12 标量场及其梯度

1.2标量场及其梯度1.2.1标量场的概念定义：在区域V内的某种物理系统，其特性可以用标量函数f(r,t)来描述。对于V中任意一点r，若f(r，t)有确定值与之对应，就称这个标量函数f(r，t)是定义于V上的标量场。由定义可知标量场有两个特点：①具有单值性；②占有一个空间标量场有两种：恒稳标量场f(r)，时变标量场f(r,t)表示。标量场f(r,t)在某时刻空间的分布可用等值面予以形象描绘。它是该时刻f(r)为同一值所有点构成的空间曲面。在直角坐标中f(r)的等值面方程f(x,y,z)=C (1.2.1)其中C为常数。绘制等值面的原则：应使相邻等值面的值差保持为定值。等值面与平面相交所得的截迹线——等值线，一系列等值面(线)的疏密程度能定性反映标量场的变化情况，不同值的等值面(线)不能相交。1.2.2标量场的梯度(1)对于定义在V中连续、可微的标量场f(x,y,z)，考察它在(x,y,z)点邻域内沿某一方向的变化情况，如图所示。由(x,y,z)点到(x+dx，y+dy，z+dz)点的微分位移用线元矢量表示dl=dxex+dyey+dzez (1.2.2)TOC\o"1-5"\h\zx y z标量场的相应微增量df df dfdf=—dx+—dy+—dzdx dy dz改写上式为f_eyyf_e)dxedyedzezz xyzf_eyy（_e改写上式为f_eyyf_e)dxedyedzezz xyzf_eyy（_exx括号内的矢量称为标量场（x,y,）在点（x,y,）z勺梯度，记作ffe）Zzf_eyy1.2.4)于是，标量场微增量可写为df1.2.5)2）讨论：①上式的表达形式与坐标系无关，它是标量场梯度的定义式。②梯度是矢量，它有的大小和方向df fdlf|dlc°s，在dl为定长的条件下，当=0即dl的取向与f的dfdfmax dldl的模是标量场fx，y，）z在点（x,y,）z的最大变化率，梯度的方向是获得这个最大变化率方向一致时，d才具有最大值dmax。可见梯度max应沿着的方向。③dl的取向与f的方向不一致时，因dffdlfferlfdle，有

l(f)l1.2.)6称为标量场（x，y，z）在点（x,y,）z沿任意矢量1方向的方向导数。（x,y,）在x、y、z方向上的方向导数就是f的相应坐标分量，有ax=(Vf)x=Vf•exf=(Vfax=(Vf)x=Vf•exf=(Vf)y=Vf•ey»|=(Vf)z=%ez一1.2.7)④Vf与标量场的等值面（线）处处正交：Vf•dl=0。3.V算符改写梯度表达式Vf=(?e+fe+f玄xayyazze)=(e£+e[+eyayzaz丿定义aaV=e+e+exax yayz称为这个一阶微分矢量算符为厂算符（读作del）。这是它在直角坐标系中的具体形式为。在使用中应掌握厂算符的特点d

az1.2.8)①在不同坐标系中，V算符有不同的表达形式;②V算符与其它算符（如微分、积分算符）一样，单独存在没有任何意义;③V算符的矢量特性。厂算符不是一个真实矢量，但在对其右端的场函数进行有意义的运算中，必须视为矢量，并赋予它矢量的一般特性：V・V=V2，—0；④厂算符的微分特性。下面举算例说明：V（fg丐（fg）e+】（fg）e+afeax xay yaz z(dg df)fg+gfJaX aX丿(ag af\e+fg+g」ay ay丿(ag af)e+fg+g」Jaz az丿'理e+理e+^1e]jaxxayyazz丿(af df df)一e+一e+一ejaxxayyazz丿=fVg+gVf比较微分公式d(fg)=d(fg)+d(fg)=fdg+gdf=fdg+gdfCCCC可见进行梯度运算，只需先按微分公式运算，再将d换成v算符即可。此例可作为梯度的基本运算公式。1.2.4梯度运算基本关系(1)对于相对坐标标量函数f(r-rf)，有1.2.9)Vf=-vf1.2.9)其中：Vf表示对场点r求f(r-r)的梯度，Vf表示对源点r求f(r-r)的梯度。(2)对于相对位置矢量R=r-r的模R=\r-rf\，有eRR2eRR2(R主0)1.2.10)1.2.11)证：在直角坐标系中R=(x-x)ex+(y-y)ey+(z-z')eR=[(x一x')2+(y一y‘)2+(z一z')2]1/2合R1=1[(x-x‘)2+(y-y')2+(z-z')2]-1/2ox2Q[(x-x')2+(y-y')2+(z-z')2]ox12(x-x) (x-x)-2•RR同理有于是OR=(y-y') OR_(z-z'同理有于是Oy R， Oz ROR OR ORVR_ e+e+eOxxOyyOzz1RR[(x一x')ex+(y一y')ey+(z一z')ez]_R_eR

1R2VR1R2VR=-1_R2Re =—_RR3R2(R丰0)证毕1.2.5计算举例例2-1.求f=4e2x—y+z在点P1（1，1，—1）处由该点指向P2（—3，5，6）点方向上的方向导数。df解：按方向导数的定义式葩=（Vf）i=vf・e的思路来计算。Vf=V(4e2x-y-z)二4V(e2x-y-z)=4e2x-y-zV(2x—y+z)=4e2x-y-z(2ex—ey+ez)

Vf|二4e2-1-1(2e—e+e)二4(2e—e+e)iR (—3—1)ex+(5—1)ey+(6+1)eze= 12= x y z12 R2 [(—4)2+42+72]1/2—4e+4e+7e—4e+4e+7e二x