3二面角求法（学生版）

第-1-页共4页二面角求法一、知识准备1．二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.

2．二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。3．二面角的大小范围：[0°，180°]4．三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直5．二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法：

（1）定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2条射线，这2条所夹的角；

（2）垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；

（3）三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则∠ACB即为该二面角的平面角。二、二面角的基本求法及练习1、定义法：ABCABCDA1B1C1D1例1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：（1）二面角的大小；（2）平面与平面所成角的正切值。例2如图1，设正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为CC1中点，求截面A1BD和EBD所成二面角的度数。2、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。ABCDFEG例3平面平面，是正方形，是矩形且AF=AD=，G是EF的中点，ABCDFEG（1）求证：平面平面；（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值；（3）求二面角的大小。例4点P在平面ABC外，是等腰直角三角形，，是正三角形，。（1）求证：；（2）求二面角的大小。3、垂面法:由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。例如：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。

例5，（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）求异面直线SC与AB所成角的余弦值。例6如图，已知PA与正方形ABCD所在平面垂直，且AB＝PA，求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小。4．无棱二面角的处理方法（1）补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例7如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.ABCA1B1C1D例8如图，设正三棱柱各棱长均为，为ABCA1B1C1D（2）射影面积法（）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos）求出二面角的大小。ABCDA1B1C1D1E例9正方体ABCD-AABCDA1B1C1D1E例10如图，在三棱锥中，，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；例11如图3­5，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝eq\r(2)，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图(2)所示的四棱锥A′­BCDE，其中A′O＝eq\r(3).(1)(2)(1)证明：A′O⊥平面BCDE(1)(2)(2)求二面角A′­CD­B