2019中考压轴试题9

2019中考数学压轴题

43.(2017山东省威海市，第24题，11分)如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB=3,BC=2,动点

P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止,4ADP以直线AP为轴翻折，点D落在点D1的位置,设DP=x,

(3)求出y与x的函数表达式.

x(O<x<2)

2V13-42V10-2>=口+4”八

------------------(2<x<3)

【答案】(1)3；(2)3.(3)I2%

【分析】(1)根据折叠得出AD=AD1=2,PD=PDl=x,ZD=ZAD1P=9O°,在Rt^ABC中，根据勾股定理

求出AC,在RtZ\PCDl中，根据勾股定理得出方程，求出即可；

(2)连接PE,求出BE=CE=1,在RtAABE中，根据勾股定理求出AE,求出AD1=AD=2,PD=PDl=x,D1E=&°

-2,PC=3-x,在RtZiPDIE和RtZ\PCE中，根据勾股定理得出方程，求出即可；

(3)分为两种情况：当0VxW2时，y=x；当2VxW3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F,

求出AF=PF,作PGJLAB于G,设PF=AF=a,在Rt^PFG中，由勾股定理得出方程(x-a)2+22=a2,求

出a即可.

【解析】(1)如图1,•.,由题意得:AADP^AADIP,.\AD=AD1=2,PD=PDl=x,ZD=ZAD1P=9O°,;

直线AD1过C,APDllAC,在RtAABC中，AC=《*+寸=屈,CD1=^-2,在RtAPCDl中，

2岳-42旧-4

PC2=PD12+CD12,即(3-x)2=x2+(屈-2)2,解得：x=3，二当x=3时，直线AD1

过点C；

(2)如图2,连接PE,'.任为BC的中点，，BE=CE=1,在RtaABE中,AE=NAB、BE?=W，•:AD1=AD=2,

PD=PDl=x,...DlE=W-2,PC=3-x,在RtaPDlE和RtZiPCE中，x2+(W-2)2=(3-x)2+12,

2M-22V10-2

解得：x=3，，当x=3时，直线ADI过BC的中点E；

D

(3)①如图3,当0VxW2时，y=x；

②如图4,当2VxW3时,点如在矩形ABCD的外部,PD1交AB于F,；AB〃CD,N1=N2,YNl=

N3(根据折叠)，，/2=/3,，AF=PF,作PGLAB于G,设PF=AF=a,由题意得：AG=DP=x,FG=x-a,

4+x21x2x4+%2*+4

在RtZkPFG中，由勾股定理得：(x-a)2+22=a2,解得：a=2x,所以y=，2x=2x.

x(0<x<2)

3=恒+4

(2<x<3)

综合上述,,2x

图4

点睛：本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算

是解此题的关键，用了分类推理思想.

考点：四边形综合题；动点型；分类讨论；分段函数；压轴题.

44.(2017德州，第23题，10分)如图1,在矩形纸片ABCD中，AB=3cm,AD=5cm,折叠纸片使B点

落在边AD上的E处，折痕为PQ,过点E作EF〃AB交PQ于F,连接BF.

(1)求证：四边形BFEP为菱形；

(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；

①当点Q与点C重合时(如图2),求菱形BFEP的边长；

②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离.

5

【答案】（1）证明见解析；（2）①§；②2.

【分析】（1）由折叠的性质得出PB=PE,BF=EF,NBPF=NEPF,由平行线的性质得出/BPF=NEFP,证

出NEPF=NEFP,得出EP=EF,因此BP=BF=EF=EP,即可得出结论；

（2）①由矩形的性质得出BC=AD=5cm,CD=AB=3cm,NA=ND=90°,由对称的性质得出CE=BC=5cm,

在RtACDE中，由勾股定理求出DE=4cm,得出AE=AD-DE=lcm；在RtAAPE中，由勾股定理得出方程，

5

解方程得出EP=3cm即可；

②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE=lcm；当点P与点A重合时，点E离点A

最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm,即可得出答案.

【解析】（1）证明：•••折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ,.•.点B与点E关于PQ对称，

，PB=PE,BF=EF,ZBPF=ZEPF,又YEFaAB,二NBPF=NEFP,，NEPF=/EFP,，EP=EF,，BP=BF=EF=EP,

...四边形BFEP为菱形；

⑵解:①•.•四边形ABCD是矩形,.,.BC=AD=5cm,CD=AB=3cm,ZA=ZD=90°,•点B与点E关于PQ

,22

对称，..CE=BC=5cm,itRtACDEDE=vCE-C7）=4cm>>\AE=AD-DE=5cm-4cm=lcm；

5

在RtZ\APE中，AE=1,AP=3-PB=3-PE,/.EP2=12+（3-EP）2,解得：EP=§cm,二菱形BFEP的边长

5

为3cm；

②当点Q与点C重合时，如图2：

点E离点A最近，由①知，此时AE=lcm；

当点P与点A重合时，如图3所示：

点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm,.•.点E在边AD上移动的最大距离为2cm.

点睛：本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰

三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度.

考点：翻折变换（折叠问题）；四边形综合题；动点型；最值问题；压轴题.

45.（2017山东省淄博市，第23题，9分）如图，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD

边上的动点P重合（点P不与点C,D重合），折痕为MN,点M,N分别在边AD,BC±,连接MB,MP,

BP,BP与MN相交于点F.

（1）求证：△BFNS/^BCP；

（2）①在图2中，作出经过M,D,P三点的（要求保留作图痕迹，不写做法）；

②设AB=4,随着点P在CD上的运动，若①中的。0恰好与BM,BC同时相切，求此时DP的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）①作图见解析；②3.

【分析】（1）根据折叠的性质可知，MN垂直平分线段BP,即NBFN=90°,由矩形的性质可得出NC=90°=

ZBFN,结合公共角/FBN=NCBP,即可证出△BFNs^BCP；

（2）①在图2中，作MD、DP的垂直平分线，交于点0,以0D为半径作圆即可；

②设。0与BC的交点为E,连接OB、0E,由△MDP为直角三角形，可得出AP为的直径，根据BM

与。0相切，可得出MPLBM,进而可得出ABMP为等腰直角三角形，根据同角的余角相等可得出NPMD=

ZMBA,结合NA=NPMD=90°、BM=MP,即可证出△ABMgADMP（AAS）,根据全等三角形的性质可得出

DM=AB=4、DP=AM,设DP=2a,根据勾股定理结合半径为直径的一半，即可得出关于a的方程，解之即

可得出a值，再将a代入0P=2a中求出DP的长度.

【解析】（1）证明：•••将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合，...MN

垂直平分线段BP,.".ZBFN=90°.

•四边形ABCD为矩形，.•.NC=90°.

ZFBN=ZCBP,ABFN^ABCP.

（2）解：①在图2中，作MD、DP的垂直平分线，交于点0,以0D为半径作圆即可.如图所示.

②设。。与BC的交点为E,连接OB、0E,如图3所示.

•.•△MDP为直角三角形，，AP为。。的直径，:BM与。0相切，/.MP±BM.

•.•MB=MP,.'△BMP为等腰直角三角形.

VZAMB+ZPMD=180°-ZAMP=90°,ZMBA+ZAMB=90°,/.ZPMD=ZMBA.

在△ABM和4DMP中，VZMBA=ZPMD,ZA=ZPMD=90°,BM=MP,.,.△ABM^AOMP（AAS）,.\DM=AB=4,

DP=AM.

设DP=2a,则AM=2a,OEM-a,BM=〃/+A"=2"+/.

____3_

VBM=MP=20E,<2,4+/=2x(4-a),解得：a=5,，DP=2a=3.

点睛：本题考查了相似三角形的判定、矩形的性质、角的计算、切线的性质、全等三角形的判定与性

质以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合翻折的性质，找出NC=90°=NBFN；（2）

①利用尺规作图，画出。0；②根据全等三角形的判定定理AAS证出AABM丝△DMP.

考点：圆的综合题；动点型；翻折变换（折叠问题）；压轴题.

46.（2017山东省青岛市，第24题，12分）已知：RtZSEFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重

合），点F,B（P）,C在同一直线上，AB=EF=6cm,BC=FP=8cm,ZEFP=90°,如图②，4EFP从图①的

位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为lcm/s,EP与AB交于点G；同时，点Q从点C出发，沿CD方

向匀速运动，速度为lcm/s.过点Q作QMLBD,垂足为H,交AD于点M,连接AF,FQ,当点Q停止运

动时，△EFQ也停止运动.设运动时间为t(s)(0<t<6),解答下列问题：

(1)当t为何值时，PQ〃BD?

(2)设五边形AFPQM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式；

(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使‘五边形刖：S矩形皿=9:8?若存在，求出t的值；若不

存在，请说明理由.

(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使点M在线段PG的垂直平分线上？若存在，求出t的值;

若不存在，请说明理由.

EA__________DEAyp

B(P)B

图①图②

24

【答案】(1)-7；(2)y(0<t<6)；(3)t=2s；(4)t=17s.

CPCQ8-r_t

【分析】(1)如图1中，当PQ〃BD时，CB8,可得86,解方程即可；

(2)如图2中，当0VtV6时，S五边形AFPQM=S梯形AFCD-SADMQ-SAPQC,由此计算即可解决

问题；

(3)假设存在，根据题意列出方程即可解决问题；

(4)如图3中，连接MG、MP,作MK_LBC于K.理由勾股定理，根据MG=MP,列出方程即可解决问题;

CPCQ8-ft竺24

【解析】(1)如图1中，当PQ〃BD时，CBCD,86,7,7s时，PQ〃BD.

PA“D

(2)如图2中，当0Vt<6时，y=S五边形AFPQM=S梯形AFCD-SZ\DMQ-SaPQC

_L12

=2(8+8-t+8)*6-2•(6-t)*4(6-t)-2•(8-t)•t

15117

-t2--1-\----

822(0<t<6).

MD

图2

—1~-----1H---------

(3)如图2中，假设存在，则有(82248=9：8,解得t=2或18(舍弃)，，t=2s时，S

五边形AFPQM：S矩形ABCD=9：8.

(4)存在.理由：如图3中，连接MG、MP,作MKLBC于K.

222

易知：AG=6-4t.DQ=6-t,DM=KC=4(6-t),PK=8-t-4(6-t),MK=CD=6,,点M在PG的垂

33

*

直平分线上，.，.MG=MP,..AG2+AM2=PK2+MK2,(6-4t)2+[8-4(6-t)]2=62+[8-t-4(6-

3232

t）]2,解得t=F或0（舍弃），时，点M在线段PG的垂直平分线上.

点睛：本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、多边形的面积等知识，解题的

关键是学会理由分割法求多边形面积，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题.

考点：四边形综合题；动点型；存在型；压轴题.

47.（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线'="苫2-2氐与坐标轴交于人，B,C三点,

其中C（0,3）,NBAC的平分线AE交y轴于点D,交BC于点E,过点D的直线1与射线AC,AB分别

交于点M,N.

（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；

（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若4PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；

11

---------1--------

（3）证明：当直线1绕点D旋转时，AMAN均为定值，并求出该定值.

【答案】（1）a=3,A（-6，0）,抛物线的对称轴为x=6；（2）点P的坐标为（百，0）或（6,

-4）；（3）2.

【分析】（1）由点C的坐标为（0,3）,可知-9a=3,故此可求得a的值，然后令y=0得到关于x的

方程，解关于X的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴;

（2）利用特殊锐角三角函数值可求得NCA0=60°,依据AE为NBAC的角平分线可求得NDA0=30。，

然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1,则可得到点D的坐标.设点P的坐标为（6,a）.依据

两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD=PA、AD=DP、AP=DP三种情况列方程求解即可;

（3）设直线MN的解析式为y=kx+I,接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利

用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可.

【解析】（1）VC（0,3）,-9a=3,解得：a=3.

令y=0得：奴-9a=0,•.•awo,.•.》2-2瓜-9=0,解得：x=-6或x=35...点A的坐

标为（-百，0）,B（3百，0）,.•.抛物线的对称轴为x=6.

（2）,.,0A=6,OC=3,.,.tanZCAO=^,AZCA0=60°.

正

：AE为NBAC的平分线，.,.ZDA0=30°,.\D0=3AO=1,.,.点D的坐标为（0,1）.

设点P的坐标为（6,a）.

依据两点间的距离公式可知:AD2=4,AP2=12+a2,DP2=3+（a-1）2.

当AD=PA时,4=12+a2,方程无解.

当AD=DP时，4=3+（a-1）2,解得a=0或a=2（舍去），，点P的坐标为（6,0）.

当AP=DP时,12+a2=3+（a-1）2,解得a=-4,.•.点P的坐标为（百，-4）.

综上所述，点p的坐标为（6,0）或（G,-4）.

（3）设直线AC的解析式为y=mx+3,将点A的坐标代入得：-&加+3=0,解得：„1=追，.•.直线AC

的解析式为丁=岛+3.

设直线MN的解析式为y=kx+l.

_1_1一尿-1

把y=0代入y=kx+l得：kx+l=O,解得：x=左，.,.点N的坐标为（％,0）,.，.AN=k=k

22

将旷=瓜+3与丫=1«+1联立解得：x=Z-G,...点M的横坐标为"

二r+百

过点M作MGJ_x轴，垂足为G.贝I」AG=%-13

义+26

VZMAG=60°,ZAGM=90°,，AM=2AG=々一G=13,

11k-6]k3k瓜瓜-D6

+

：.~\M~\N=2^k-2辰-l=2y/3k-2=2(^-1)=~T

点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函

数的解析式，分类讨论是解答问题(2)的关键，求得点M的坐标和点N的坐标是解答问题(3)的关

键.

考点：二次函数综合题；旋转的性质；定值问题；动点型；分类讨论；压轴题.

48.(2017广西桂林市，第26题，12分)已知抛物线M+法-46/。)与x轴交于点A(-1,

0)和点B(4,0).

(1)求抛物线切的函数解析式；

(2)如图①，将抛物线片沿x轴翻折得到抛物线为，抛物线必与y轴交于点。点D是线段BC上的

一个动点，过点D作DE〃y轴交抛物线/于点E,求线段DE的长度的最大值；

(2)在(2)的条件下，当线段DE处于长度最大值位置时，作线段BC的垂直平分线交DE于点F,垂

足为H,点P是抛物线为上一动点，OP与直线BC相切，且SG)P：SADFH=2n,求满足条件的所有点

P的坐标.

VAy个

备用图

【答案】(1)M=Y-3X-4；(2)9;(3)(2+&，_V6),(2-"，瓜),(2+0，4-72),(2—夜，

4+V2).

【分析】⑴将点A(-1,0)和点B(4,0)代入弘=加+辰一4即可得到结论；

(2)由对称性可知，得到抛物线y2的函数解析式为＞2=—一+3%+4,求得直线BC的解析式为：y=

-x+4,设D(m,-m+4),E(m,m1-3m-A-),其中0WmW4,得至I」DE=-m+4-(m2-3/«-4)=一(旅一+9,

即可得到结论；

(3)由题意得到aBOC是等腰直角三角形，求得线段BC的垂直平分线为y=x,由(2)知，直线DE

的解析式为x=l,得到H(2,2),根据SOP：SADFH=2n,得到r=&,由于。P与直线BC相切，推

出点P在与直线BC平行且距离为近的直线上，于是列方程即可得到结论.

【解析】(1)将点A(-1,0)和点B(4,0)代入％=加+云-4得：a=i,b=-3,...抛物线yl的

函数解析式为：M=/—3X-4；

(2)由对称性可知，抛物线y2的函数解析式为：必=-/+3》+4,"(0,4),设直线BC的解析

式为：y=kx+q,把B(4,0),C(0,4)代入得，k=-1,q=4,...直线BC的解析式为：y=-x+4,设

22

D(m,-m+4),E(m,3吁4),其中0WmW4,，DE=-m+4-(m-3m-4)=-(w-l)+9f70

WmW4,.•.当m=l时，DEmax=9；止匕时，D(1,3),E(1,-6)；

(3)由题意可知，ABOC是等腰直角三角形，...线段BC的垂直平分线为：y=x,由(2)知，直线DE

的解析式为:x=l,AF(b1),'.飞是BC的中点，；.H(2,2),；.DH=亚,FH=^,.,.SADFH=1,

设。P的半径为r,•.•SOP：SADFH=2n,:.「=也,；OP与直线BC相切，.•.点P在与直线BC平行

且距离为&的直线上，.•.点P在直线y=-x+2或y=-x+6的直线上，•.•点P在抛物线%=一一+3%+4

上，，

22

-x+2=-x+3x+4,解得：xl=2+#,X2=2-V6>-x+6=-x+3x+4,解得:x3=2+x/2,X4=2-V2,

,符合条件的点P坐标有4个，分别是(2+而，-八)，(2-6，V6),(2+V2.4-V2),(2-V2,

点睛：本题考查了待定系数法求函数的解析式，折叠的性质，二次函数的最大值问题，等腰直角三角

形的性质，线段的垂直平分线的性质，直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键.

考点：二次函数综合题；翻折变换(折叠问题)；最值问题；二次函数的最值；动点型；分类讨论；

压轴题.

49.(2017广西玉林崇左市，第26题，12分)如图，一次函数丫=>+5(4<0)的图象与坐标轴交

于A,B两点，与反比例函数,一"(网＞°)的图象交于M,N两点，过点M作MC_Ly轴于点C,已知

CM=1.

(1)求玲一占的值;

AM_1

(2)若俞一Z,求反比例函数的解析式；

(3)在(2)的条件下，设点P是x轴(除原点0外)上一点，将线段CP绕点P按顺时针或逆时针

旋转90°得到线段PQ,当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q

的坐标；如果不能，请说明理由.

【答案】(1)5；(2))*；(3)点Q的坐标为(2+2血，-2+28)或(2-2夜，-2-2亚)或

(-2,-2).

_匕

y-----

【分析】(1)根据点M的坐标代入反比例关系：.x中，可得结论；

AMCM

(2)根据△ACMs/\ADN,得病一加一)，由CM=1得DN=4,同理得N的坐标，代入反比例函数式中

可得k2的值；

(3)如图2,点P在x轴的正半轴上时，绕P顺时针旋转到点Q,根据△COPgAPHQ,得CO=PH,OP=QH,

设P(x,0),表示Q(x+4,x),代入反比例函数的关系式中可得Q的两个坐标；

如图3,点P在x轴的负半轴上时；

如图4,点P在x轴的正半轴上时，绕P逆时针旋转到点Q,同理可得结论.

【解析】(1)如图1,YMCLy轴于点C,且CM=L的横坐标为1,当x=l时,y=kl+5,AM(1,

kl+5),在反比例函数的图象上，IX(kl+5)=k2,.*.k2-kl=5；

AMCM

(2)如图1,过N作ND_Ly轴于D,，CM〃DN,.•.△ACMs/\ADN,.A4V一/一月，DN=4,

当x=4时，y=4kl+5,AN(4,4kl+5),.*.4(4kl+5)=k2①，由(1)得:k2-kl=5,；.kl=k2-5②,

y=~4

把②代入①得：4(4k2-20+5)=k2,k2=4,.•.反比例函数的解析式：*；

(3)当点P滑动时，点Q能在反比例函数的图象上；

如图2,CP=PQ,ZCPQ=90°,过Q作QHJ_x轴于H,易得：ZlsCOP四△PHQ,.,.CO=PH,OP=QH,由(2)

y=—4

知：反比例函数的解析式：X;

当x=l时，y=4,AM(1,4),.*.0C=PH=4,设P(x,0),AQ(x+4,x),当点Q落在反比例函数的图

象上时，x(x+4)=4,x2+4x+4=8,x=-2±2&,当x=-2+2后时，x+4=2+2&,如图2,Q(2+2&,

-2+20)；

当x=-2-2&时，x+4=2-2及，如图3,Q(2-2及，-2-272).

如图4,CP=PQ,NCPQ=90°,设P(x,0),过P作GH〃y轴，过C作CGLGH,过Q作QHLGH,易得:

△CPG^APQH,.*.PG=QH=4,CG=PH=x,，Q(x-4,-x),同理得：-x(x-4)=4,解得：xl=x2=2,

.,.Q(-2,-2),综上所述，点Q的坐标为(2+2&,-2+2&)或(2-20,-2-20)或(_

点睛：本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了含字母系数的两函数关系式的有关问题，与三

角形全等和相似相结合，列比例式或点的坐标在函数图象上列等式可解决问题，第三问有难度，画出

图形是关键.

考点：反比例函数综合题；存在型；动点型；旋转的性质；压轴题.

50.(2017江苏省宿迁市，第26题，10分)如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1,BC=6,点E在

边CD上移动，连接AE,将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB'C'E,点B、C的对应点分

别为点夕、C'.

(1)当夕C'恰好经过点D时(如图1),求线段CE的长；

(2)若B'C分别交边AD,CD于点F,G,且NDAE=22.5°(如图2),求△DFG的面积；

(3)在点E从点C移动到点D的过程中，求点C'运动的路径长.

f

BBf

2

【答案】（I）CE=&—71

-2；(2)2；(3)3

ADDB'

【分析】（1）如图1中，设CE=EC'=x,则DE=l-x,由AADB''^ADEC,可得七。，列出方

程即可解决问题；

（2）如图2中，首先证明aADB',△DFG都是等腰直角三角形，求出DF即可解决问题；

（3）如图3中，点C的运动路径的长为CC'的长，求出圆心角、半径即可解决问题.

【解析】（1）如图1中，设CE=EC'夕,贝ijDE=l-x,•「NZD5'+Z.EDC=90°,/B,AD+NADB'=90°,

"B'AD=』EDC',<3=NC'=90°,AB,=AB=\,AD=43,:.DB'=7^=1=0,—DB'

SAD七，二天窗...W，.”指-2,.6m-2.

(2)如图2中，':4BAD=/B'=ZD=9Q0,ND4£=22.5°，;./EAB=/EAB‘=67.5°,：.AB'AF=

乙B'£4=45°，,ND尸G=4F3'=ZZ>GF=45°,：.DF=DG,在RtAH'尸中，4B'=FB'=1,

AJ^A/2.45'=ii/2,.,.DF=DG=5/3-V2).,.S^j)FG=—(^fi—y/2')*=^—y/6.

CD也

(3)如图3中，点C的运动路径的长为°C'的长，在RtZXADC中，•.,tanNDAC=A。3,.".ZDAC=30°,

60^x22

—TV

AC=2CD=2,'：ZCAD=ZDAC=30°,/.ZCAC*=60°,CC'的长=180=3

点睛：本题考查四边形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、弧长公式等知识,

解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题.属于中考压轴题.

考点：四边形综合题；翻折变换（折叠问题）；动点型；压轴题.

51.(2017江苏省连云港市，第26题，12分)如图，已知二次函数＞=ax2+"+3(a^0)的图象经过

点A(3,0),B(4,1),且与y轴交于点C,连接AB、AC、BC.

(1)求此二次函数的关系式；

(2)判断AABC的形状；若△ABC的外接圆记为。M,请直接写出圆心M的坐标；

(3)若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点Al、Bl、Cl,AA1B1C1

的外接圆记为。Ml,是否存在某个位置，使。Ml经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不

存在，请说明理由.

1,511+后、，17-4VH)

y=—x——x+3yz=—(x--------)~---------

【答案】(1).22；(2)直角三角形，M(2,2)；⑶228或

l-Vi0.217+4而

^厂一一L

【分析】(1)直接利用待定系数法求出a,b的值进而得出答案；

(2)首先得出N0AC=45°,进而得出AD=BD,求出N0AC=45°,即可得出答案；

(3)首先利用已知得出圆M平移的长度，进而得出抛物线的平移规律，即可得出答案.

1\a=—1

i2

\9a+3/?+3=05

【解析】(1)把点A(3,0),B(4,1)代入k++反+3中，得：卜6a+46+3=1,解得：/一5,,

15°

y=—x2——x+3

所以所求函数关系式为：.22；

(2)AABC是直角三角形，过点B作BD_Lx轴于点D,易知点C坐标为：(0,3),所以0A=0C,所以

Z0AC=45°,又•.•点B坐标为:(4,1),/.AD=BD,/.Z0AC=45°,/.ZBAC=180°-45°-45°=90°,

.'.△ABC是直角三角形，圆心M的坐标为：(2,2)；

(3)存在.取BC的中点M,过点M作ME_Ly轴于点E,=M的坐标为：(2,2),...MC=6+F=日,

0M=2V2,.-.ZM0A=45°,又•.•/BAD=45°,...OMaAB,...要使抛物线沿射线BA方向平移，且使。Ml

经过原点，则平移的长度为：2夜-石或2&+石;

242-75_4-V10

•••/BAD=45°,.•.抛物线的顶点向左、向下均分别平移F~个单位长度

亚亚="叵-合+3=售32」

或722个单位长度，222楞28,...平移后抛物线的关系式为:

l|_5+4LV101一业l|.Wi017-4痴

・2摄2282,即，2摄28

_嘴54+加214+7101霜1-M'17+4V10

y=—.fi---------------------------

或2摄2282即2摄28

综上所述，存在一个位置,使。Ml经过原点，此时抛物线的关系式为:

1-呵217+45/10

8

点睛：此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移、等腰直角三角形的性质等知识，正确得出

圆M的平移距离是解题关键.

考点：二次函数综合题；平移的性质；动点型；存在型；压轴题.

52.(2017浙江省绍兴市，第24题，14分)如图1,已知DABCD,AB〃x轴，AB=6,点A的坐标为(1,

-4),点D的坐标为(-3,4),点B在第四象限，点P是DABCD边上一个动点.

(1)若点P在边BC上，PD=CD,求点P的坐标.

(2)若点P在边AB、AD上，点P关于坐标轴对称的点Q，落在直线丁=1一1上，求点P的坐标.

(3)若点P在边AB,AD,CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2,过点P作y轴的平行线PM,过

点G作x轴的平行线GM,它们相交于点M,将4PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时,

求点P的坐标(直接写出答案).

3

【答案】(1)P(3,4)；(2)(-3,4)或(-1,0)或(5,-4)或(3,-4)；(3)P(2,-4)或(-2,

述述

3)或(-5,4)或(5,4).

【分析】(1)点P在BC上，要使PD=CD,只有P与C重合；

(2)首先要分点P在边AB,AD上时讨论，根据“点P关于坐标轴对称的点Q"，即还要细分“点P

关于x轴的对称点Q和点P关于y轴的对称点Q”讨论，根据关于x轴、y轴对称点的特征(关于x

轴对称时，点的横坐标不变，纵坐标变成相反数；关于y轴对称时，相反；)将得到的点Q的坐标代

入直线y=x-l,即可解答；

(3)在不同边上，根据图象，点M翻折后，点M'落在x轴还是y轴，可运用相似求解.

【解析】(1)♦；CD=6,...点P与点C重合，.•.点P的坐标是(3,4).

(2)①当点P在边AD上时，由已知得，直线AD的函数表达式为：丁=-2》-2,设pg,-2a-2),

且-3WaW1.

若点P关于x轴对称点QI(a,2a+2)在直线y=xT上，...22+2=2-1,解得a=-3,此时P(-3,4).

若点P关于y轴对称点Q2(-a,-2a-2)在直线y=x-l±,：.-2a-2=-a~l,解得a=-l,此时P(-1,0).

②当点P在边AB上时，设P(a,-4),且lWaW7.

若点P关于x轴对称点Q3(a,4)在直线y=x-l上，.Mua-l,解得a=5,此时P(5,-4).

若点P关于y轴对称点Q4(-a,-4)在直线y=x-l上，.•.-4=-aT,解得a=3,此时P(3,-4).

综上所述，点P的坐标为(-3,4)或(-1,0)或(5,-4)或(3,-4).

(3)因为直线AD为y=-2x-2,所以G(0,-2).

①如图，当点P在CD边上时，可设P(m,4),且-3Wm<3,则可得M'P=PM=4+2=6,M'G=GM=|m|,

OM'GM'即等—同

易证得△OGM'^AHMZP,则HP-M'P,在RtZ\OGM'中，由勾股

定理得，(刎，解得-竿或半，则P(一竿，4)或(竿，4)；

②如下图，当点P在AD边上时，设P(m,-2m-2),则PM'=PM=-2m|,GM'=MG=|m|,易证得△OGM'

OM'GM'OM'_\m\]

即卜2m-2|卜2时，则OM，=5回+2,在RQOGM，中，由勾股定理

/△HM'P,则HPM'P

(-|2//2+2|)2+22=m2--

1

得，2,整理得1n=-2,则p"2,3)；

如下图，当点P在AB边上时，设P（m,-4）,此时M'在y轴上，则四边形PM'GM是正方形，所以

GM=PM=4-2=2,则P（2,-4）.

5述述

综上所述，点P的坐标为（2,-4）或（-2,3）或（-5,4）或（5,4）.

点睛：本题考查一次函数综合题、平行四边形的性质、翻折变换、勾股定理、正方形的判定和性质等

知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题.

考点：一次函数综合题；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；动点型；分类讨论；压轴题.

53.（2017天门，第25题，12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的边AD在x轴上，点C

在y轴的负半轴上，直线BC〃AD,且BC=3,0D=2,将经过A、B两点的直线1：y=-2x-10向右平移，

平移后的直线与x轴交于点E,与直线BC交于点F,设AE的长为t（t20）.

（1）四边形ABCD的面积为；

（2）设四边形ABCD被直线1扫过的面积（阴影部分）为S,请直接写出S关于t的函数解析式；

（3）当t=2时，直线EF上有一动点，作PMJ_直线BC于点M,交x轴于点N,将APME沿直线EF折

叠得到APTF,探究：是否存在点P,使点T恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点P的坐标；若不存

在，请说明理由.

4f(0<r<3)

1,9

S=］一一产+7f——(3<r<7)

2282

【答案】(1)20；(2)120(栏7)；⑶P(-6,6)或P(-§,-3).

【分析】(1)根据函数解析式得到0A=5,求得AC=7,得到0C=4,于是得到结论；

(2)①当0<t<3时，根据已知条件得到四边形ABFE是平行四边形，于是得到S=AE・0C=4t；

②当3WtV7时，如图1,求得直线CD的解析式为：y=2x-4,直线E'F'的解析式为：y=-2x+2t

-10,解方程组得到G的坐标，于是得到S=S四边形ABCD-SaDE'G；

③当t27时，S=S四边形ABCD=20；

(3)当t=2时，点E,F的坐标分别为(-3,0),(-1,-4),此时直线EF的解析式为：y=-2x-

6,设动点P的直线为(m,-2m-6),求得PM=|(-2m-6)-(-4)|=2|m+l|,PN=(-2m-6|=2

(m+3|,FM=|m-(-1)|=|m+l,分两种情况讨论：

①假设直线EF上存在点P,使点T恰好落在x轴上，如图2,连接PT,FT；

②假设直线EF上存在点P,使点T恰好落在y轴上，如图3,连接PT,FT,根据全等三角形的判定性

质和相似三角形的判定和性质即可得到结论.

【解析】(1)在y=-2x-10中，当y=0时，x=-5,AA(-5,0),.,.0A=5,/.AC=7,把x=-3代入

y=-2x-10得，y=-4,.\0C=4,四边形ABCD的面积=5(3+7)X4=20；

故答案为：20；

(2)①当0WtW3时，VBC//AD,AB〃EF,，四边形ABFE是平行四边形，，S=AE・0C=4t；

②当3WtV7时，如图1,VC(0,-4),D(2,0),.•.直线CD的解析式为：y=2x-4,VE,F'//

AB,BF'〃AE'

y=2x-4

<

...BF'=AE=t,(t-3,-4),直线E'F'的解析式为：y=-2x+2t-10,解3=一2%+2-10得,

t-3

x=---

2r-3112-9

_.r---——t+71—

y=i,：.G(2,t-7),...S=S四边形ABCD-SZXDE'G=20-2义(7-t)X(7-t)=22,

③当t27时,S=S四边形ABCD=20；

4z(0<r<3)

19

S=\r27+7r--(3</<7)

22

20(Z>7)

综上所述：S关于t的函数解析式为:

(3)当t=2时，点E,F的坐标分别为(-3,0),(-1,-4),此时直线EF的解析式为：y=-2x-

6,设动点P的直线为(m,-2m-6),•.'PM，直线BC于M,交x轴于n,AM(m,-4),N(m,0),

APM=|(-2m-6)-(-4)|=2|m+l|,PN=(-2m-6|=2(m+3|,FM=|m-(-1)|=|m+l,分两种

情况讨论：

①假设直线EF上存在点P,使点T恰好落在x轴上，如图2,连接PT,FT,则4PFM丝△PFT,，

-P-T-N-T-=-P--T

PT=PM=2|m+l|,FT=FM=|m+l|,FT=2,作FK±x轴于K,则KF=4,由△TKFs/^PNT得，KFTF=2,

；.NT=2KF=8,VPN2+NT2=PT2,A4(m+3)2+82=4(m+1)2,解得:m=-6,A-2m-6=-6,此时，P

(-6,6)；

②假设直线EF上存在点P,使点T恰好落在y轴上，如图3,连接PT,FT,则APPM四△PFT,二

PTHTPT

PT=PM=21m+11,FT=FM=|m+11,FT=2,作PH_Ly轴于H,则PH=|m|,由△TFCsaPTH得，CFTF

8

=2,.\HT=2CF=2,'：HT2+PH2=PT2,即级+/=4加切，，解得：m=-3,m=0(不合题意，舍去),

81828

•••m=-§时，-2m-6=-3,，P(-§,-3),综上所述：直线EF上存在点P(-6,6)或P(-§,

2

-3）使点T恰好落在y轴上.

点睛：本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，

勾股定理，求函数的解析式，正确的作出辅助线是解题的关键.

考点：一次函数综合题；分段函数；动点型；分类讨论；压轴题.

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