(完整版)高中文科数学立体几何知识点总结

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立体几何学问点收拾（文科）

一．

直线和平面的三种位置关系：

1.线面平行

l

符号表示：

2.线面相交

符号表示：

3.线在面内

符号表示：

二．平行关系：

1.线线平行：

办法一：用线面平行实现。

m

l

m

l

l

//

//

?

?

?

?

?

?

=

?

?

β

α

β

α

办法二：用面面平行实现。

m

l

m

l//

//

?

?

?

?

?

?

=

?

=

?

β

γ

α

γ

β

α

办法三：用线面垂直实现。

若α

α⊥

⊥m

l,，则m

l//。

办法四：用向量办法：

若向量和向量共线且l、m不重合，则m

l//。

2.线面平行：

办法一：用线线平行实现。

α

α

α//

//

l

l

m

m

l

?

?

?

?

?

?

?

?

办法二：用面面平行实现。

α

β

β

α

//

//

l

l

?

?

?

?

?

办法三：用平面法向量实现。

若n为平面α的一个法向量，

⊥且α

?

l,则α

//

l。

3.面面平行：

办法一：用线线平行实现。

β

α

α

β

//

'

,'

,

'

//

'

//

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

且相交

且相交

m

l

m

l

m

m

l

l

办法二：用线面平行实现。

β

α

β

α

α

//

,

//

//

?

?

?

?

?

?

?且相交

m

l

m

l

l

三．垂直关系：1.线面垂直：

办法一：用线线垂直实现。

αα⊥????

?

???

?=?⊥⊥lABACAABACABlAC

l,

办法二：用面面垂直实现。

αββαβα⊥???

?

??

?⊥=?⊥llmlm,

2.面面垂直：

办法一：用线面垂直实现。

βαβα⊥??

??

?⊥ll

办法二：计算所成二面角为直角。3.线线垂直：

办法一：用线面垂直实现。

mlml⊥??

??

?⊥αα

办法二：三垂线定理及其逆定理。

POlOAlPAlαα⊥?

?

⊥?⊥????

办法三：用向量办法：

若向量l和向量m的数量积为0，则ml⊥。

三．夹角问题。

(一)异面直线所成的角：(1)范围：]90,0(??(2)求法：办法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理：

ab

c

ba2cos2

22-+=

θ

(计算结果可能是其补角)

办法二：向量法。转化为向量

的夹角

(计算结果可能是其补角)：

=

θcos(二)线面角

(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO⊥α于O,连结AO，则AO为斜线PA在面α内的射影，PAO∠(图中θ)为直线l与面α所成的角。

(2)范围：]90,0[??

当?=0θ时，α?l或α//l当?=90θ时，α⊥l(3)求法：办法一：定义法。

步骤1：作出线面角，并证实。步骤2：解三角形，求出线面角。

(三)二面角及其平面角

(1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分离作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角θ为二面角α—l—β的平面角。

(2)范围：]180,0[??(3)求法：办法一：定义法。

步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证实。步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。办法二：截面法。

步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面βα和，

则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。步骤2：解三角形，求出二面角。

办法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。

步骤一：计算12

1212

cosnnnnnn?=?uruururuur

步骤二：推断θ与12nnuruur

的关系，可能相等或

者互补。

四．距离问题。

1．点面距。办法一：几何法。

步骤1：过点P作PO⊥α于O，线段PO即为所求。步骤2：计算线段

PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)

2．线面距、面面距均可转化为点面距。3．异面直线之间的距离办法一：转化为线面距离。

m

如图，m和n为两条异面直线，α?n且α//m，

则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面α之间的距离。办法二：直接计算公垂线段的长度。

办法三：公式法。

如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，

'

//m

m，则异面直线m和n之间的距离为：

θ

cos

2

2

2

2ab

b

a

c

d±

-

-

=

五．空间向量

(一)空间向量基本定理

若向量,

,

z

y

x、

、，使得z

y

x+

+

=。

(二)三点共线，四点共面问题

1.A，B，C三点共线?

OAxOByOC

=+

uuuruuuruuur

，且1

xy

+=

当

2

1

=

=y

x时，A是线段BC的

A，B，C三点共线?λ

=

2.A，B，C，D四点共面?

OAxOByOCzOD

=++

uuuruuuruuuruuur

，且1

xyz

++=

当

1

3

xyz

===时，A是△BCD的

A，B，C，D四点共面?y

x+

=

(三)空间向量的坐标运算

1.已知空间中A、B两点的坐标分离为：

111

(,,)

Axyz，

222

(,,)

Bxyz则：

AB=

uuur

;=

B

A

d

,

AB=

uuur

2.若空间中的向量

111

(,,)

axyz

=

r

，)

,

,

(

2

2

2

z

y

x

=

则ab

+=

rr

ab

-=

rr

1

C

1

B

ab?=rrcosab=rr

六．常见几何体的特征及运算(一)长方体

1.长方体的对角线相等且相互平分。

2.若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分离为αβγ、、，则2

2

2

coscoscosαβγ=++

β

γ

αα

βγ

若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分离为αβγ、、，则2

2

2

coscoscosαβγ=++3.若长方体的长宽高分离为a、b、c，则体对角线长为，表面积为，体积为。(二)正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面XXX。(三)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。

(四)正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。(惟独五种正多面体)

(五)棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相像，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。

正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。(六)体积：=棱柱V=棱锥V(七)球

1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。

2.设球半径为R，小圆的半径为r，小圆圆心为O1，球心O到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关系是。

3.球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。

4.球的表面积公式：体积公式：

高考题典例

考点1点到平面的距离

例1如图，正三棱柱111ABCABC-的全部棱长都为2，D为1CC中点．（Ⅰ）求证：1AB⊥平面1ABD；（Ⅱ）求二面角1AADB--的大小；（Ⅲ）求点C到平面1ABD的距离．

解答过程（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．

ABCQ△为正三角形，AOBC∴⊥．

Q正三棱柱111ABCABC-中，平面ABC⊥平面11BCCB，

AO∴⊥平面11BCCB．连结1BO，在正方形11BBCC中，OD，分

别为1

BCCC，的中点，1BOBD∴⊥，1ABBD∴⊥．

在正方形11ABBA中，11ABAB⊥，1AB∴⊥平面1ABD．

（Ⅱ）设1AB与1AB交于点G，在平面1ABD中，作1GFAD

⊥于F，连结

AF，由（Ⅰ）得1AB⊥平面1ABD．

1AFAD∴⊥，AFG∴∠为二面角1AADB--的平面角．

在1AAD△中，由等面积法可求得455

AF=，

又1122AGAB==Q，210sin4

455AGAFGAF∴===∠．

所以二面角1AADB--的大小为10arcsin4

．

（Ⅲ）1ABD△中，1115226ABDBDADABS===∴=△，，，1BCDS=△．在正三棱柱中，1A到平面11BCCB的距离为3．设点C到平面1ABD的距离为d．

由1

1

ABCDCABDVV--=，得1

11333BCDABDSSd=gg△△，

1

322

BCDABDSdS∴==△△．

∴点C到平面1ABD的距离为22

．

考点2异面直线的距离

例2已知三棱锥ABCS-，底面是边长为24的正三角形，棱

SC的长为2，且垂直于底面.DE、分离为ABBC、的中点，求

A

B

CD

1

A

1

C

1

B

OF

CD与SE间的距离.

解答过程：如图所示，取BD的中点F，连结EF，SF，CF，

EF∴为BCD?的中位线，EF∴∥CDCD∴,∥面SEF,CD∴到平面SEF的距离即为两异面直线间的

距离.又Θ线面之间的距离可转化为线CD上一点C到平面SEF

的距离，设其为h，由题意知，24=BC,D、E、F分离是AB、BC、BD的中点，

2,2,62

1

,62=====∴SCDFCDEFCD3

3222621312131=????=????=

∴-SCDFEFVCEFS在RtSCE?中，3222=+=CESCSE

在RtSCF?中，30224422=++=+=CFSCSF

又3,6=∴=

?SEFSEFΘ因为hSVVSEFCEFSSEFC??==?--3

1

，即332331=

??h，解得332=h故CD与SE间的距离为

3

3

2.考点3直线到平面的距离

例3．如图，在棱长为2的正方体1AC中，G是1AA的中点，求BD到平面11DGB的距离.思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的办法求解.解答过程：解析一BDΘ∥平面11DGB，

BD∴上随意一点到平面11DGB的距离皆为所求，以下求

点O平面11DGB的距离,

1111CADB⊥Θ，AADB111⊥，⊥∴11DB平面11ACCA,

又?11DBΘ平面11DGB∴平面1111DGBACCA⊥，两个平面的交线是GO1,作GOOH1⊥于H，则有⊥OH平面11DGB，即OH是O点到平面11DGB的距离.在OGO1?中，2222

1

2111=??=??=

?AOOOSOGO.B

A

C

D

O

G

H1

A1

C1D

1

B1O

又3

62,23212111=∴=??=??=

?OHOHGOOHSOGO.即BD到平面11DGB的距离等于3

6

2.解析二BDΘ∥平面11DGB，

BD∴上随意一点到平面11DGB的距离皆为所求，以下求点B平面11DGB的距离.

设点B到平面11DGB的距离为h，将它视为三棱锥11DGBB-的高，则

，因为632221

,111111=??=

=?--DGBGBBDDGBBSVV3

4

222213111=

????=-GBBDV,

,3

6

26

4=

=

∴h即BD到平面11DGB的距离等于

3

6

2.小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是按照选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.

考点4异面直线所成的角

例4如图，在RtAOB△中，π6

OAB∠=，斜边4AB=．RtAOC△可以通过RtAOB△以直线AO为轴旋转

得到，且二面角BAOC--的直二面角．D是AB的中点．（I）求证：平面COD⊥平面AOB；

（II）求异面直线AO与CD所成角的大小．解答过程：（I）由题意，COAO⊥，BOAO⊥，

BOC∴∠是二面角BAOC--是直二面角，

COBO∴⊥，又AOBOO=QI，CO∴⊥平面AOB，

又CO?平面COD．∴平面COD⊥平面AOB．

（II）作DEOB⊥，垂足为E，连结CE（如图），则DEAO∥，CDE∴∠是异面直线AO与CD所成的角．

在RtCOE△中，2COBO==，112

OEBO==

，CE∴O

C

A

D

B

E

又12DEAO==∴在RtCDE△

中，tanCECDEDE==∴异面直线AO与CD

所成角的大小为

小结：求异面直线所成的角经常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线上挑选“特别点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：把空间图形补成认识的几何体，其目的在于简单发觉两条异面直线间的关系，如解析三.普通来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选办法.同时要特殊注重异面直线所成的角的范围：??

???2,

0π.

考点5直线和平面所成的角

例5.四棱锥SABCD-中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知45ABC=o∠，2AB=

，BC=

SASB==

（Ⅰ）证实SABC⊥；（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小．解答过程：（Ⅰ）作SOBC⊥，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥

底面

ABCD，得SO⊥底面ABCD．

由于SASB=，所以AOBO=，

又45ABC=o∠，故AOB△为等腰直角三角形，

AOBO⊥，由三垂线定理，得SABC⊥．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知SABC⊥，依题设ADBC∥，故SAAD⊥，

由ADBC==

，SA=AO=得1SO=

，SD=．SAB△

的面积112

SAB=连结DB，得DAB△的面积21

sin13522

SABAD=

=og设D到平面SAB的距离为h，因为DSABSABDVV--=，得12113

3

hSSOS=gg

，解得h=设SD与平面SAB所成角为α

，则sinhSDα==

所以，直线SD与平面SBC

所成的我为

小结：求直线与平面所成的角时，应注重的问题是（1）先推断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角，②证实——论证作出的角为所求的角，

D

B

C

S

O

D

B

C

A

S

③计算——常用解三角形的办法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值.考点6二面角

例6．如图，已知直二面角PQαβ--，APQ∈，Bα∈，Cβ∈，CACB=，45BAP∠=o，直线CA和平面α所成的角为30o．（I）证实BCPQ⊥（II）求二面角BACP--的大小．

过程指引：（I）在平面β内过点C作COPQ⊥于点O，连结OB．由于αβ⊥，PQαβ=I，所以COα⊥，又由于CACB=，所以OAOB=．

而45BAO∠=o，所以45ABO∠=o，90AOB∠=o，从而BOPQ⊥，又COPQ⊥，

所以PQ⊥平面OBC．由于BC?平面OBC，故PQBC⊥．（II）由（I）知，BOPQ⊥，又αβ⊥，PQαβ=I，

BOα?，所以BOβ⊥．过点O作OHAC⊥于点H，连结BH，由三垂线定理知，BHAC⊥．故BHO∠是二面角BACP--的平面角．

由（I）知，COα⊥，所以CAO∠是CA和平面α所成的角，则30CAO∠=o，

不妨设2AC=

，则AO=

sin302

OHAO==

o

．在RtOAB△中，45ABOBAO∠=∠=o，所

以BOAO==，于是在RtBOH△中

，

tan2BO

BHOOH

∠=

==．故二面角BACP--的大小为arctan2．小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱确实定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，③补形构造几何体发觉棱；解法二则是利用平面对量计算的办法，这也是解决无棱二面角的一种常用办法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面对量计算的办法求出二面角的大小.

A

B

C

Q