用构造法求数列通项公式

用构造法求数列通项公式上海外国语大学嘉定外国语实验学校徐红洁在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一．利用倒数关系构造数列。例如：中，若求an+4,即＝４。｝是等差数列。可以通过等差数列的通项公式求出,然再求后数列{an}的通项。练习：1)数列{an}中，an≠0，且满足求an2)数列{an}中，求an通项公式。3)数列{an}中,求an.二．构造形如的数列。例：正数数列{an}中，若解：设练习：已知正数数列{an}中，,求数列{an}的通项公式。三．构造形如的数列。例：正数数列{an}中，若a1=10,且求an.解：由题意得：。即.即练习：（选自2002年高考上海卷）数列{an}中，若a1=3,,n是正整数，求数列{an}的通项公式。四．构造形如的数列。例：数列{an}中，若a1=6,an+1=2an+1,求数列{an}的通项公式。解：an+1+1=2an+2,即an+1+1=2（an+1）设bn=an+1,则bn=2bn-1则数列{bn}是等比数列，公比是2,首项b１=a１+1＝7,构造此种数列，往往它的递推公式形如：如：an+1＝can+d,设可化成an+1+x=c(an+x),an+1=can+(c-1)x用待定系数法得：(c-1)x＝d∴x=.又如：Ｓn+an=n+2,则Ｓn-1+an-1=n+1,二式相减得：Ｓn－Ｓn-1+an－an-1=１，即an+an－an-1=１。∴2an－an-1=１。an=an-1+.如上提到bn=an＋d=an–1练习：1.数列{an}满足an+1=3an+2,求an2.数列{an}满足Ｓn+an=2n+1,求an五．构造形如的数列。例：数列{an}中，若a1=１，a２=3,an+2+4an+1-5an=0(nN),求an。解：an+2+4an+1-5an=0得：an+2－an+1=-5（an＋１－an）设bn=an＋１－an。则数列{bn}是等比数列，公比是-5,首项b１=a2-a1＝2,∴an＋１－an=2•(-5)n-1即a２－a１=2•(-5)a３－a２=2•(-5)２a４－a３=2•(-5)３┄an－an－１=2•(-5)n-2以上各式相加得：an－a１=2•［（-5）＋(-5)２＋(-5)３＋┄＋（-5）n-1］即：an－a１=2•即，（n当递推公式中，an＋１与an的系数相同时，我们可构造bn=an＋１－an，然后用叠加法得：b1+b2+b3+b4+┄+bn=an-a1通过求出数列｛bn｝前n-1项和的方法，求出数列{an}的通项公式。1)当递推公式中形如:an+1=an+an+b;an+1=an+qn(q≠1);an+1=an+qn+an+b等情形时。可以构造bn=an＋１－an,得:bn=an+b；bn=qn;bn=qn+an+b。求出数列前n-1项的和Tn-1,Tn-1=;Tn-1=；Tn-1=+即：an－a１=;an－a１=;an－a１=+从而求出an=a１+;an=a１+;an=a１++。2）当递推公式中形如:an+1=an+；an+1=an+；an+1=an+等情形可以构造bn=an＋１－an,得:：bn=；bn=；bn=即bn=；bn=；bn=从而求出求出数列前n-1项的和Tn-1,Tn-1=；Tn-1=；Tn-1=即：an－a１=;an－a１=;an－a１=从而求出an=a１+;an=a１+;an=a１+练习：1）数列{an}中，若a1=1，an+1-an=2n,求通项an.2）数列{an}中，若a1=1，an+1-an=2n,求通项an.3)数列{an}中，若a1=2，，求通项an.六．构造形如的形式。例：数列{an}中，若a1=1，，求an.解：由得：∴，，，…用累乘法把以上各式相乘得：∴。当递推公式形如：；；等形式，我们可以构造。可得:;;.然后用叠乘法得：。令数列{bn}的前n-1项的积为An-1,则;从而得到：；；；；。练习：1）数列{an}中，若a1=2，，求an.七．构造形如的形式。例：数列{an}中，a1=2，Sn=4an-1+1，求an.解：Sn=4an-1+1，Sn-1=4an-2+1二式相减：Sn-Sn-1=4an-1-4an-2an=4an-1-4an-2an-2an-1=2（an-1-an-2）设bn=an+1-2an。当递推公式形如