数学建模题参考文献15篇

目摘要 引 一、交通问题中数学模型的分 1、数学微分模 2、动力学模 二、基于元胞自动机理论模型及其模拟研 1、交通流元胞自动机模型概 FI模 2、交通流元胞自动机模 数值模 结 三、小 四、参考文 交通问题中的数学模型的分类与研（石河子大学师范学院数学系摘要：本课题对以往交通问题中的数学模型进行分类总结，然后着重分析每种方法比如动力学模：交通流数学模型分类引言：随着我国开放的不断深入，城乡经济的进一步繁荣，城市规模的日益扩大，城市交通通系统通需求与交通供给之间的内在作用规律，探究新的解决途径，为城市交通的良好运作与1、数学微分交通流的基本函数在公选定一个坐标原点，记作x0。以车流运动方向作为x轴的正向，于是公任一点用坐标x表示。对于每一时刻t和每一点x，引入3个基本函数：流量q(x,密度(x

时刻tx的车辆数；时刻tx处单位长度内的车辆数；速度u(x, 时刻t通过点x的车流速度速度u(xt不表示固定的哪一辆汽车的速度。q(x,t)u(x,t)(x,

u(xt(xt

0时

（最大值m（最大值）时u0。如果简化假设u的线性函数，则有：uum(1

再由q(xt)u(xt)(xt)qum(1

m22

mm值qm 流量q（2（3）相同，公各处的车流密度相同连续交通流方将交通流类比于流体，假定q(xt(xt和u(xt)x和t的连续、可微函数，并b由积分知道，时刻t，区间a,b内的车辆数为(xt)dx，单位时间内通过a，ba的流量q(at)和q(btdaq(at)q(bt)dt(xt)dx x的连续性。a（4）baq(a,t)q(b,t)xq(x,adt db(x,t)dxb(x,dt 所以（4）b a dxa由于区间a,b是任意的，所以有+q

d也是已知函数，记作，于是按照求导法则qdq. d 这样，方程(5)()0,()

dq,t0,x

d

其中f(x)是初始密度。方程（6）的解(x,t)描述了任意时刻公各处的车流分布情况，再由q()即可得到流量函数q(xt)。（6）(x(t),t)f(x0x(t)(f(x0))tx0,x0

（7（8）（6(x(tt)f(x0)对t求导有：ddx

xx(t)(f(x0))tx0x0x(0对tdx(f(x)) 将（7）dx(（6（7（8）t（7（在Oxt平面上（8）x轴的交t当函数f给定后，kx0改变。这族直线成为xx(t(xtf(x0，当然在不同特征线上(xt)随着x0不同而不同

x0 间断交通流方(x,t)间断点,t在txst)并假定它是可微的。在任意时刻txxs(tx轴上是孤立的，取区间a,b，使axs(tb。在内交通流方程的积分形式（4）仍然成立。将a,b分为两个区间axst和xstb，(xt是连续、可微的，于是有：q(a,t)q(b,t)dxs(t)(x,t)dxb

(x,dt

xs(t xs(t)dx(x(t),t)dxs dx(x(t),t)

x(t

s sxtxtx(tx(t (xt和q(xt) xt,t,xt,tqqxt,t,qqxt, 和qxs,qq当axtbxt（11）

xs(t)dx=0，

sdx=0（12（13）s q

x(t)dxs

这就是间断线xxs(t应满足的方程，其中和

xs (x,(x,

(xtxs(t应用范围该模型适用于研究一维单车道交通流，即研究对象是无穷长公沿单向流动的模型优缺点2、动力学模交通问题中的研究对象如车辆和人都是不连续的，车流运动也有很大的随机性和不确定性，用非线性的离散模型来刻划交通现象，这在交通研究的方法上是一个创新。车辆行驶的加速惯性跟驰等均可以通过元胞的速度变化规则来详细刻划，从而把交通流的变化规律转化为元胞的演变规则加以研究。动力学交通流模型研究进30J.P.Kinzer50L。A。Pipes首次提出跟驰模型；1955，M.J.Lighthill，J.B.WhitbamP.I.RichardsLWR2070，H.J.PayneI.Prigogine和R.Herman运用气体动理论提出了交通流气体动理论模型。在非线性科学和复杂科学的推动下，K。NagelM。SchreckenbergNSO.Biham，A.Aiddleton和D.LevineBML交通流的流体力学模(xtv(xt)q(xt)LWRPayneLWR散过程。但是，LWR“式交通阻塞交通迟滞等延续LWR模型的思想并考虑交通流速度动态变化，在连续性方程的同时，引进动力学方程，Payne建立了如下两个方程构成的阶连续模型—Paynet(u)x

uuuv1V()

式的右边第一项为期望项，v为期望指数，反映驾驶员对前方交通状态改变的反应过程；第二项式驰豫项，描述车辆速度在弛豫时间T内向平衡速度的调整；最优速度函数V()和其他参数一般通过对所的道路实测和参数辨识来确定。模型优缺点：Payne模型允许速度偏离平衡速度密度关系，较之LWR模型能更准确交通流的气体动力论模PrigogineHermanBoltzmann通过对Boltzmann方程逐级求解，就可以得到宏观交通流的连续模型。最初的Prigogine-Herman础上，先后提出了许多改进模型，其中Helbing模型最为成功。Helbing在考虑了车辆fBoltzmannf(vf)

V

2(

(f )

(1P)(r,t)[dw(wv)d2(w,v)

dw(vw)d2(v,

02其中vwvDP为超车概d02VV

1P1V()V PP(x,t)V(x,t)(x,,(xt)是速度方差，Ve()是车辆在驰骋时间内趋近的动态平衡速度。与其他模型相VV(

)1

max)1a/

B(v)模型优缺点：Helbing模型的数值模拟表明该模型能够描述由匝道引起的各种交通模型应用HelbingMAS-TER具有计算速度快、交通流的跟驰xn,vnxn,vnxnfstivn

xnxn1xn，相对速度(速度差)

vnvn1vn集中在基于Bando等人优化速度模型上，该模型的一般形式nv(t)Vn

xn(t)其中是犹豫时间，优化速度Vx(tx(t))vn2tanh(xh)

xn(t))c

xn0

xn时，V

xnvmax型的稳定性条件是V'(h21/Bandov)2nBurgers方程描述的密度波，类似KdV方程所描述的孤立波和交通阻塞所呈现的扭结一反扭结(kink-antikink)密度波。v)2n v

s(vva(n)1n

0 a(v)a(n)1

/v(n) 以及第n辆车接近前辆车的趋势bs,v,va(n)s/s 其中v为前车与后车的速度差（接近速度s为车间距，s sa

T(n)v02vn02vn1n0lbing模观的连续模型—lbing模型。元胞自动机模流(flow)、大范围移动阻塞(widemovingjams)和同步流(synchronizedflow)，(meta-stablestates)(hysteresiseffect)、排队消散(toondispersion)等，传统模型对此难以解释。另一方面，真实交通系统有结构简单、计算迅速的交通流模型。目前基于元胞自动机(CellularAutomata，CA)CA应用，CremerCACA的系统，用来揭示系统的本质规律。另外，CA流元胞自动机((CellularAutomata，简称CA)是一时间和空间都离散的动力系统。散布A、规整的元胞网格覆盖 的一部分Br(r,t)1(r,t给出每个元胞在时间t0,1C：演化规则RR1,

Rm按下列方式指定状态(r,t)的时间演化过程j(r,t1)Rj(r,t), 式中rk指定从属于元胞r从定义中可知，演化规则R的每个元胞，由此得到同步动力学。同时，时间的状t1态只随时间t而变化，这就要求对状态进行长期，并引入对时间t1,t tk等的状态的相邻居邻居元邻居邻居邻居邻居邻邻居邻居元邻居邻居邻居邻居邻邻居元邻居邻居邻bb1aabb1aaa周期边 固定边aaaabb每个元宝在确定的时间t有两种可能的状态Si01（i代表元胞则时间t1si只决定于时间t的三元组Si1SiSi1：Si(t1(Si1(tSi(tSi1)(tR2561、交通流元胞自动机模型辆跟驰理论和元胞自动机模型等。交通流元胞自动机模型是20世纪90年代发一维交通流元胞自动机模3-3184模型两次时步的交通流。常用的一维元胞自动机模型为NS和FI模型及其以两种模型为基础的改进模NS模型及其改进模NS模型是典型的一维单车道交通流CA模型，适用于模拟高速公路交通流与早期CA模型简nL

vmaxvmax5长度/s；1s；70、1、2、3、45NS4（1）加速规则：如果v(tvmax则v(t1min(vmaxv1（2）规则：v(t)gap，则v(t1)gappv(t1)max(v(t110x(t1)x(tv(t1gapx表示车辆的位置。因为t1s，所以vtv。CA模型优缺点NS(1)程形象地现出车流运动象波一样在车队中的(2)状态——拥挤状态和非拥挤状态。NS模型是最简单的一维交通流CA模型，仅4条规则就可以表现出交通流的最基本NS度曲线具有不连续性。为此一些学者对NS模型做了改进，并使用统计物理学中的亚稳态(metastability)和滞后(hysteresis)等概念来解释这种不连续现象。研究表明，NS的随机加速概率，而且随机加速、概率将根据车速的不同而变化，即pp(v(t))恒速控制模（1）加速规则：如果v(tvmax则v(t1min(vmaxv1。（2）规则：v(t)gap，则v(t1)gap

vv(t1)max(v(t1)1,0)，p v

，其中 0,pvv x(t1)x(tv(t1这就意味着当vvmax，只要前方有空位，车辆就将以vmaxNS那样要在随机概率p影响下以vmax1的速度运动，因此这种模型被称为NS模型的慢起动的车辆采用慢起动规则，而对其他速度的车辆均以相同的概率。以下是3种不同的慢起动模型。Takaysu和Takaysu最早在元胞自动机模型中引入慢起动规则，这种模型TTTTNSBenjaminJohnson和HuiBJH模型与TT模型相近都是在车辆的加速规则Barlovic等人明确提出随机概率是速度的函数，即pp(t)，而且应在执行规则(1)VDRVDR（1）加速规则：如果v(tvmax则v(t1min(vmaxv1（2）规则：v(t)gap，则v(t1)gap v（3）v(t1)max(v(t1)1,0)，p v

p0p x(t1)x(tv(t1考虑前车车速的改进NSWerth、Froese和Wolf建立了考虑前车车速的改进模型(WFW模型)，该模型包含5（1）

v(1t1minv(t1 规则：v(2)(t)minv(1)(t1),gap(t) （3）pv(3(t1maxv(2(t110 规则：v(4)(t1)minv(3)(t1),gap (4)(t 车辆运动x(t1x(tv(4t1v(t1v 模型优缺点：在NS模型基础上，考虑了驾驶员可以根据前车速度来确定自己车辆基于时间的CA模一项改进措施：引入一个新的参数

NS如果vgaptH且vvmaxpac下vv1如果vgap，则vgap如果vgaptH且v0pdc下vv1xxv使用范围：该模型适用于在单车道车流量较密集的交通流模拟模型优缺点：对驾驶员的直观距离判断能力要求较高，随机概率PacPdc在不同NSFI模FI模型是由学者Fukui和Ishibashi。在FI模型中，演化规则gap大于车辆的最大速度vmaxvmax前进；gapvmaxvvmax；gapgap。gapvmaxvgap；根据随机规则，vi(t)表示第i辆车的行驶速度，当车辆能够以最大速度vmax进时，它将以概率p从vmax为vmax1。即vvmax时，vvmax1p

vi(t)

v(t1)max0,v v(t)

模型优缺点：FI模型与NS模型的区别在于加速方式和随机方式不同。在v小于最大速度vmaxv1FI模型中，只要车速v小于最大速度vmax，则车辆就可能加速到

2、交通流元胞自动机模元胞参数定元胞长在CA模型中，首先定义一个一维点阵来代表一条单车道，即将所研究的单车道分成n个长度为L的小路段(元胞)，该点阵中每个位置或空闲或容纳一辆车。其中，定义L位置的状态有7种，分别是：位置空闲和该位置处车辆速度分别为0，1，2，3，4，5元通过缩小元胞长度能够获得较小的加速度值。考虑到城市道车辆阻塞密度一般120125pcukm1/4(若kj=125pcukm头间距为8m)，对城市道路来说一个元胞长度即为2m。于是路段上每4个连续的元胞容纳一辆车，在某一时刻t4最大速vmax安全考虑，都规定了车辆的最大行驶速度，我国城市道路的限速是80kmh()。为了减少过程中的问题，本文仅取最大速度为5ms。由于每个元胞长度为2mvmax2.5最大加速度和最大由道路的路面附着系数(静摩擦系数)r来决定。在平直、干燥的柏油路面上(路面附、系数约为0.8)，车辆能够达到的最大加度为、

amax对元胞长度的取值， 相当于4元胞长度/秒2，加速度范围amax更新时间间

更新时间间隔取为t1s边界条CA元胞自动机规把一列正在行驶的车辆从小到大排序，第nn-11stxn(ttvn(t)t时刻本车的速度(元胞长度/秒na(ttnxn1(ttvn1(ttgapn(ttgapn(t)xn1(txn(t4为方便起见，本车在 t1时段内行驶的距离记为vn(t)1秒=vn(t)，速度变化记an(t1an(t道所有车辆的状态同时按下述的元胞自动机规则变化(1)在t时刻，若vn(tgapn(t，则车辆加速行驶。其中：gapn(tvn(t)4，则an(t)gapn(tvn(t；gapn(tvn(t4，则an(t4；gapn(t)vmax，则an(t)0。(2)规在t时刻，若vn(t)gapn(t)，则车辆行驶。其中：gapn(tvn(t)4，则an(t)gapn(tvn(t；gapn(tvn(t4，则an(t4n在t时刻已知本车的加速度是a(t)设前车的加速度是最大度(-4cell/s2)，那么在t1时刻：n如果vn(t1gapn(t1，则本车的加速度依然取an(t如果vn(t1gapn(t1，则本车的加速度取an(t

vn(t1gapn(t1，一直到vn(t1gapn(t1为止。此时得到的an(tNv(t)gapNv(t)gapYanYnnN规则求a按按加速规则求a按加速规则求a按规则求a按加速规则求a按规则求a按加速规则求a按规则求a按加速规则求按加速规则求a按规则求a按加速规则求a按规则求a按加速规则求a按规则求a按加速规则求a按规则求a按加速规则求a按规则求a按加速规则求a按规则求a按加速规则求a按规则求a按加速规则求a按规则求a按加速规则求a按规则求a按加速规则求a按规则求a按加速规则求a按规则求a按加速规则求a按规则求a按加速规则求a按规则求a按加速规则求a按加速规则求a按规则求a按规则求aYNa4,0，且使修正后的加速度加上不小于最大度vn(t1)vn(t)an(t)xn(t1)xn(t)vn(t数值模

L=5002m1000m，500界条件，最大速度vmax=5m/sNN/L；v

1nv；nvN车流量：v数值模拟时，在模拟运行的开始一段时间，车辆的运行状况与车辆的初始分布有1000车流密度为0.1的位车流密度为0.1的位空间位置车流密度为0.1的位置时空斑图位置，即stop=N/2处，红灯持续时间为20秒。规则不变，通过模拟得到如红绿灯下车红绿灯下车流密度为0.1的位置时空斑间红绿灯下车流密度为0.1的位置时空斑间间间 度车流密车流密度

3

车流密红灯绿下车流密度--车流量演4结果分10.1时车辆位置分越小，车辆速度迅速减小，道路通行能力随之下降，这时车辆已经不太可能自由运动，有些区域出现了车辆停滞的堵塞相，呈现了高速公路实际交通流中观察到的启动-停车灯左右侧车辆分布均匀，有较好的线性关系，并且较之图1可以发现，当经过红绿灯后10.4时空斑图可以发现，当车流密度较大对比图3红绿灯时在0.2时出现，这也就解释了安装红绿灯后会迫使汽车提前，为减少0.20.3时出现，也就是车流量可以达到一个最大00.20.3结本小节在基于元胞自动机NS模型下采用周期边界条件，模拟在道适当位置排队模型，也有现阶段不断在研究上实现突破的元胞自动机模型。：王仲军、.元胞自动机的演化行为与研究.计算机应用与研究,：贺明锋、.数学的实践与认识：金小刚.基于的元胞自动机的仿真设计《数学模型》第三版，、谢金星、：..城市道路交通供给能力研究-应用基础与工程科学学报：.陈金川.郭继孚.城市交通模型锦集.城市交通：李杰,强.交通流理论中几个概念的重新定义.交通与计算机：牟勇飚、李芸.元胞自动机交通流模型中概率的影响，交通与计算机2006：、薛郁气、孔令江.城市道路交通问题与交通流模型.力学与实践：、陈金川、郭继孚.四层次综合交