江苏省高考压轴卷数学（理）

/13/13/绝密★启封前2020江苏省高考压轴卷数学理科一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合，，则______2．已知复数则｜z｜＝．3．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______.4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为____．5．在平面直角坐标亲中，若双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______.6．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．7．已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点的坐标为，则的最小值是______．8．已知都是锐角，，则=_____9．在体积为9的斜三棱柱ABC—A1B1C1中，S是C1C上的一点，S—ABC的体积为2，则三棱锥S—A1B1C1的体积为___．10．在等差数列中，，则数列的前11项和____________.11．三棱锥中，已知平面，是边长为的正三角形，为的中点，若直线与平面所成角的正弦值为，则的长为_____.12．如图，在四边形中，，点分别是边的中点，延长和交的延长线于不同的两点，则的值为_________．13．已知函数，若有两个零点，则的取值范围______.14．在中，记角，，所对的边分别是，，，面积为，则的最大值为______.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．在中，角所对的边分别为，已知，.（1）求的值；（2）若，求周长的取值范围.16．如图，在直三棱柱中，，,分别是,的中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：平面平面．17．如图所示，为美化环境，拟在四边形空地上修建两条道路和，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点在边的三等分点处（靠近点），百米，，，百米，.（1）求区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过点铺设一条水管至道路上，求水管最短时的长．18．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上的一个动点，且面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）设斜率不为零的直线与椭圆的另一个交点为，且的垂直平分线交轴于点，求直线的斜率.19．已知数列的前项和记为，且，数列是公比为的等比数列，它的前项和记为.若，且存在不小于3的正整数，，使得.（1）若，，求的值；（2）求证：数列是等差数列；（3）若，是否存在整数，，使得，若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.20．已知，.（1）当时，求函数图象在处的切线方程；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；（3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A.(选修42：矩阵与变换)求椭圆在矩阵对应的变换作用下所得曲线的方程.B.(选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．C.(选修45：不等式选讲)已知x，y，z均为正数，且，求证：.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．（1）若厂家库房中（视为数量足够多）的每件产品合格的概率为从中任意取出3件进行检验，求至少有件是合格品的概率；（2）若厂家发给商家件产品，其中有不合格，按合同规定商家从这件产品中任取件，都进行检验，只有件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．23．已知数列满足，其中为常数，.（1）求的值（2）猜想数列的通项公式，并证明.参考答案1.【答案】2．【答案】3．【答案】84．【答案】2055．【答案】6．【答案】7．【答案】78．【答案】9．【答案】110．【答案】13211．【答案】2或12．【答案】013．【答案】14．【答案】15．【答案】（1）3；（2）.16．【答案】【解析】证明：（1）因为,分别是,的中点，所以，2分又因为在三棱柱中，，所以.4分又平面，平面，所以∥平面.6分（2）在直三棱柱中，底面，又底面，所以.8分又，，所以，10分又平面，且，所以平面.12分又平面，所以平面平面．14分17．【答案】（1）平方百米；（2）百米.【解析】（1）由题知，在中，由余弦定理得，即，所以百米所以（平方百米）.（2）记，在中，，即，所以，当时，水管最短，在中，=百米.18．【答案】（1）（2）或【解析】(1)因为椭圆离心率为，当P为C的短轴顶点时，的面积有最大值.所以，所以，故椭圆C的方程为:.（2）设直线的方程为，当时，代入，得:.设，线段的中点为，，即因为，则，所以，化简得，解得或，即直线的斜率为或.19．【答案】（1）（2）见解析（3）存在满足题意。【解析】（1）当时，，因为，所以.（2）由，得，两式相减，得，即，所以.两式相减，得，所以数列为等差数列.（3）依题意：，由得：，即，所以.因为，且，所以，又因为，且为奇数，所以时，是整数，此时，所以.20．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）当时，，，则.又因为，所以函数图象在处的切线方程为，即.（2）因为所以，且.因为，所以.①当时，即，因为在区间上恒成立，所以在上单调递增.当时，，所以满足条件.②当时，即时，由，得，当时，，则在上单调递减，所以时，，这与时，恒成立矛盾.所以不满足条件.综上，的取值范围为.（3）①当时，因为在区间上恒成立，所以在上单调递增，所以不存在极值，所以不满足条件.②当时，，所以函数的定义域为，由，得，列表如下：↗极大值↘极小值↗由于在是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，所以不满足条件.③当时，由，得.列表如下：↘极小值↗此时仅存在极小值，不合题意，所以不满足条件.④当时，函数的定义域为，且，.列表如下：↗极大值↘↘极小值↗所以存在极大值和极小值，此时因为，所以，，，，所以，即，所以满足条件.综上，所以的取值范围为.21．【答案】【解析】设是曲线上的任一点，它是椭圆上的点在矩阵对应变换作用下的对应点，则，即，，代入得：.即曲线的方程为.22．【答案】（1）ρ2﹣6ρcosθ﹣8ρsinθ+21＝0．（2）9﹣2．【解析】（1）∵曲线C的参数方程为,（θ为参数）,有.上下平方相加得曲线C的直角坐标方程为,化简得将与,代入得曲线C的直角坐标方程有：．（2）设点到直线AB：x+y+2＝0的距离为d,则,当sin（）＝﹣1时,d有最小值,所以△ABM面积的最小值S9﹣2．23．【答案】见证明【解析】因为x，y，z均为正数，所以均为正数，由柯西不等式得，当且仅当时，等式成立.因为，所以，所以.24．【答案】（1）；（2）分布列见解析，【解析】（1）“从中任意取出3件进行检验，至少有2件是合格品”记为事件A，其中包含两个基本事件“恰有2件合格”和“3件都合格”，；（2）该商家可能检验出不合格产品数，可能的取值为0，1，2，，，，的分布列为：P因为只有2件都合格时才接