等式中令x-b，得到当A>A，>M时，Cff(b,y)dyA而£是任给的，因此打(x,y)dy在x=b处收敛，这与假设矛盾.所以+ff(x,y)dy在la,b)上不一致收敛.cc二含参量反常积分的性质1.连续性定理19.9设f(x,y)在a,b\x\c^上连续，若含参量反常积分I(x)=ff(x,y)dy在侦b\上一致收敛，则l(x)在la,b\上连续.C证由定理19.8，对任一递增且趋于+8的数列{a}A=c)，函数项级数n1lQ=£ff(x,y')dy=切u1)在\a,b\上连续.又由于f(x,y)在",b\x|c,+8)上连续，故每个u(x)都在L,b]上连续：T由函数项级数的连续性定理，函数i(x)在la,b]上连续.定理19.10设f(x,y)和f(x,y)在la,b\xic,+8)上连续，若含参量反常积分I(x)=ffG,y)dy在侦b\上收敛，ff(x,y)dy在ta,b\上一致收敛，则1(0在L,b\上可微，且ccI,(x)=ff(x,y)dyxc证对任一递增且趋于+8的数列{a}(A=c)，令u(x)=ff(x,y)dyA由定理19.3u'(x)=ff(x,y^dy

nxAnn

由ff(x,y)dy在la,b〕上一致收敛，及定理19.8，可得xcTOC\o"1-5"\h\zEu，Q=切AJf(x,y)dy在la,b〕上一致收敛，据函数项级数逐项求导定理即可得nxn=1n=1an\o"CurrentDocument"I,(x)=Eu，(x)=Ef1fG,y)dy=ff(x,y)dynxxn=1n=1ac即d+6f(x,y)dy=+6f(x,y)dydxx3.可积性定理19.11设f(x,y)在a,b\xlc,+6)上连续，若I(x)=ffG,y)dy在la,b〕上一致收敛，则iG)在a,b〕上可积，且cccJdxJf(x,y)dy二JdyJf(x,y)dx证由定理19.9知i(x)由定理19.3u'(x)=ff(x,y^dy

nxAn3.可积性定理19.11设f(x,y)在a,b\xlc,+6)上连续，若I(x)=ffG,y)dy在la,b〕上一致收敛，则iG)在a,b〕上可积，且cJdxff(x,y)dy二JIG)dx二EjuG)dx=尤jdxJ1f(x,y)dy二切J+dyJf(x,y)dx=JdyJf(x,y)dxa定理19.12设f(x,y)^a,b〕xlc,+6)上连续，若"="acaff(x,y)dx关于y在任何闭区间lc,d〕上一致收敛，ff(x,y)dy于x在任何闭区间la,b〕上\o"CurrentDocument"一致收敛，c积分\o"CurrentDocument"fdxf|fG,j^dy与fdyf|fG,y^dx(I8)中有一个收敛，则(18)〃中的另一个也收敛，且+6+£+£JdxJf板,yJdy=JdyJf板,y)dx证不妨设(18)中第一个积分收敛，c由此得°也收敛.当d>c时，Jdyf(x,y)dx-JdxJf(x,y)dycaacJdyff(x,y)dx-dxJf(x,y)dy—Jdxf(x也收敛.当d>c时，Jdyf(x,y)dx-JdxJf(x,y)dycaacJdyff(x,y)dx-dxJf(x,y)dy—Jdxf(x,y^dyac根据条件“(i)及定理19c.11，可推得d

fdxf(x,y)dy+fdxf|f(x,y')dy由条件"显)，对任给的£>0，有G>0，使当A>G时，有（20）fdxf|f（x,y^dy<£Ad选定A后，由ff（x,y）dy的一致收敛性，存在M>0，使得当d>M时有+ff（x,y）dy这两个结果应用到（20）式得到dI<I+-=8d22即limI=0，这就证明了（19）式.三d应用的例例5计算i£2(A-d)=fe-px血bx-sinadxfdxf(x,y)dy+fdxf|f(x,y')dy由条件"显)，对任给的£>0，有G>0，使当A>G时，有（20）fdxf|f（x,y^dy<£Ad选定A后，由ff（x,y）dy的一致收敛性，存在M>0，使得当d>M时有+ff（x,y）dy这两个结果应用到（20）式得到dI<I+-=8d22即limI=0，这就证明了（19）式.三d应用的例例5计算i£2(A-d)=fe-px血bx-sinadx(p>0,b>a)sinbx一sina^-b,解=JcosxydyaI=+fe-pxsnbx_血adx=+fe-px(fcosxydy)dx=fdyJe-pxcosxydxa000a=f——p——dy=arctan幺-arctan—p2+y2pa例6计算+f迎竺dxx0解F(p)=fe-px迎竺dxx0=arctan—(p>0)由连续性亍^巴竺dx=F(0)=limF(p)=x0例7计算中。)=fe-x2cosrxdxpT0+lim+Te-px蛭dx=limarctana=1pT0+xpT0+p20sgna-x2cosrxdx一致收敛，类似+31+『_-—jre-x2cosrxdx—020r+3,e-x2cosrxdx20甲0)=r2ce于是p(0)=fe-x2dx=土2四.含参量的无界函数反常积分设f