2021年四川省成都某学校中考数学二诊试卷

2021年四川省成都外国语学校中考数学二诊试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只

有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上.）

1.（3分）下列运算正确的是（）

A.（-2）24-^=1B.3X2-4X2=-1C.（岳-岳）+6=2际

3.（3分）为应对“新冠疫情”，近日，财政部表示，截至3月21日，中央财政已累计安排

有关防控资金257.5亿元，支持地方做好患者救治、医护人员补贴发放，以及建立疫情防控

短缺物资储备、开展药品和疫苗研发等工作.据官方此前消息，截止到3月13号，全国各

级财政安排的疫情防控投入已经达到了1169亿元.将1169亿元用科学记数法表示为（

）元.

A.11.69xl06B.1.169x10"C.0.1169xl012D.1.169xl012

4.（3分）如图，现要从村庄A修建一条连接公路PQ的最短小路，过点A作AHLPQ于点

H,沿A”修建公路，这样做的理由是（）

A.两点之间，线段最短B.垂线段最短

C.过一点可以作无数条直线D.两点确定一条直线

5.（3分）两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较

这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（）

A.众数B.中位数C.方差D.以上都不对

6.（3分）将抛物线y=/-2x向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的

抛物线的函数表达式（）

A._y=x2B.y=（JC-2）3C.y=x2-2D.y=x2+2

7.（3分）已知三点耳（占，yj,y2）,巴（1,-2）都在反比例函数尸的图象上，若

X

x,<0,x2>0,则下列式子正确的是（）

A.y<y2VoB.<0<C.>y2>0D.>0>y2

8.（3分）如图，45为口。的切线，切点、为B,连接AO,AO与口O交于点C,BD为

的直径，连接8.若/4=30。，口。的半径为2,则图中阴影部分的面积为（）

等

C.7T—D.

4

9.（3分）如图，在四边形A3CD中，ZB=ZE>=90°,AB=3,BC=2,tanA=-,贝U8

3

的值为（）

10.（3分）已知抛物线、=以2+法+。（。H0）的对称轴是直线》=1,其部分图象如图所示,

13

下列说法中：®abc<0；②46?—»+CV0；③若4一/，乂）、旗屋必）、。（一2,%）是抛

物线上的三点，则有y3<<y2；④若，〃（加<〃）为方程a（x-3）（x+l）-2=0的两个根,

则一1<“<〃<3,以上说法正确的有（）

A.①②③④B.②③④C.①②④D.①②③

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡上）

11.（4分）分解因式：a'—6/+9a=.

12.（4分）已知关于x的一元二次方程（m-2）2X2+（2m+l）x+l=O有两个不相等的实数根，

则机的取值范围是—.

13.（4分）如图，43切口。于点3,04=2,ZOAB=3（f,弦BCV/Q4,劣弧BC的弧

长为.（结果保留万）

14.（4分）如图，己知钝角AABC,依下列步骤尺规作图，并保图作图痕迹，步骤1：以C

为圆心，04为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，84为半径画弧②，交弧①于点。；步

骤3：连接A。，交8C延长线于点”.下列叙述正确的是（填序号）.

（1）3〃垂直平分线段49；

（2）AC平分NJMZ）；

(3)=BC-AH.

三、解答题（本大题共6个小题，共54分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤）

15.（12分）（1）计算：|-6|+V5sin45°+tan60°-（-g）T-g;

（2）先化简，再求值：（x+2—-,其中x满足f+3x—1=0.

x-23X2-6X

16.（6分）如图，四边形A8CD是平行四边形，延长4）至点E,使座=4）,连接BZX

（1）求证：四边形BCED是平行四边形；

（2）若DA=DB=2,cosA=-,求点8到点E的距离.

4

17.（8分）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树

活动.如图，在一个坡度（或坡比），=1:2.4的山坡河上发现有一棵古树CD.测得古树

底端C到山脚点A的距离AC=26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶

端。的仰角4回=48。（古树CD与山坡45的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线

AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°«0.74,cos48。。0.67,

tan48°*1.11）

18.（8分）济南某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校30个班

中随机抽取了4个班（用A,B,C,。表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计,

制作了两幅不完整的统计图.

请根据以上信息，回答下列问题：

（1）杨老师采用的调查方式是—（填“普查”或“抽样调查”）;

（2）请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数—.

（3）请估计全校共征集作品的件数.

（4）如果全班征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，

现要在获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰

好选取的两名学生性别相同的概率.

19.（10分）如图，一次函数旷=依+人的图象与反比例函数y=%的图象相交于A（-l,〃）、

X

8（2,-1）两点，与y轴相交于点C.

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）请直接写出不等式丘+。＞》的解集；

X

（3）若点。与点C关于x轴对称，求A4BD的面积.

20.（10分）如图，/归为口0的直径，于点G,E是8上一点，且

延长£8至点P,连接CP,使PC=P£,延长BE与口O交于点F,连接8。，FD.

（1）连接8C,求证：△BCDNADFB；

（2）求证：PC是口。的切线;

(3)若tan尸=2,AG-BG=)5求£D的值.

33

一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.）

21.（4分）已知/-2〃-1=0,廿+26-1=0,且必K1,则.+0+1的值为___.

b

22.（4分）从-2,0,1,,3这六个数中，随机抽取一个数记为0,则使关于x的

22

二次函数y=Y+（3-a）x-1在x<-1的范围内），随x的增大而减小，且使关于x的分式方程

2-==，_的解为正数的。共有_个.

x—33-x

23.（4分）如图，反比例函数y=4的图象经过点（-1,-2立），点A是该图象第一象限分支

X

上的动点，连接AO并延长交另一支于点8,以45为斜边做等腰直角三角形ABC顶点C在

第四象限，AC与x轴交于点P,连接8P,在点A运动过程中，当6P平分NABC时，点C

的坐标是—.

24.（4分）如图，在RtAABC的纸片中，ZC=90°,AC=7,AB=25.点。在边8c上，

以4）为折痕将折叠得到AMR,AB'与边交于点E.若ADE笈为直角三角形,

则的长是.

B

ED

B'

25.（4分）如图，在平行四边形MC£）中，AB=2,NABC=45。，点E为射线AD上一动

点，连接BE,将座绕点3逆时针旋转60。得到防，连接AF,则AF的最小值是.

二、解答题（本大题共3个小题，共30分.解答题应写成必要的文字说明，证明过程或演

算步骤.）

26.（8分）铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀.小张购进一批食材制

作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷敏保存，导致成本逐日增加，第x天

（啜!k15且x为整数）时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系；第3天时，

每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关

系如下表所示：

（2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润

最大，最大销售利润是多少元？

（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接

写出结果.

27.（10分）问题背景

如图（1）,MBD,A4EC都是等边三角形，AACD可以由通过旋转变换得到，请写

出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小.

尝试应用

如图（2）,在RtAABC中，NAC8=90。，分别以AC,AB为边，作等边AACD和等边AA3E,

连接ED,并延长交8C于点F,连接若B"BC,求"的值.

DE

拓展创新

如图（3）,在RtAABC中，NACB=90。，43=2,将线段AC绕点A顺时针旋转90。得到

线段连接PB,直接写出尸3的最大值.

28.（12分）如图，抛物线>=以2-3or-2交x轴于A、B（A左8右）两点，交y轴于点C,

过C作CD//X轴，交抛物线于点。，£（-2,3）在抛物线上.

（1）求抛物线的解析式；

（2）尸为第一象限抛物线上一点，过点P作P尸垂足为F,连接PE交y轴于G,

求证：FG//DE；

（3）如图2,在（2）的条件下，过点尸作于若NO£M=45。，求P点坐标.

图1图2

2021年四川省成都外国语学校中考数学二诊试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只

有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上.）

1.（3分）下列运算正确的是（）

A.（-2）2--=-B.3d-4x2=7C.（仿-同地=2逐

55

D.（尸尸=丁

【解答】解：A、原式=4x?=5,所以A选项错误；

4

B、原式=-/,所以5选项错误；

C、原式=辰：-^1=5-行,所以C选项错误；

£＞、原式=f,所以。选项正确.

故选：D.

2.（3分）下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（）

【解答】解：四棱锥的主视图与俯视图不同.

故选：B.

3.（3分）为应对“新冠疫情”，近日，财政部表示，截至3月21日，中央财政已累计安排

有关防控资金257.5亿元，支持地方做好患者救治、医护人员补贴发放，以及建立疫情防控

短缺物资储备、开展药品和疫苗研发等工作.据官方此前消息，截止到3月13号，全国各

级财政安排的疫情防控投入已经达到了1169亿元.将1169亿元用科学记数法表示为（

）元.

A.11.69x1（）6B.1.169x10"C.0.1169xl012D.1.169x10“

【解答】解：H69亿=116900000000=1.169x10”.

故选：B.

4.（3分）如图，现要从村庄A修建一条连接公路PQ的最短小路，过点4作于点

H,沿A4修建公路，这样做的理由是（）

A.两点之间，线段最短B.垂线段最短

C.过一点可以作无数条直线D.两点确定一条直线

【解答】解：•.•从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短,

过点A作AHLPQ于点H,这样做的理由是垂线段最短.

故选：B.

A

5.（3分）两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较

这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（）

A.众数B.中位数C.方差D.以上都不对

【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需耍比较这两名学生三级蛙跳成绩的方差.

故选：C.

6.（3分）将抛物线y=r-2x向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的

抛物线的函数表达式（）

A.y=x2B.y=（x-2）2C.y=x2-2D.y=x2+2

【解答】解：y=x2-2x=（x-1）2-1,

则将抛物线y=9-2x向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的抛物

线的解析式为：y=Y.

故选：A.

7.(3分)已知三点《a，%),R(x,,y2),鸟(1,-2)都在反比例函数y=4的图象上，若

X

%,<0,x2>0,则下列式子正确的是()

A.)、<%<()B.y,<0<y2C.y,>y2>0D.y,>0>y2

【解答】解：•.•点6(1,-2)都在反比例函数y=K的图象上，

X

k=\x(—2)=—2<0»

函数图象在二，四象限，

又：玉<0,x2>0,

二.《在第二象限，6在第四象限，

y,>0,y2<0,

二乂>°>必・

故选：D.

8.(3分)如图，4?为口O的切线，切点为3,连接AO,AO与口。交于点C,BD为［JO

的直径，连接8.若/4=30。，口O的半径为2,则图中阴影部分的面积为()

B.手2石C.71—\/3D.与

【解答】解：过。点作OELCO于E,

・・・A3为口。的切线，

:.ZABO=90°,

vZA=30°,

.•408=60。,

/.ZCOD=120°,NOCD=/ODC=30。,

•.•□O的半径为2,

OE=1fCE=DE=\/3，

:.CD=2y/3,

图中阴影部分的面积为：12°X；rx22--x2>/3xl=-^-^.

36023

故选：A.

4

9.（3分）如图，在四边形ABCD中，ZB=ZD=90°,AB=3,BC=2,tanA=—，则CD

的值为（

D.2

【解答】解：延长4）、BC,两线交于O,0

・・•在RtZkABO中，ZB=90。，tanA=-=—,AB=3,

3AB

・・BC=2,

;.OC=OB-BC=4-2=2,

在RtAABO中，4=90。,AB=3,OB=4,由勾股定理得：AO=5,

-ZADC=90°，

:.ZODC=90°=ZB,

・・・NO=NO,

NODCsNOBA，

.DC_OC

一~AB~~OA"

DC2

，---二一，

35

解得：DC=-,

5

故选：C.

10.(3分)已知抛物线y=欠2+/zx+c(〃wO)的对称轴是直线x=l,其部分图象如图所示，

13

下列说法中：®abc<Q-,②4«-4+c<0；③若A(-],y)、%)、C(-2M是抛

物线上的三点，则有④若m,“(〃?<")为方程a(x-3)(x+l)-2=0的两个根,

贝以上说法正确的有()

A.①②③④B.②③④C.①②④D.①②③

【解答】解：•.•抛物线开口向下，

/.6Z<0,

抛物线的对称轴为直线=--=\,

x2a

b=—2a>0,

...抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，

/.c>0,

/.abcv0,所以①正确；

v抛物线的对称轴为直线无=1,抛物线与X轴的一个交点坐标为(3,0),

抛物线与X轴的另一个交点坐标为(-1,0),

.,.x=-2时，yvO,

/.—2Z?+c<0»所以②正确；

•.•抛物线开口向下，点8(|,必)到直线》=1的距离最近，点。(-2,%)到直线x=l的距离

最远，

/.为<Xv%，所以③正确；

m,n(m<ri)为方程a(x-3)(x+1)—2=0的两个根，

把相、n看作二次函数y=a(x-3Xx+\)与直线y=2的交点的横坐标，

:.—\<m<n<?)y所以④正确.

故选：A.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡上)

11.(4分)分解因式：o1-6a2+9a=_a{a-3)2_.

【解答】解：a3-6a2+9a=a(a2-6a+9)=a(a-3)2,

故答案为。3-3)2

12.(4分)已知关于x的一元二次方程(加-2)2丁+(2m+1)工+1=0有两个不相等的实数根，

则机的取值范围是"z>a且mw2.

—4——

【解答】解：・.・关于x的一元二次方程(〃L2)2/+(2加+1口+1=0有两个不相等的实数根,

/.A=Z?2-4ac>0,

即(2m+1)?—4x(加一2>x1>0,

解这个不等式得，相>3,

4

又•.•二次项系数是(加-2>#0,

/.m丰2

故"得取值范围是机>3且机工2.

4

故答案为：6>—且W2.

4

13.(4分)如图，AB切口。于点8,OA=2,NQ4B=30。，弦3CV/O4,劣弧3C的弧

:,ZABO=90°,

在RtAABO中，Q4=2,NQ48=30。,

:.OB=\,ZAOB=60°,

•/BC//OA,

:./OBC=ZAOB=S。,

又OB=OC,

」.ABOC为等边三角形，

/.ZBOC=60°,

则劣弧BC长为需f

14.（4分）如图，已知钝角AA8C,依下列步骤尺规作图，并保图作图痕迹，步骤1：以C

为圆心，C4为半径画弧①；步骤2：以3为圆心，胡为半径画弧②，交弧①于点D；步

骤3：连接4）,交3c延长线于点H.下列叙述正确的是（1）（填序号）.

（1）8”垂直平分线段4）;

（2）AC平分NfiAZ）：

（3）SMBC=BCAH.

【解答】解：由作图可知，线段垂直平分线段45，

无法判断AC平分ZBAD,

=-BCAH,

(1)正确，(2)(3)错误，

故答案为：(1).

三、解答题(本大题共6个小题，共54分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤)

15.(12分)(1)计算：|-6|+0sin45°+tan6O°-(-g)T-疝；

(2)先化简，再求值：(x+2--8)十,其中x满足d+3x—1=0.

x-23X2-6X

【解答】解：(1)原式=G+&x立+6+3-26

2

=班+1+6+3-2百

=4；

(2)原式=[(x+2)(x二2)_534%-2)

x-2x-2x-3

X2-93X(X-2)

=-----X--------

x—2x—3

(x+3)(%-3)3x(x-2)

=-----------x--------

x—2x—3

=3x(x4-3)

=3x2+9x；

vx2+3x-l=0,

x2+3x=1.

/.原式=3(Y+3x)

=3.

16.（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E,使座=4）,连接处.

（1）求证：四边形8CED是平行四边形；

【解答】(1)证明：・.・四边形48co是平行四边形,

:.AD=BC,AD/IBC,

\-DE=AD,

：.DE=BC,DEIIBC,

四边形BCE。是平行四边形；

(2)解:连接BE,

vZM=DB=2,DE=AD,

；.AD=BD=DE=2,

.\ZABE=90°,AE=4,

1

*.*cosA=—，

4

:.AB=\,

：.BE=JAE'-AB2=屈.

17.（8分）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树

活动.如图，在一个坡度（或坡比）i=l:2.4的山坡河上发现有一棵古树CD.测得古树

底端C到山脚点A的距离AC=26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶

端。的仰角24£。=48。（古树CD与山坡4?的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线

AE垂直），则古树8的高度约为多少米？（参考数据：sin48°«0.74.cos48。。0.67,

tan48°»1.11)

D

B

【解答】解：延长。C交E4的延长线于点F,则C所,

•.•山坡AC上坡度，.=1:2.4,

:.令CF=k,则AF=2.4%,

在RtAACF中，由勾股定理得，

CF2+AF2=AC2,

.•"2+(24/)2=262,

解得4=10,

：.AF=24,CF=10,

.•,£F=30.

r)p

在RtADEF中，tanE=—,

EF

/.DF=EF-tanE=30xtan48°=30x].l1=33.3,

CD=DF-CF=23.3,

因此，古树CD的高度约为23.3m.

18.（8分）济南某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校30个班

中随机抽取了4个班（用A,B,C,。表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计,

制作了两幅不完整的统计图.

请根据以上信息，回答下列问题：

（1）杨老师采用的调查方式是抽样调查（填“普查”或“抽样调查”）；

（2）请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数—.

（3）请估计全校共征集作品的件数.

（4）如果全班征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，

现要在获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰

好选取的两名学生性别相同的概率.

【解答】解：（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查.

故答案为：抽样调查.

（2）所调查的4个班征集到的作品数为:6+=24件,

360

C班有24-（4+6+4）=10件,

补全条形图如图所示，

作品（件）

扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数360。、1=150。；

24

故答案为：150。；

(3)•.•平均每个班式=6件，

4

估计全校共征集作品6x30=180件.

男2男3女1女2男1男3女1女2男1男2女1女2男1男2男3女2男1男2男3女1

•.•共有20种等可能的结果，两名学生性别相同的有8种情况，

，恰好选取的两名学生性别相同的概率为2=2.

205

19.(10分)如图，一次函数、=入+6的图象与反比例函数丫=巴的图象相交于A(-l,〃)、

X

8(2,-1)两点，与y轴相交于点C.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)请直接写出不等式依+匕＞'的解集；

X

(3)若点。与点。关于x轴对称，求A4BZ)的面积.

【解答】解：(1)把3(2,—1)代入y=',得：m=—2,

x

：.反比例函数的解析式为y=-2.

X

7

把A(—1,〃)代入y=—,得：〃=2,

x

A(-1,2),

把4一1,2)、8(2,-1)代入y=Ax+Z?,

-k+b=2

得:解得:

2k+h=-\h=1

.•・一次函数的解析式为y=-x+l；

(2)根据图象得：不等式h+。>》的解集为x<-l或0<x<2；

X

(3)由y=-x+l可知C的坐标为(0,1),

♦.•点。与点C关于x轴对称，

D(0,-1),

..CD=2,

=x

••S.BD=^MCD+^SBCD_2xl+—x2x2=3.

20.(10分)如图，/出为口。的直径，C£)_LAB于点G,E是8上一点，且BE=DE,

延长EB至点P,连接CP,使PC=P£,延长BE与口O交于点F,连接8。，FD.

(1)连接BC,求证：MCD=M)FB；

(2)求证：PC是口。的切线；

(3)若lanF=2,AG-BG=-y/3,求匹的值.

33

【解答】解：(1)证明：因为BE=DE,

所以NF8D=NC£>8,

在ABC£>和AD自8中：

ZBCD=ZDFB

ZCDB=ZFBD

BD=DB

所以ABCDsM)FB(AAS).

(2)证明：连接OC.

因为ZPEC=ZEDB+AEBD=2NEDB,

NCOB=2NEDB,

所以NCO8=NPEC,

因为PE=PC,

所以ZPEC=ZPCE,

所以NPCE=NCOB,

因为A8_LC£>于G,

所以NCO3+NOCG=90。，

所以NOCG+NPEC=90。，

即ZOCP=90°,

所以OC_LPC,

所以PC是圆O的切线.

(3)因为直径A51.弦8于G,

所以3C=SD,CG=DG,

所以4CD=NBDC,

2

因为N尸=N3C£>,tanF=-,

3

所以NtanN8cL>=2=空，

3CG

设BG=2x,则CG=3x.

连接AC,则NACB=90。，

由射影定理可知：CGPMAG-BG,

印CG29x29x

所以AG=------=——=—,

BG2x2

cn

因为AG-8G=*,

3

所以8—2x=亚，

23

解得x=亚，

3

所以BG=2x=迪，CG=3x=2>/3,

3

所以公历第=?

所以…=零

因为NEBD=NEDB=NBCD,

所以ADEB~ADBC,

所喂噬

因为C£>=2CG=4A/5,

ALDB213g

所rrr以IOE=------=——

CD9

一、填空题(本大题5个小题，每小题4分，共20分.)

21.（4分）已知。2-2〃-1=0,h2+2h-l=0,且必xl,则劭+6+1的值为3.

b

【解答】解：•••方+北一1=0,

方程两边同时除以从，再乘-1变形为夕一2[-1=0,

•/4力H1,

.*.6/和1可看作方程Y-2x-1=0的两根,

b

1个

aH—=2,

b

ab+b+\11八,「

------------=674-1H----=2+1=3・

bb

故答案为：3.

22.(4分)从-2,0,1,?,2,3这六个数中，随机抽取一个数记为。，则使关于x的

22

二次函数y=/+(3-a)x-l在x<-l的范围内y随x的增大而减小，且使关于x的分式方程

2一3=e的解为正数的。共有^个.

【解答】解：•.■关于X的二次函数y=Y+(3-0)x-l在x<-1的范围内y随x的增大而减小,

，抛物线对称轴方程X=三*=空曰，

-22

即±士.-1,

2

解得O..1,

•.•关于x的分式方程2-±*=/的解为正数，

x—33—x

/.x>0,

解分式方程，得x=6-左，

6—2a>0,

解得"3,

L,〃<3,

・・•从—2,0,1,3,2,3这六个数中，随机抽取一个数记为〃，

22

・••解分式方程，得了=6-2〃，

当。=3时，x=3,原分式方程的分母为0,

2

3

2

.•.符合条件的正数〃共有2个，为1,2.

2

故答案为：2.

23.（4分）如图，反比例函数y=K的图象经过点（一1,一2夜），点A是该图象第一象限分支

X

上的动点，连接AO并延长交另一支于点5,以他为斜边做等腰直角三角形顶点C在

第四象限，AC与x轴交于点P,连接5尸，在点A运动过程中，当8P平分NABC时，点C

的坐标是_（2,-夜）

【解答】解：•.•反比例函数y=K的图象经过点（__2夜）,

X

k——1x=25/2,

・••反比例函数为y=逑，

X

连接OC，作AA/_Lx轴于M,CN_Lx轴于N,如图所示：

则AW//C7V,ZAMO=ZONC=9Q°,

ZAOM+ZOAM=90°,

根据题意得：点A和点3关于原点对称，

OA=OB，

・.・AABC是等腰直角三角形，AB为斜边，

:.OC±AB(三线合一)，OC=-AB=OA,AC=BC,AB=及BC,

2

/.ZAOC=90°，

即ZAOM+ZCON=90°,

:.NOAM=/CON,

在△QAM和\CON中，

ZAMO=ZONC

<ZOAM=ZCON,

OA=OC

/.\OAM=/^CON(AAS),

:.OM=CNfAM=ON,

・・・8月平分NABC,

由三角形面积公式可得，—=—=

CPBC1

-AM//CN,

AMAPV2

-----=-----=—，

CNCP1

设CN=OM=x,则AM=ON=VIx,

•.・点A在反比例函数y=述上，

X

OMAM=2V2,

即x•\[lx=2戊,

解得：x=x/2,

CN=yj2,ON=2,

.•.点C的坐标为：(2,-72)；

故答案为：(2,-&).

24.(4分)如图，在RtAABC的纸片中，ZC=90°.AC=7,45=25.点。在边3c上，

以AD为折痕将折叠得到AADa,AB'与边3c交于点E.若ADE9为直角三角形,

则如的长是17或9.

【解答】解：在RtAABC中，BC=用?-AC'=,625-49=24,

(1)当N£DZT=90。时，如图1,过点夕作片尸_LAC,交AC的延长线于点F,

图1

由折叠得：AB=AB'=25,BD=BD=CF,

设M=x,则a£>=CF=x,BF=CD=24-x,

在RtAAFB，中，由勾股定理得：

(7+X)2+(24-X)2=252,

即：x2—17x=0,解得：%,=0（舍去），々=17,

因此，BD=\1.

（2）当"印=90。时，如图2,此时点E与点C重合,

由折叠得：AB^AB=25,则8c=25—7=18,

设8D=x,则B'O=x,CD=24-x,

75

在M△QCZ）中，由勾股定理得：（24-X）2+182=X2,解得：x=一,

4

因此吏.

4

故答案为：17或0.

4

25.（4分）如图，在平行四边形A8C。中，AB=2,NABC=45。，点E为射线AO上一动

点，连接3E,将3E绕点3逆时针旋转60。得到跖，连接"，则AF的最小值是

（解答］解：如图，以A3为边向下作等边AA8K,连接EK,在EK上取一点7,使得NT=TK.

・.・BE=BF,BK=BA,/EBF=ZABK=60。,

:.ZABF=ZKBE,

MLBF=AKBE(SAS)，

:,AF=EK,

根据垂线段最短可知，当KEJ_A。时，花的值最小,

・・•四边形ABCD是平行四边形，

:.AD//BC,

・・・NABC=45。，

/BAD=180°-ZABC=135°,

•・・N£4K=60。，

/.ZE4;C=75°,

•・・NAEK=90。，

.・.ZAKE=\50,

•:TA=TK,

:.ZTAK=ZAKT=\50，

：,ZATE=^TAK+ZAKT=30°，

设AE=a,则AT=7X=2z,ET=y/3a,

222

在RtAAEK中，-,-AK=AE+EK9

a2+(2a+石〃y=4,

瓜-厄

..Cl=9

2

:.EK=2a+®=^^,

2

.•・天"的最小值为®

故答案为口，I.

2

二、解答题（本大题共3个小题，共30分.解答题应写成必要的文字说明，证明过程或演

算步骤.）

26.（8分）铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀.小张购进一批食材制

作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天

（啜!k15且x为整数）时每盒成本为p元，已知口与x之间满足一次函数关系；第3天时，

每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关

系如下表所示：

第X天啜*66＜兀，15

每天的销售量）•/10x+6

盒

（1）求〃与x的函数关系式；

（2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润

最大，最大销售利润是多少元？

（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接

写出结果.

【解答】解：⑴设p=H+b（kxO）,

•.■第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，

13%+力=21

"\lk+b=25'

k=1

解得

b=18

所以，p=x+18；

(2)啜!k6时，w=10[50-(x+18)]=-10x+320,

6<x,15时，w=[50-(x+18)](x+6)=-x2+26x+192,

_J-10x+320(啜!k6)

所以,卬与x的函数关系式为"-[-x2+26x+l92(6<苍，15)

啜*6时，10<0,

W随X的增大而减小，

.•.当X=1时，卬最大为一10+320=310,

6<%,15时，w=—d+26x+192=-（x—13f+361,

.•.当x=13时，w最大为361,

综上所述，第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元;

（3）卬=325时，-x2+26x+192=325,

x2-26x+133=0,

解得玉=7,々=19,

所以，7领k15时，即第7、8、9、10、11、12、13、14、15天共9天销售利润不低于325

元.

27.（10分）问题背景

如图（1）,MBD,A4EC都是等边三角形，AA8可以由A4E8通过旋转变换得到，请写

出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小.

尝试应用

如图（2）,在RtAABC中，NACB=90。，分别以AC,AB为边，作等边AA8和等边

连接即，并延长交于点尸，连接班>.若BDLBC,求竺的值.

DE

拓展创新

如图（3）,在RtAABC中，ZACB=90°,AB=2,将线段AC绕点A顺时针旋转90。得到

线段钎，连接尸8,直接写出总的最大值.

【解答】问题背景

解：AA£C都是等边三角形，

.-.Za4D=60o.ZC4£=60°,AD=AB,AC=AE,

：.ZBAD+ABAC=Z.CAE+ABAC,

,\ZDAC=ZBAE,

:.AACD=AAEB(SAS),

AACD可以由MEB绕点A顺时针旋转60°得至U，

即旋转中心是点A,旋转方向是顺时针;旋转角是60。；

尝试应用

•・・AA8和AA&E都是等边三角形，

AC=AD,AB=AE>ZCAD=ZBAE=60°,

,\ZCAB=ZDAE,

:.^ADE^AACB(SAS)，

:.ZADE=ZACB=90°,DE=CB,

vZAD£=90°,

/.ZADF=90°,

・・・NADC=NACO=60。，

/.ZZX?F=ZCDF=30°,

:.CF=DF,

vBD±BC,

/.ZBDF=30°,

:.BF=-DF，

2

^BF=x,则C尸=。b=2x,DE=3x,

•_D_F_—_2_x——2•

DE3x3'

拓展创新

•・・NACB=90。，

.•.点。在以"为直径的圆上运动，取的中点。，连接8,

:.CD=-AB=\,

2

如图，过点A作AE_LAfi,且使AE=A。，连接PE,BE,

・・・将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，

ZB4C=90°,PA=AC,

vZE4D=90°,

:.ZPAE=ZCAD,

:.^CAD^^PAE(SAS)，

:.PE=CD=\,

\*AB=29AE=AD=1,

BE=4AE-+AB2=Ji?+2?=75,

BP„BE+PE=y/5+\