江苏省常州市教科院附属高级中学2022-2023学年高一上学期期末模拟数学试题B卷2

常州市教科院附属高级中学期末水平监测高一数学命题人：钱程汪彩虹一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知A、B均为R的子集，且，则=（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合Venn图可得答案.【详解】如图，阴影部分为集合，且，则.故选：D.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式和绝对值不等式的解法，求出对应不等式的解集，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由得或，由得或，则由或，能推出或，故充分性成立；由或，不能推出或，故必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3.王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼.诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远"的哲理，因此成为千古名句，我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径R=6371km，如图，设O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置(人的高度忽略不计)，按每层楼高3m计算，“欲穷千里目”即弧的长度为500km，则需要登上楼的层数约为（）（参考数据：，，）A.5800 B.6000 C.6600 D.7000【答案】C【解析】【分析】根据弧长公式可求得即的大小，在中，即可求得的大小.【详解】O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置，的长度为km，令，则，∵，，，∴，又，所以按每层楼高m计算，需要登上6600层楼.故选：C.4.用二分法求函数在区间上的零点，需求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】原来区间的长度等于2，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，利用这一特征进行计算判断.【详解】区间的长度等于2，每经过一次二分区间的操作，区间长度变为原来的一半，经过此操作后，区间长度变为，∵用二分法求函数在区间上的零点，需求精确度为0.01，由，解得.故选：D．5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，与的大小关系，由此可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，，所以，函数为奇函数，排除B选项；当时，，则，排除D选项；，，则，所以，函数在上不是减函数，排除A选项.故选：C.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.6.已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是单调递增，若，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的单调性，结合对数函数和指数函数的单调性进行判断即可.【详解】，，因为函数是定义在R上的偶函数，且在上是单调递增，所以函数在上单调递减，因为函数是定义在R上的偶函数，所以，因为，所以，故选：A7.定义：正割，余割，已知为正实数，且对任意的实数x恒成立，则的最小值是（）A.1 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】先将原不等式化简，再利用均值不等式求最值即可.【详解】由已知得，即，因为，所以，则，当且仅当时等号成立，故.故选：C8.定义在上的奇函数满足，且当时，，则方程在上所有根的和为（）A.32 B.48 C.64 D.80【答案】C【解析】【分析】根据奇函数的性质判断出函数的周期，利用函数的对称性、数形结合思想进行求解即可.【详解】因为是奇函数，所以由，因此函数的周期为，当时，，所以当时，，当时，由，所以，所以当时，，于是当时，，该函数关于点对称，而函数也关于该点对称，在同一直角坐标系内图象如下图所示：由数形结合思想可知：这两个函数图象有8个交点，即共有四对关于对称的点，所以方程在上所有根的和为，故选：C【点睛】关键点睛：方程根的问题转化为两个函数图象交点问题是解题的关键.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列命题正确的是（）A.命题“”的否定是“”B.若幂函数的图象与坐标轴无公共点，则m的值为2C.函数恒过定点(3，2)D.若函数的两个零点都大于1，则a的取值范围是【答案】BC【解析】【分析】对于A：根据特称量词的否定即可求解；对于B：根据幂函数的定义及单调性即可求解；对于C：根据对数函数定义即可求解；定义D：根据一元二次方程的判别式，零点的定义即可求解.【详解】对于A：命题“”的否定是“”，故选项A错误；对于B：是幂函数，，解得，当时，，此时与坐标轴有公共点；当时，，此时与坐标轴无公共点；所以.故选项B正确；对于C：令，解得，，所以恒过定点(3，2).故选项C正确；对于D：因为的两个零点都大于1，所以,即，解得，所以a的取值范围是，故选项D错误；故选：BC.10.已知函数的最小值为，则的可能取值是（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】AB【解析】【分析】根据二次函数的单调性、对钩函数的单调性，结合最小值的性质进行求解判断即可.【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，函数，，对称轴为，当时，当时，，要想函数的最小值为，只需，即，显然选项AB符合，当时，当时，，显然不是，综上所述：只有选项AB符合条件，故选：AB11.已知函数的部分图像如图所示，则下列选项中正确的有（）A.B.是的最小值C.在区间上的值域为D.把函数图像上所有点向右平移个单位长度，可得到函数图像【答案】ABD【解析】【分析】由函数图像给出的条件，通过最小正周期计算，由图像上的点计算，可求函数解析式，进而利用正弦函数的性质即可得出结论，【详解】由题意，函数最小正周期，，选项A正确；函数图像过点，可得，即，由，解得，可得.，B选项正确；当时，有，则，可得，C选项错误；把函数图像上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图像，D选项正确.故选：ABD．12.已知，则下列选项中正确的有（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】由题意可知，，作倒数比较可判断A；由可得，结合基本不等式可判断选项BC；利用对数运算结合基本不等式的应用即可判断选项D.【详解】，，，，，，即，故A正确；，，又，，，，故B错；由选项B可知，故C错；，又，，且，，又，，故D正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的定义域为______________.【答案】【解析】【分析】由函数有意义需要满足的条件，解出函数定义域.【详解】函数有意义，则有，解得且，所以函数定义域为.故答案为：14.半径为2cm，面积为1cm2的扇形的圆心角为_________度.【答案】【解析】【分析】根据扇形的面积公式，列方程求出圆心角的弧度数，再化为角度.【详解】扇形的半径为，面积为，由扇形的面积公式，则扇形的圆心角的弧度数满足，解得，化为角度制，.故答案为：15.已知是方程的两根，且，则的值等于______________.【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数关系，结合两角和的正切公式进行求解即可.【详解】已知是方程的两根，所以有，，因为，所以，故答案为：16.常州环球港摩天轮被誉为“龙眼”，是国内最高的屋顶摩天轮.如图所示，该摩天轮直径88米，最高点距离地面120米，相当于40层楼高.摩天轮采用放射辐条式，共有48个轿厢，一次可供192人观光，逆时针运转一圈需要18分钟.若游客在距离地面至少98米的高度能够获得俯瞰常州市美景的最佳视觉效果，那么摩天轮转动一周中能有______________分钟会有这种最佳视觉效果.【答案】6【解析】【分析】设摩天轮转动t分钟时游客的高度为h米，由题意求周期，进而列出函数解析式，则满足题意的最佳视觉效果时，化简利用范围即可得出t的范围，即可得出答案.【详解】设摩天轮转动t分钟时游客的高度为h米，摩天轮逆时针运转一圈需要18分钟，则轿厢每分钟旋转角为，由题意得：，若游客在距离地面至少98米的高度能够获得俯瞰常州市美景的最佳视觉效果，则当时能够获得俯瞰常州市美景的最佳视觉效果，化简为，，，解得，即，则摩天轮转动一周中能有6分钟会有这种最佳视觉效果，故答案为：6.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设函数，.（1）若，设的解集为A，求；（2）若对恒成立，则求实数k的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求解一元二次不等式，根据集合的运算法则即可求解；（2）分离参数，利用基本不等式即可求解.【小问1详解】根据题意，若，则，即，解得：或，即或，由得且，解得：，即，，所以【小问2详解】因为，所以令，若对恒成立，即化简为对恒成立令，只需，，当且仅当即时成立，所以，因此,所以实数k的取值范围为：.18.计算：（1）；（2）化简：；（3）已知，求的值.【答案】（1）（2）（3）1【解析】【分析】（1）利用对数式和指数式的运算规则化简即可；（2）利用诱导公式和倍角公式化简；（3）利用倍角公式和同角三角函数的关系化简.【小问1详解】【小问2详解】【小问3详解】由，得，所以.19.已知函数.（1）当时，①求函数的图像的对称轴方程和对称中心的坐标；②求函数在上的最值；（2）若当，的最大值为2，求的值.【答案】（1）①对称轴方程为，对称中心为；②，.（2）-1或2【解析】【分析】（1）辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求函数图像的对称轴方程和对称中心的坐标及区间内的最值；（2）整体代入法求函数最大值，由最大值求的值.【小问1详解】，当时，.①令，解得对称轴方程.令，解得对称中心为.②若，则，当，即时，，当，即时，.【小问2详解】由，，，当，，，当，，，所以的值为-1或2.20.常州在中国工业大奖和工业强基工程项目双双位列全国地级市第一，已知常州某零件装备生产企业2023年的固定成本为2500万元，每生产100x件零件，需另投资(单位：万元)，经计算与市场评估得，调查发现，零件装备售价5万元，且全年内生产的零件装备当年能全部销售完(其中).（1）预测出2023年的利润(单位：万元)的函数表达式(利润=销售额—成本)；（2）当2023年装备产量为多少时，常州该企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）（2）当2023年生产100辆时，该企业获得的利润最大，最大利润为1800万元【解析】【分析】（1）利用题中给定分段函数即可求解；（2）利用基本不等式即可求解.【小问1详解】根据题意，当时，；当时，；故；【小问2详解】根据题意，当时，，当时，；当时，，当且仅当时等号成立，则有；由，故；故当时，即当2023年生产100辆时，该企业获得的利润最大，最大利润为1800万元.21.若，已知函数为奇函数.（1）求实数的值，并证明的单调性；（2）函数在区间上的值域是，求k取值范围.【答案】（1），在上单调递增，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）直接根据奇函数定义，代入解析式即可求出参数的值；利用单调性的定义即可证明函数的单调性；（2）首先根据函数单调性可得，即，令，将原问题转化为在上有两个不同实根，然后根据二次函数根的分布与系数关系求参数的取值范围即可.小问1详解】由函数为奇函数，有，有，有，所以，得，因为，所以，当时，，定义域，，符合题意.设上任意两个实数，且，，而，，，∴，即，所以在上单调递增；【小问2详解】由知，由知，所以，由（1）知在上单调递增，结合题意有，得，即m，n是的两个不同实根，令，则在上有两个不同实根，有可得，故实数的取值范围为.22.已知函数，.（1）若，关于x的不等式的解集为，求，的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）定义：在闭区间的长度为，若对于任意长度为1的闭区间D，，使得，求正数的最小值.【答案】（1）（2）（3）4【解析】【分析】（1）由二次不等式的解集，得到对应二次方程的两根，利用韦达定理求，的值；（