高中数学第二册(上)不等式的性质2

不等式的性质(3)教课目标：1．娴熟掌握定理1，2，3的应用；2．掌握并会证明定理4及其推论1，2；3．掌握反证法证明定理5教课要点：定理4，5的证明教课难点：定理4的应用讲课种类：新讲课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教课过程：一、复习引入：1．同向不等式：两个不等号方向同样的不等式，比如：a>b，c>d，是同向不等式异向不等式：两个不等号方向相反的不等式比如：a>b，c<d，是异向不等式2．不等式的性质：定理1：假如a>b，那么b<a，假如b<a，那么a>b．(对称性)即：a>bb<a；b<aa>b定理2：假如a>b，且b>c，那么a>c．(传达性)即a>b，b>ca>c定理3：假如a>b，那么a+c>b+c．即a>ba+c>b+c推论：假如a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法例)即a>b，c>d．a+c>b+d二、解说新课：定理4：假如a>b，且c>0，那么ac>bc；假如a>b，且c<0，那么ac<bc．证明：∵ac-bc＝(a-b)ca>b∴a-b>0当c>0时，(a-b)c>0即ac>bc．c>d

当c<0时，(a-b)c<0即ac<bc．类比定理3推论，假想同向不等式相乘，不等号方向能否改变？即假如能否必定能得出ac>bd？(举例说明)可否增强条件得出ac>bd呢?(指引学生探究，得出推论)．推论1假如a>b>0，且c>d>0，那么ac>bd．(相乘法例)

a>b，证明：

ab,c

0

ac

bc

①又

c

d,b

0,

∴bc

bd

②由①、②可得acbd说明：（1）上述证明是两次运用定理

4，再用定理

2证出的；（2）全部的字母都表示正数，假如仅有ab,cd，就推不出acbd的结论（3）这一推论能够推行到随意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘这就是说，两个或许更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向推论2若ab0,则anbn(nN且n1)说明：（1）推论2是推论1的特别情况；（2）应重申学生注意n∈且n1的条件N假如a>b>0，那么an>bn(nN，且n>1)定理5若ab0,则nanb(nN且n1)点拨：碰到困难时，可从问题的反面下手，即所谓的“正难则反”．我们用反证法来证明定理5，由于反面有两种情况，即nanb和nanb，因此不能只能否认了nanb，就“归谬”了事，而一定进行“穷举”证明：假设na不大于nb，这有两种状况：nanb，或许nanb由推论2和定理1，当nanb时，有ab；当nanb时，明显有ab这些都同已知条件ab0矛盾因此nanb评论：反证法证题思路是：反设结论→找出矛盾→必定结论．三、解说典范：例1已知ab0且0cd，求证：ab(相除法例)cd证：∵dc0110ab∴cdcdab0例2已知a>b>0，c<0，求证：ccab证明：∵ab0,两边同乘以正数1,得11,abba即11，又c<0∴ccabab例3已知a，b，x，y是正数，且11，x>y．求证：xyabxayb证：∵11>0∴b>a>0,ab又x>y>0∴xb>ay∴xy+xb>xy+ay即x(y+b)>y(x+a)∵a，b，x，y是正数，∴y+b>0，x+a>0∴xyaybx例4已知函数f(x)ax2c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围剖析：利用f(1)与f(2)想法表示a、c,而后再代入f(3)的表达式中，从而用f(1)与f(2)来表示f(3),最后运用已知条件确立f(3)的取值范围acf(1)a1[f(2)f(1)]解：∵解得34acf(2)14cf(2)f(1)33∴f(3)9ac8f(2)5f(1)33∵-4≤f(1)≤1,故(1)(5)(5)f(1)(4)(5)(1)333又-1≤f(2)≤5,故88f(2)40(2)333把(1)和(2)的各边分别相加，得：-1≤8f(2)5f(1)≤2033因此，-1≤f(3)≤20评论：应该注意，下边的解法是错误的：4ac1(1)依题意，得：4ac5(2)1由（1）（2）利用不等式的性质进行加减消元，得0≤a≤3，1≤c≤7(3)因此，由f(3)9ac可得，-7≤f(3)≤27以上解法其错因在于，由（1）（2）获得不等式（3）是利用了不等式性质中的加法法例，而此性质是单向的，不拥有可逆性，进而使得a、c的范围扩大，这样f(3)的范围也就随之扩大了四、讲堂练习：1．已知ab0，cd0，e0，求证：eecbdaab0acbd011ee证：acbdcd0acbde06．假如ab0,cd0求证：logsinlogsindacb证：∵0sin1>1∴logsin0又∵ab0,cd0∴acbd∴1c1d∴logsinlogsinabacbd五、小结：经过本节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为此后不等式的证明打下必定的基础六、课后作业：一选择题：1．假如a>b>0,c>d>0,则以下不等式中不正确的选项是[C]A．a-d>b-cB．abC．a+d>b+cD．ac>bddc2假如a、b为非0实数，则不等式11建立的充要条件是[D]abD．a2b-ab2<0A．a>b且ab<0B．a<b且ab>0C．a>b,ab<0或ab<03当a>b>c时，以下不等式恒建立的是[B]A．ab>acB．(a-b)∣c-b∣>0C．a∣c∣>b∣c∣D．∣ab∣>∣bc|4已知a、b为实数，则“a+b>2”是“a、b中起码有一个大于1”的[A]A充分不用要条件B必需不充分条件C充要条件D不充分也不用要条件5．logm2>logn2的充要条件是[C]A．n>m>1或1>m>n>0B．1>m>n>0C．n>m>1或1>n>m>0D．m>n>1二填空题：6．若-1<x<y<0,则1，1，x2，y2的大小关系为___x2>y2>1x>1yxy7．设角α、β知足，则α-β的取值范围为-παβ<022<-8．若实数a>b,则a2-ab>ba-b2(填上不等号)9．已知a>b>c，且a+b+c=0,则b2–4ac的值的符号为正数三解答题：10．已知x、y均为正数，设M=1x1y,N=x4y,试比较M和N的大小114(xy)2MN证明：MNyxyxy(x0xy)11．设函数f(x)的图象为一条张口向上的抛物线,已知x、y均为正数，p>0,q>0且p+q=1,求证f(px+qy)<pf(x