高中数学三角函数正弦余弦正切

三角函数：正弦、余弦、正切之勘阻及广创作(一)复习指导1．能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象，认识三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2]的性质(如单一性、最大和最小值、图象与x轴交点等)ππ的单一性．3．理解正切函数在区间(,)22(二)基础知识1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数ysinx和余弦函数ycosx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，,,3,2的五点，再用圆滑的曲线把22这五点连结起来，就获得正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。2、正弦函数ysinx(xR)、余弦函数ycosx(xR)的性质：（1）定义域：都是R。（2）值域：都是1,1，对ysinx，当x2kkZ时，y取最大值1；当32时，y取最小值－1；对ycosx，当x2kkZ时，y取最大值x2kkZ1，当x2kZ时，y取最小值－1。2k（3）周期性：①ysinx、ycosx的最小正周期都是2；②f(x)Asin(x)和f(x)Acos(x)的最小正周期都是T2|。|（4）奇偶性与对称性：正弦函数ysinx(xR)是奇函数，对称中心是k,0kZ，对称轴是直线xkkZ；余弦函数ycosx(xR)是偶函数，对2称中心是k,0kZ，对称轴是直线xkkZ（正(余)弦型函数的对称轴2为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点）。（5）单一性：ysinx在2k,2kkZ上单一递加，在2k,2k3kZ单一递2222减；ycosx在2k,2kkZ上单一递减，在2k,2k2kZ上单一递加。特别提示，别忘了kZ！3、正切函数ytanx的图象和性质：（1）定义域：{x|xk,kZ}。碰到相关正切函数问题时，你注意到正切2函数的定义域了吗？（2）值域是R，在上边定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线ya的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数分析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其余不定。如ysin2x,ysinx的周期都是,但ysinxcosx的周期为，而y|2sin(3x)1|,y|2sin(3x)2|，y|tanx|的周期不变；2626（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是k,0kZ，特别提示：正2(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的分歧之处。（5）单一性：正切函数在开区间2k,kkZ内都是增函数。但要2注意在整个定义域上不拥有单一性。以以下图：注意：正切函数在开区间k,kkZ内都是增函数。但要注意在整个定22义域上不拥有单一性。(三)解题方法指导函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域值域周期奇偶性单一性增区间增区间增区间减区间减区间减区间对称性对称轴对称轴对称轴对称中心对称中心对称中心例1．用五点法画出函数π草图，并求出函数的周期，单一区间，ysin(x)3对称轴，对称中心．例2．求函数y2sin(xπ，2]上的值域．)在区间[06例3．求以下函数的值域．(1)y＝sin2x－cosx+2；(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)．例4．求函数y1sinx的值域．3cosx例题分析例1解：xπππ3π2π0223xππ2π7π5π36363y010－10周期为T=2π，单一增区间为(2kπ5ππZ,,2kπ),k66单一减区间为(2kππ7πZ,,2kπ),k66对称轴为xkππ,kZ,6π对称中心为(kπ,0),kZ.小结：绘图的时候，要注意五个点的选用．例2剖析：在求这样函数值域的时候，最好是把括号中与x相关的代数式的取值范围求出来，而后利用三角函数图象求其值域．解：由于0≤x≤2π，因此0xπ,πxπ7π,由正弦函数的图象，26266xπ1,1],获得sin()[226因此y∈[－1，2]．例3解：(1)y=sin2x－cosx＋2＝1－cos2x－cosx＋2=－(cos2x＋cosx)＋3，令t=cosx，则t[1,1],y(t2t)3(t1)213(t1)213,2424利用二次函数的图象获得y[1,13].4(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)=(sinx＋cosx)2－1－(sinx＋cosx)，令t=sinx＋cosxπ[2,2]则，yt2t1,2，sin(x)，则t45,1利用二次函数的图象获得y[2].4小结：利用三角函数关系把代数式转变成一个二次函数形式，利用图象，求其值域，要注意转变后自变量的取值范围．例4解：设A(3，1)，P(cosx，sinx)，把y当作定点A与动点