高中数学解题思想方法(函数与方程思想方法)

十、函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的观点和性质去剖析问题、转变问题和解决问题。方程思想，是从问题的数目关系下手，运用数学语言将问题中的条件转变为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混淆组），而后经过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的相互转变、接轨，达到解决问题的目的。Ⅰ、再现性题组：方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____。A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)2.假如函数f(x)＝x2＋bx＋c对于随意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。A.f(2)<f(1)<f(4)B.f(1)<f(2)<f(4)C.f(2)<f(4)<f(1)D.f(4)<f(2)<f(1)3.已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a(a是常数)______。A.有且仅有一个实根B.至多一个实根C.起码一个实根D.不一样于以上结论已知sinθ＋cosθ＝1，θ∈(π，π)，则tgθ的值是_____。A.－45－3243B.C.D.34p34≠q，p、q∈N)，则Spq＝_________。5.已知等差数列的前n项和为Sn，且S＝Sq(p6.对于x的方程sin2x＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________。7.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为___________。8.建筑一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，假如池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。Ⅱ、示范性题组：例1.设a>0，a≠1，试求方程loga(x－ak)＝loga2(x2－a2)有实数解的k的范围。(xx全国高考)【解】将原方程化为：loga(x－ak)＝logax2a2，等价于xak0（a>0,a≠1）xakx2a2∴k＝x－(x21(|x|>1）,a)aa设x＝cscθ，θ∈(－π,0)∪(0,π)，则k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ|a22当θ∈(－π,0)时，f(θ)＝cscθ＋ctgθ＝ctgθ<－1，故k<－1；22当θ∈(0,π)时，f(θ)＝2综上，k的取值范围是【注】引入新的变量，而用函数值域加以剖析，此法可解相关不等式、方程、最值、参数范围之类问题。（分别参数法、三角换元法、等价转变思想）【另解】（数形联合法）：【再解】（方程议论法）：例2.设不等式2x－1>m(x2－1)对知足|m|≤2的一确实数m的取值都成立。求x的取值范围。【剖析】此问题因为常有的思想定势，易把它当作对于x的不等式议论。但是，若变换一个角度以m为变量，记f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，则问题转变为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在[-2,2]内恒负时参数x应知足的条件。【解】设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1),则f(2)2(x21)(2x1)02(x2f(2)1)(2x1)0解得x∈（71,31）22【注】此题有别于对于x的不等式2x－1>m(x2－1)的解集是[-2,2]时求m的值、对于x的不等式2x－1>m(x2－1)在[-2,2]

上恒成即刻求

m的范围。在一个含有多个变量的数学识题中，确立适合的变量和参数，进而揭露函数关系，使问题更明亮化。例3.设等差数列{an}的前n项的和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0。①.求公差d的取值范围；②.指出S1、S2、、S12中哪一个值最大，并说明原因。(xx【剖析】①问用an、Sn易求；②问利用Sn是n的二次函数而求什么时候取最大值。【解】

全国高考)【注】数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，所以可利用函数思想来剖析或用函数方法来解决数列问题。【另解②问】（追求an>0、an1<0）：例4.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。【剖析】异面直线PB和AC的距离可当作求直线PB上随意一点到AC的距离的最小值，进而设定变量，成立目标函数而求函数最小值。【解】在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，P设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD。∴MD2＝x2＋[(2r－x)sinθ]2＝(sin2＋1)x2－4rsin2θx＋4r2sin2θM＝(sin2θ＋1)[x－2rsin2θ]2＋4r2sin2θAHBDC1sin2θ1sin2θ即当x＝2rsin2θ时，MD取最小值2rsinθ为两异面直线的距离。1sin2θ12θsin【注】求最大值、最小值的实质问题，将文字说明转变成数学语言后，成立数学模型和函数关系式，利用函数性质、重要不等式和相关知识解答。（见再现性题组第8题）例5.已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tgA·tgC＝2＋3，又知极点C的对边c上的高等于43,求△ABC的三边a、b、c及三内角。【解】由A、B、C成等差数列，可得B＝60°；由△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgA·tgB·tgC，得tgA＋tgC＝tgB(tgA·tgC－1)＝3(1＋3)设tgA、tgC是方程x2－(3＋3)x＋2＋3＝0的两根，解得x1＝1，x2＝2＋3设A<C，则tgA＝1，tgC＝2＋3，∴A＝π，C＝5π412例6.若(z－x)2－4(x－y)(y－z)＝0,求证：x、y、z成等差数列。【剖析】题设正好是鉴别式b2－4ac＝0的形式，所以结构一个一元二次方程求解。【证明】当x＝y时，可得x＝z，∴x、y、z成等差数列；当x≠y时，设方程(x－y)t2－(z－x)t＋(y－z)＝0，由△＝0得t＝t，并易知t＝1是方程的根。12∴t1·t2＝yz＝1，即2y＝x＋z，∴x、y、z成等差数列xy【注】题设条件具备或经变形整理后具备x1＋x2＝a、x1·x2＝b的形式，则利用根与系数的关系结构方程；具备b2－4ac≥0或b2－4ac≤0的形式，可利用根的鉴别式结构一元二次方程。例7.△ABC中，求证：cosA·cosB·cosC≤1。8【证明】设k＝cosA·cosB·cosC＝1[cos(A＋B)＋cos(A－B)]·cosC＝1[－cosC＋cos(A－B)]cosC22整理得：cos2C－cos(A－B)·cosC＋2k＝0，即看作对于cosC的一元二次方程。∴△＝cos2(A－B)－8k≥0即8k≤cos2(A－B)≤1∴k≤1即cosA·cosB·cosC≤188【注】既是方程思想，也属鉴别式法。还可用放缩法：cosA·cosB·cosC＝＝－1cos2C＋1cos(A－B)·cosC＝－1[cosC－cos(AB)]2＋1cos2(A－B)≤1cos2(A－B)222288例8.设f(x)＝lg12x4xa，假如当x∈(-∞,1]时f(x)存心义，务实数a的取值范围。31)2x＋(1)x＋a>0【解】由题可知，不等式1＋2x＋4xa>0在x∈(-∞,1]上恒成立，即：(22设t＝(1)x,则t≥1，又设g(t)＝t2＋t＋a，其对称轴为t＝－1222∴t2＋t＋a＝0在[1,+∞)上无实根，即g(1)＝(1)2＋1＋a>0，得a>－322224【注】二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者是密切联系的。也可用分别参数法：Ⅲ、稳固性题组：1.方程sin2x＝sinx在区间(0,2π)内解的个数是_____。A.1B.2C.3D.42.已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则_____。A.a<0,b<0,c>0B.a<0,b>0,c>0C.2a<2cD.2a＋2c<23.已知函数f(x)＝loga(x2－4x＋8)，x∈[0,2]的最大值为－2，则a＝_____。A.1B.1C.2D.41824已知{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝18，a2＋a3＋a4＝－9，Sn＝a1＋a2＋＋an，那么limSn等于_____。n→∞等差数列{an}中，a4＝84，前n项和为Sn,已知S9>0，S10<0，则当n＝______时，Sn最大。对于知足0≤p≤4的全部实数p，使不等式x2＋px〉4x＋p－3成立的x的取值范围是________。7.若对于x的方程|x2－6x＋8|＝a恰有两个不等实根，则实数a的取值范围是____________。8.已知点A(0,1)、B(2,3)及抛物线y＝x2＋mx＋2，若抛物线与线段AB订交于两点，务实数m的取值范围。已知实数x、y、z知足等式x＋y＋z＝5和xy＋yz＋zx＝3,试求z的取值范围。已知lg2a－4·lga·lgb＝0，求证：b是a、c的等比中项。cbc设α、β、γ均为锐角，且cos2α＋cos2β＋cos2γ＋2cosα·cosβ·cosγ＝1，求证：α＋β＋γ＝π。12.当p为什么值时，曲线y2＝2px(p>0)与椭圆1(x―2―p)2＋y2＝1有四个交点。(xx全国高考)2已知对于x的实系数二次方程x2＋ax＋b＝0有两个实数根α、β。证明：①.假如|α|<2，|β|<2