《数值分析》课程教学大纲

《数值分析》课程教学大纲一、课程概述课程名称数值分析英文名称NumericalAnalysis课程性质专业必修课课程代码22124004总学时64学时（48理论+16实验）学分3.5开课学期第4学期先修课程高等数学、线性代数适用专业计算机科学与技术开课单位计算机与电气工程学院二、课程简介《数值分析》课程属于计算机科学与技术专业的一门重要的专业基础课，也是专业主干课程之一，在其它工科学科一般作为研究生课程。本课程主要介绍工程与科研应用中广泛用到的数值计算（numericalcomputing）基础知识及工具，对理论知识及相应编程应用水平要求较高。它是计算数学与其它工程学科相结合的产物，可直接应用于工程及科研中的数据分析、也在人工智能与机器学习中正得到蓬勃发展与应用。通过本课程学习能使学生运用数值的基本方法对连续数学问题进行离散处理，能应用数理等基础知识对复杂工程问题进行建模、分析、研究，并提出数值解决方案。本课程在培养学生掌握该课程主要内容的同时，培养学生的逻辑推理、创新思维、灵活运用等诸方面的素质和能力，同时为学术对从事科研与工程中遇到的复杂问题提供基本的解决工具，为学习广义的计算机仿真模拟及近年来属于热点的人工智能、机器学习等领域打下坚实基础。三、课程目标按照计算机科学与技术专业人才培养要求，参照专业培养方案中课程体系与培养要求的对应关系矩阵，通过《数值分析》课程的学习，学生能利用计算机求解各种数学模型的数值计算方法及理论，包括误差基本理论、插值方法、函数逼近、数值微分与积分、常微分方程数值解、非线性方程组数值解法、矩阵特征值计算等经典问题的数值方法与基本理论。通过本课程的学习，要求学生掌握数值分析的基本思想、基本方法和基本理论，具备一定的设计、分析和实现算法的能力，培养应用计算机进行科学与工程计算的能力，提高学生应用数学与计算机解决实际问题的能力，具体体现以下几个方面：课程目标1：理解数值分析中的非线性方程、线性方程组，能对工程和科学问题中遇到的具体问题建立数学模型，并使用数值分析中对应的算法进行求解。（支撑毕业要求指标点1.2）课程目标2：理解数值分析中的矩阵特征值、函数逼近与函数插值、数值积分/微分、常微分方程组，能对科学与工程中遇到的相关问题，选择合适的算法，给出形式化的表述并求解。（支撑毕业要求指标点2.2）课程目标3：深刻掌握对数值分析课程中的算法和原理，对于复杂的工程/科学问题，借助文献研究，分析问题，确定方案和路线，解决复杂问题。（支撑毕业要求指标点2.4）四、课程目标对毕业要求指标点的支撑表4-1课程目标对毕业要求指标点的支撑毕业要求毕业要求指标点课程目标1231工程知识1.2能针对计算机应用领域复杂工程问题中的具体对象建立模型并求解。H2问题分析2.2能运用计算机专业知识和数学模型方法，正确表达复杂工程问题，并给出其形式化描述。M2.4能运用基本原理，借助文献研究，分析过程的影响因素，确定最优方案和技术路线，获得解决问题的有效的结论H注：分别用“H、M、L”对应表示“高、中、低”支撑。五、教学内容、课程思政及实施手段表5-1理论课教学内容与进度要求小节内容要求具体要求学生成果课程目标学时一、数值分析导论(1)概述认知认识数值分析策略及软件认识并了解常用数值分析软件课程目标10.5学时(2)误差分析基础理解理解集合及误差来源、分析误差、误差限能对常用问题进行误差、误差限、问题敏感度分析课程目标1、30.5学时(3)计算机浮点数计算的误差理解理解并运用计算机浮点数的构成及对应的舍入误差理解并计算浮点数的精度及误差课程目标1、21学时二、非线性方程求根(1)非线性求根概念认知理解非线性方程及求根的理论复杂性认知非线性方程及根的情况课程目标11学时(2)二分法理解理解二分法求解非线性方程运用基本二分法及编程课程目标1、21学时(3)不动点迭代法理解理解不动点迭代法原理、收敛性、收敛阶运用不动点迭代法求解方程并掌握其收敛度。课程目标2、31学时(4)牛顿法及其它综合能熟练牛顿法及其演化方法、将各类方法综合能根据实际工程中实例，用牛顿法或其它方法求解课程目标2、31学时三、线性方程组的直接解法(1)线性方程组、矩阵、向量基础理解理解向量、矩阵的范数及基本定理熟练掌握向量、矩阵的基本定理课程目标1、21学时(2)高斯消去法理解理解高斯消去法原理及编程掌握高斯消去法的过程及编程方案课程目标22学时(3)矩阵的LU分解、主元、稳定性综合能熟练用高斯消去法对矩阵进行LU分解、掌握算法稳定性及选取主元技术能根据实际工程中实例，用高斯类方法求解并分析稳定性课程目标2、31学时(4)对称正定矩阵及带状矩阵方法理解能对特殊矩阵掌握其特殊的求解方法能根据实际工程中实例，用特殊方法对其求解课程目标1、21学时四、线性方程组的迭代解法(1)基本理论认知理解基本概念、收敛性会矩阵的收敛进行分析课程目标1、21学时(2经典迭代法理解理解经典的积累迭代法能对线性方程组进行经典法的演算及编程课程目标1、22学时(3)共轭梯度法理解理解共轭梯度法的原理及编程实践对线性方程组进行共轭梯度法的编程演算。课程目标22学时(4)各类方法比较及相关数值软件综合对各类方法进行科学的比较、介绍实际工程中常用的数值软件包及库根据实际问题选取合适的方法、对各类方法进行比较、对工程中常用软件进行运用。课程目标2、31学时五、矩阵特征值计算(1)基本概念认知认识矩阵特征值及分布掌握矩阵特征值的定义及计算课程目标13学时(2)幂法与反幂法理解掌握幂法与反幂法用幂法与反幂法求矩阵特征值课程目标22学时(3)矩阵的正交三角化理解掌握Householder变换、Givens旋转变换掌握正交三角化方法课程目标1、21学时(4)QR算法理解掌握QR算法及相关技术用QR方法及相关技术进行矩阵特征值求解课程目标2、31学时六、数值积分与数值微分(1)概论认知复习微分、积分及基本方法掌握求积公式及收敛性课程目标12学时(2)牛顿-柯斯特公式理解掌握牛顿柯斯特公式及编程算法用牛顿-柯斯特方法对问题演算及编程课程目标1、22学时(3)复合求积公式理解几类复合求积公式：梯形、辛普森用复合公式求解并编程。课程目标22学时(4)龙贝格与理查德外推理解理查森外推与Romberg运用理查森外推及龙贝格。课程目标2、31学时5)自适应积分算法、数值微分理解自适应积分算法与数值微分掌握自适应算法及数值微分课程目标2、31学时七、函数逼近与函数插值(1)函数逼近理解函数逼近的概念与方法根据函数特性掌握基本的函数逼近方法。课程目标21学时(2)曲线拟合与最小二乘法理解掌握曲线拟合与最小二乘法的原理及编程应用能对工程的数据进行合适的曲线拟合。课程目标2、32学时(3)函数插值理解各类函数插值方法根据工程实际选择合适的插值方法并编程，分析其对问题的误差课程目标2、32学时八、常微分方程初值问题的解法(1)引言认知理解常微分方程的分类、可解性、敏感性熟悉常微分方程初值问题课程目标12学时(2)简单的数值解法理解理解掌握欧拉法及类似方法的算法、编程、稳定性掌握常微分方程初值问题的欧拉法的理论与编程实践课程目标2、32学时(3)更高级的方法理解熟练掌握几种RK方法，多步法、及实用常微分方法技术理解并掌握RK法、多步法解常微分方程，学会工程实际中的几种ODE求解器。课程目标21学时表5-2实验/上机部分教学内容与进度要求序号实验/上机项目实验内容与方法实验类型学时必做/选做课程目标1MATLAB的基本环境搭建，常用语法与工具安装MATLAB，在命令窗口实现各类基本数学计算，调用常用的函数，调用绘图函数，学习doc，help等帮助命令。验证性2必做12数值求解非线性方程借助文献学习，调用MATLAB自带的数值求解非线性方程库中的函数；编写程序，使用二分法、牛顿法、割线法算法对方程进行求解验证性2必做1、33线性方程组直接解法编写程序，实现高斯消去法求解线性方程组；实现矩阵的LU分解；实现回代与前代算法，并理解二者的区别和试用情况验证性2必做14部分选主元、线性方程组的迭代解法编写程序，实现矩阵的部分选主元，并对比分析部分选主元的必要性和优越性；对常用的线性方程组迭代求解法实现，考察收敛性和准确度综合性2必做1、35函数拟合对实际中遇到的离散数据，进行绘图，分析，确定函数拟合的最佳基函数形式并进行拟合；分析拟合的误差（2-范数）综合性2必做2、36函数插值对实际工程中遇到的数据，分别采用多项式插值、拉格朗日插值，对比插值效果并用余项公式分析；借助文献文档，采用matlab自带工具箱进行各类插值方法的比较，并给出分析。综合性2必做2、37矩阵特征值借助文献调研，用matlab自带函数对给定矩阵进行特征值、特征向量求解；编写程序实现幂法求解矩阵主特征值并观察分析溢出发生的条件；用自带的QR函数对对矩阵做QR分解，并分析QR分解得到矩阵特征值的原理综合性2必做2、38数值求解常微分方程编写程序，对给定常微分方程进行欧拉法求解；借助文献，用更高级的求解器求解并对比分析；分析各类求解方法的稳定性及问题敏感度综合性2必做2、3表5-3课程实施手段序号课程目标采用手段具体目标1课程目标1多媒体课件、课前预习、课堂启发式教学方法、课后作业引导学生课前预习，通过课堂多媒体课件传达概念和方法，并通过课后作业巩固所学概念和知识。2课程目标2多媒体课件、案例教学、课后作业对难度高的算法采用案例教学，联系实际应用，强化学生的应用知识能力3课程目标3多媒体课件、案例教学、课后提出开放式探索作业题对于知识的综合应用，给出具体的科研/工程案例，传授自行探索的解决问题方法，课后的作业布置适当难度的开放式课题，鼓励学生自行探索、解决问题。六、课程思政表6-1课程思政内容课程思政教学内容=1\*GB3①诚信、务实：认真付出，努力做事，坚持科学观和实事求是精神。=2\*GB3②友善：保持平和、宽容的心去对人做事，团结协作，尊长爱幼。=3\*GB3③爱岗：富有不断学习和探索进取的工作态度，热爱本专业。=4\*GB3④敬业：做事可以吃苦耐劳，工作能够精益求精。=5\*GB3⑤其它：科学发展观及积极向上的人生观。表6-2课程思政具体案例序号所属章节/案例名称案例教学目标思政元素1第1章第3讲计算机浮点计算、舍入误差/生活中的自我纠错理解计算机浮点数的表示及产生的舍入误差，明辨生活与工作中的是非、培养学生缜密的逻辑思维、辩证思维能力，同时鼓励学生以严谨的态度对待工作与学习。诚信、务实：通过讲解计算机浮点数系统及舍入误差教学，推广到生活中，人生也许和浮点数一样并不完美，会时不时走一点岔路，但正如我们能正确分析浮点数误差及合理规避误差一样，对待学习要严谨求实、潜心钻研；要诚实面对错误，务实的态度每日改进自己2第2章第1、2讲非线性方程求根的二分法、牛顿法/人生中如何找到自己的“解”培养学生树立远大的理想和人生目标，并采用科学的方法趋近自己的理想与目标，同时要热爱工作，热爱自己的社会责任爱岗、敬业、积极向上：通过讲解数学家几千年来苦苦追求一元三次方程求根的故事引入本章数值求根的话题；通过讲解二分法、牛顿法等方法，展示了求解看似不可解的非线性方程，我们有非常简单、但科学的持续趋近的方法。推广到同学的人生中，只要梳理了远大的理想，并热爱自己的工程，积极地为社会做贡献，找到人生最优解的方案是很简单的：像二分法或者牛顿法一样，一步一步脚踏实地，有方向地向解靠拢3第8章第1讲爱自己岗位，也帮助他人在讲解第八章常微分方程求解时，根据教师本人读博期间遇到PDE（偏微分方程）求解难题并受到康奈尔大学计算机系教授指点的故事，给学生传达爱岗、友善的精神。友善、爱岗：在引入常微分方程（ODE）问题时，向学生介绍更为复杂，但工程和科研中屡屡遇到的偏微分方程问题（PDE），引发他们的学习兴趣，并以自己求学经历中遇到PDE求解的难题，最终找到康奈尔大学计算机系的一位教授，得到指点，顺利毕业的故事，教会学生：首先要热爱自己的岗位，这样才能把工作做得出色，成为对社会有用的人；其次，要回馈社会，要知道每一个人的成才，是受到无数前辈的爱的滋养的。七、考核及成绩评定（1）考核方法本课程考核采用平时成绩+实验成绩+期中考试+期末考试的综合考核方式，即：总成绩=平时成绩*12%+实验成绩*28%+期中考试成绩*25%期末考试成绩*35%平时成绩分为2部分：课后作业（12%）、考勤（倒扣分制，扣满10%为止）各考核环节及权重如表7-1所示。表7-1考核环节及权重表课后作业（12%）实验（28%）期中考试（25%）期末考试（35%）成绩比例（%）课程目标15813733课程目标241251839课程目标33871028合计12282535100（2）考核内容及评价标准1）期末考试：占总成绩35%。闭卷考试，考试时间120分钟，成绩采用百分制，卷面成绩总分100分，考试范围包括所有课程目标，按照课程大纲要求设计考试试卷，根据考试题目设计相应的评分标准，按评分标准对试卷的正确性打分。具体考试时间安排在期末考试周由教务处统一通知。期末考试具体评分标准如表7-2所示。表72期末考试成绩评分标准课程目标及指标点考核内容评价标准优秀（90-100分）良好（80-89分）中等（70-79分）及格（60-69分）不及格（60分以下）课程目标1（指标点1.2）以试卷形式考核学生对数值分析的基本概念，利用矩阵、微分方程等知识对问题进行正确描述的能力。能正确利用数值分析知识对问题进行正确描述，且步骤完整。能较好利用数值分析对问题进行较为正确的描述，且步骤较完整。能较好利用数值分析知识，能基本正确描述问题，且步骤部分完整。能基本正确利用数值分析知识能基本正确描述问题，且步骤部分完整。仅少量正确利用数值分析知识能对问题的描述少量正确，且步骤不完整。课程目标2（指标点2.2）以试卷形式考核学生运用数学建模知识，以及运用数值分析中各种理论知识对问题进行正确推理、分析和求解的能力。能运用数学建模、数值分析对问题进行正确推理、分析和求解，且步骤完整。能运用数学建模、数值分析对问题进行较为正确分析和求解，且步骤较完整。能运用数学建模、数值分析对问题进行较为正确分析和求解，但步骤部分完整。能运用数学建模、数值分析对问题的分析和求解基本正确，且步骤部分完整。运用数学建模、数值分析对问题的分析和求解仅少量正确，且步骤不完整。课程目标3（指标点2.4）以试卷形式考核学生将数值分析的基础原理用于发现计算机应用领域的复杂工程问题，并运用集合、关系、命题逻辑、谓词逻辑和图等知识分析找出其对应问题的关键要素的能力。能够将离散数学的数值分析用于发现计算机应用领域的复杂工程问题，并分析找出其对应问题的关键要素，且思路清晰、步骤完整。能够将数值分析的基础原理用于发现计算机应用领域的复杂工程问题，并找出其对应问题的关键要素，且思路较清晰、步骤较完整。能够将数值分析的基础原理用于发现计算机应用领域的复杂工程问题，并运用找出其对应问题的大部分关键要素，但思路部分清晰、步骤部分完整。基本能够将数值分析的基础原理用于发现计算机应用领域的复杂工程问题，并分析找出其对应问题的一小部分关键要素，且思路基本清晰、步骤基本完整。基本不能够将数值的基础原理用于发现计算机应用领域的复杂工程问题，并不能运用分析找出其对应问题的关键要素，且思路不清晰、步骤不完整。2）期中考试：占总成绩的25%。闭卷考试，考试时间120分钟，成绩采用百分制，卷面成绩总分100分，考试范围包括所有课程目标，按照课程大纲要求设计考试试卷，根据考试题目设计相应的评分标准，按评分标准对试卷的正确性打分。考试内容主要涵盖学生对数值分析误差基础基本概念、求解非线性方程、用矩阵求解线性方程组的基本方法的掌握程度，以及利用基本概念对问题进行抽象描述、分析和求解的能力和发现计算机领域复杂工程问题并找出关键要素的能力。期中考试具体评分标准如表7-3所示。表73期中考试成绩评分标准课程目标及指标点考核内容评价标准优秀（90-100分）良好（80-89分）中等（70-79分）及格（60-69分）不及格（60分以下）课程目标1（指标点1.2）以试卷形式考核学生对数值分析的基本概念，利用矩阵、微分方程等知识对问题进行正确描述的能力。能正确利用数值分析知识对问题进行正确描述，且步骤完整。能较好利用数值分析对问题进行较为正确的描述，且步骤较完整。能较好利用数值分析知识，能基本正确描述问题，且步骤部分完整。能基本正确利用数值分析知识能基本正确描述问题，且步骤部分完整。仅少量正确利用数值分析知识能对问题的描述少量正确，且步骤不完整。课程目标2（指标点2.2）以试卷形式考核学生运用数学建模知识，以及运用数值分析中各种理论知识对问题进行正确推理、分析和求解的能力。能运用数学建模、数值分析对问题进行正确推理、分析和求解，且步骤完整。能运用数学建模、数值分析对问题进行较为正确分析和求解，且步骤较完整。能运用数学建模、数值分析对问题进行较为正确分析和求解，但步骤部分完整。能运用数学建模、数值分析对问题的分析和求解基本正确，且步骤部分完整。运用数学建模、数值分析对问题的分析和求解仅少量正确，且步骤不完整。课程目标3（指标点2.4）以试卷形式考核学生将数值分析的基础原理用于发现计算机应用领域的复杂工程问题，并运用集合、关系、命题逻辑、谓词逻辑和图等知识分析找出其对应问题的关键要素的能力。能够将离散数学的数值分析用于发现计算机应用领域的复杂工程问题，并分析找出其对应问题的关键要素，且思路清晰、步骤完整。能够将数值分析的基础原理用于发现计算机应用领域的复杂工程问题，并找出其对应问题的关键要素，且思路较清晰、步骤较完整。能够将数值分析的基础原理用于发现计算机应用领域的复杂工程问题，并运用找出其对应问题的大部分关键要素，但思路部分清晰、步骤部分完整。基本能够将数值分析的基础原理用于发现计算机应用领域的复杂工程问题，并分析找出其对应问题的一小部分关键要素，且思路基本清晰、步骤基本完整。基本不能够将数值的基础原理用于发现计算机应用领域的复杂工程问题，并不能运用分析找出其对应问题的关键要素，且思路不清晰、步骤不完整。3）课后作业：占总成绩的12%。布置课后次数不低于4次，作业根据学生作业是否按时上交、是否独立完成以及作业完成准确性与可读性评分，主要考查学生对数值分析基本方法的掌握程度，以及利用基本概念对问题进行抽象描述、分析和求解的能力和发现计算机领域复杂工程问题并找出关键要素的能力。作业具体评分标准如表7-4所示。表74作业评价标准表课程目标及指标点考核内容评价标准优秀（90-100分）良好（80-89分）中等（70-79分）及格（60-69分）不及格（60分以下）课程目标1（指标点1.2）以教材后面的习题为主考核学生对误差分析、矩阵应用等基本概念，利用数值分析知识对问题进行正确描述的能力。能正确理解数值分析及误差分析的基本概念，利用知识能对问题进行正确描述，且步骤完整。能较好理解数值分析基本概念，利用知识对问题进行较为正确的描述，且步骤较完整。能较好理解数值分析树的基本概念，利用知识对问题的描述基本正确，且步骤部分完整。能基本理解数值分析基本概念，利用知识对问题描述基本正确，且步骤部分完整。对数值分析基本概念掌握少量正确，利用知识对问题的描述仅少量正确，且步骤不完整。课程目标2（指标点2.2）以教材后面的习题为主考核学生运用证明推理等知识，以及运用数值分析中各种理论知识对问题进行正确推理、分析和求解的能力。能运用证明推理等知识，以及运用数值分析各种理论和问题求解方法对问题进行正确推理、分析和求解，且步骤完整。能运用证明推理等知识，以及运用数值分析中各种理论和问题求解方法对问题进行较为正确分析和求解，且步骤较完整。能运用证明推理等知识，以及运用数值分析中各种理论和问题求解方法对问题进行较为正确分析和求解，但步骤部分完整。能运用=证明推理等知识，以及=各种理论和问题求解方法对问题的分析和求解基本正确，且步骤部分完整。能运用=证明推理等知识，以及运用数值中各种理论和问题求解方法对问题的分析和求解仅少量正确，且步骤不完整。课程目标3（指标点2.4）以教材后面的习题为主考核学生将数值的基础原理用于发现计算机应用领域的复杂工程问题，并运用集合、关系、命题逻辑、谓词逻辑和图等知识分析找出其对应问题的关键要素的能力。能够将数值分析的基础原理用于发现计算机应用领域的复杂工程问题，并运用集合、关系、命题逻辑、谓词逻辑和图等知识分析找出其对应问题的关键要素，且思路清晰、步骤完整。能够将数值分析的基础原理用于发现计算机应用领域的复杂工程问题，并运用集合、关系、命题逻辑、谓词逻辑和图等知识分析找出其对应问题的关键要素，且思路较清晰、步骤较完整。能够将数值分析的基础原理用于发现计算机应用领域的复杂工程问题，并运用集合、关系、命题逻辑、谓词逻辑和图等知识分析找出其对应问题的大部分关键要素，但思路部分清晰、步骤部分完整。基本能够将数值分析的基础原理用于发现计算机应用领域的复杂工程问题，并运用集合、关系、命题逻辑、谓词逻辑和图等知识分析找出其对应问题的一小部分关键要素，且思路基本清晰、步骤基本完整。基本不能够将数值分析的基础原理用于发现计算机应用领域的复杂工程问题，并不能运用集合、关系、命题逻辑、谓词逻辑和图等知识分析找出其对应问题的关键要素，且思路不清晰、步骤不完整。或者抄袭他人作业。4）实验成绩：占总成绩的28%，一共8次实验，其中验证性实验4次，三性实验4次，主要考核学生的编写代码实现算法能力、问题转化为数学模型能力、借助文献调研寻找工具能力、以及实验报告的撰写能力，评分为百分制，评分标准如表7-5所示。表75实验评价标准表课程目标考核内容评价标准优秀（90-100分）良好（80-89分）中等（70-79分）及格（60-69分）不及格（60分以下）课程目标1（指标点1.2）熟悉MATLAB环境及各类基本函数调用；二分法、牛顿法、割线法算法对方程进行求解；高斯消去法求解线性方程组；矩阵的LU分解；回代与前代；矩阵的部分选主元设计方案通过并实现，能解决实验过程中出现的问题；能够独立完成报告的撰写，内容全面；能够详细记录实验过程，对实验数据进行正确分析、讨论，并能得到有效结论。设计方案通过并实现，并能解决实验过程中出现的部分问题；能够独立完成报告的撰写，内容比较全面；实验过程记录比较详细，分析、讨论比较得当，并能得到有效结论。在同学、老师的帮助下设计方案通过并实现；能够独立完成报告的撰写，内容基本全面；