最优化理论与方法-牛顿法

PAGEPAGE5牛顿法牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。结合着matlab可以对其进行应用，求解方程。牛顿迭代法（Newton’smethod）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphsonmethod）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor展开，并将其极小化。牛顿法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。牛顿法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。牛顿法的几何解释：方程的根可解释为曲线与轴的焦点的横坐标。如下图：设是根的某个近似值，过曲线上横坐标为的点引切线，并将该切线与轴的交点的横坐标作为的新的近似值。鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。2牛顿迭代公式：（1）最速下降法：以负梯度方向作为极小化算法的下降方向，也称为梯度法。设函数在附近连续可微，且。由泰勒展开式：（*）可知，若记为，则满足的方向是下降方向。当取定后，的值越小，即的值越大，函数下降的越快。由Cauchy-Schwartz不等式：，故当且仅当时，最小，从而称是最速下降方向。最速下降法的迭代格式为：。（2）牛顿法：设是二次可微实函数，，Hesse矩阵正定。在附近用二次Taylor展开近似，，为的二次近似。将上式右边极小化，便得：，这就是牛顿法的迭代公式。在这个公式里，步长因子。令，则上式也可写成：显然，牛顿法也可以看成在椭球范数下的最速下降法。事实上，对于，是极小化问题的解。该极小化问题依赖于所取的范数，当采取范数时，，所得方法为最速下降法。当采用椭球范数时，，所得方法即为牛顿法。对于正定二次函数，牛顿法一步即可达到最优解。而对于非二次函数，牛顿法并不能保证有限次迭代求得最优解，但由于目标函数在极小点附近近似于二次函数，故当初始点靠近极小点时，牛顿法的收敛速度一般是快的。牛顿法收敛定理：设，充分靠近，，如果正定，且Hesse矩阵满足Lipschitz条件，即存在，使得对所有i,j，有：，其中是Hesse矩阵的元素，则对一切k，牛顿迭代公式有意义，且所得序列收敛到，并且具有二阶收敛速度。在实际求解中，当初始点远离最优解时，Hesse矩阵不一定正定。牛顿方向不一定是下降方向，其收敛性不能保证。这说明恒取步长因子为1的牛顿法是不合适的，应该在牛顿法中采用某种一维搜索来确定步长因子。但是应该强调，仅当步长因子收敛到1时，牛顿法才是二阶收敛的。这时牛顿法的迭代公式为：，其中是一维搜索产生的步长因子。带步长因子的牛顿法步1选取初始数据，取初始点，终止误差，令。步2计算。若，停止迭代，输出，否则进行步3.步3解方程组构造牛顿方向，即解，求出。步4进行一维搜索，求使得，令转步2牛顿法的计算步骤：步骤1准备选定初始近似值，计算，。步骤2迭代按公式：迭代一次，得新的近似值，，。步骤3控制如果满足，或，则终止迭代，以作为所求的根；否则转步骤4.此处，是允许误差，而：其中C是取绝对误差或相对误差的控制常数，一般可取。步骤4修改如果迭代次数达到预先制定的次数N，或者，则方法失败；否则以代替，转步骤2继续迭代。4牛顿法的改进在优化问题的计算中，牛顿迭代法是非线性方程求根中一种很实用的方法，它具有简单的迭代格式和较快的收敛速度，它二次收敛到单根，线性收敛到重根。数值计算中的经典牛顿法面临的主要问题是Hesse矩阵不正定，这时候二次模型不一定有极小点，甚至没有平稳点。当不定时，二次模型函数是无界的。Goldstein和Price（1967）提出当非正定时，采用最速下降方向。Goldfeld等人（1966年）提出了一种修正方法，即使牛顿方向偏向最速下降方向。更明确的说，就是将模型的Hesse矩阵改变成，其中，使得正定。该算法的框架如下：给出初始点。第k步迭代为：（1）令，其中：，如果正定；否则。（2）计算的Cholesky分解，。（3）解得。（4）令牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算，计算量较大且有时计算较困难，二是初始近似值只在根附近才能保证收敛，如给的不合适可能不收敛。为克服这两个缺点，通常可以下述两个方法：（1）简化牛顿法，也称平行弦法。其迭代公式为，迭代函数。（2）牛顿下山法：牛顿法的收敛性依赖于初始值的选取。如果偏离所求根较远，则牛顿法可能发散。为防止迭代发散，对迭代过程再附加一项要求，即具有单调性：满足这项要求的算法称下山