初中锐角三角函数知识点总结

/锐角三角函数及其应用XX第六中学高启鹏一、锐角三角函数中考考点归纳考点一、锐角三角函数锐角三角函数的定义如图,在Rt△ABC中,∠C为直角,则∠A为△ABC中的一锐角,则有对边邻边斜边AC对边邻边斜边ACB∠A的余弦：∠A的正切：特殊角的三角函数值图表记忆法角三角角函数三角值函数3004506001规律记忆法：30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2,分子依次为1、、；30°、45°、60°角余弦值恰好是60°、45°、30°角的正弦值。口诀记忆法口诀是："一、二、三,三、二、一,三、九、二十七,弦比二,切比三,分子根号不能删．"前三句中的1,2,3；3,2,1；3,9,27,分别是30°,45°,60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母为2,正切的分母为3．最后一句,讲的是各函数值中分子都加上根号,不能丢掉．如tan60°=,tan45°=．这种方法有趣、简单、易记．考点二、解直角三角形1、由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程,叫做解直角三角形。2、解直角三角形的类型和解法如下表：考点三、锐角三角函数的实际应用〔高频考点仰角、俯角、坡度〔坡比、坡角、方向角仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角。坡度〔坡比、坡角坡面的铅直高度和水平宽度的比叫坡度〔坡比,用字母表示；坡面与水平线的夹角叫坡角,方向角指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．注意：东北方向指北偏东45°方向,东南方向指南偏东45°方向,西北方向指北偏西45°方向,西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南,左西右东．二、锐角三角函数常见考法〔一、锐角三角函数以选择题的形式出现.例1、〔2016•XX已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点,将这条抛物线的顶点记为C,连接AC、BC,则tan∠CAB的值为〔A．B．C．D．2[考点]抛物线与x轴的交点；锐角三角函数的定义．[解析]先求出A、B、C坐标,作CD⊥AB于D,根据tan∠ACD=即可计算．[解答]解：令y=0,则﹣x2﹣2x+3=0,解得x=﹣3或1,不妨设A〔﹣3,0,B〔1,0,∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣〔x+12+4,∴顶点C〔﹣1,4,如图所示,作CD⊥AB于D．在RT△ACD中,tan∠CAD===2,故答案为D．〔二、锐角三角函数以填空题的形式出现.例2、〔2016•XX请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按第一题计分．A．一个多边形的一个外角为45°,则这个正多边形的边数是8．B．运用科学计算器计算：3sin73°52′≈11.9．〔结果精确到0.1[考点]计算器—三角函数；近似数和有效数字；计算器—数的开方；多边形内角与外角．[解析]〔1根据多边形内角和为360°进行计算即可；〔2先分别求得3和sin73°52′的近似值,再相乘求得计算结果．[解答]解：〔1∵正多边形的外角和为360°∴这个正多边形的边数为：360°÷45°=8〔23sin73°52′≈12.369×0.961≈11.9故答案为：8,11.9例3、〔2015•XX如图,有一滑梯AB,其水平宽度AC为5.3米,铅直高度BC为2.8米,则∠A的度数约为27.8°〔用科学计算器计算,结果精确到0.1°．[考点]解直角三角形的应用-坡度坡角问题．[解析]直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可．[解答]解：∵tan∠A==≈0.5283,∴∠A=27.8°,故答案为：27.8°．[点评]本题考查了坡度坡角的知识,解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值,难度不大．例4、<2014•XX>用科学计算器计算：+3tan56°≈10.02〔结果精确到0.01[考点] 计算器—三角函数；计算器—数的开方．[分析] 先用计算器求出′、tan56°的值,再计算加减运算．[解答] 解：≈5.5678,tan56°≈1.4826,则+3tan56°≈5.5678+3×1.4826≈10.02故答案是：10.02．[点评] 本题考查了计算器的使用,要注意此题是精确到0.01．例5、<2014•XX>如图,在正方形ABCD中,AD=1,将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′,此时A′D′与CD交于点E,则DE的长度为2﹣．[考点] 旋转的性质[分析] 利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E,进而利用勾股定理得出BD的长,进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可．[解答] 解：由题意可得出：∠BDC=45°,∠DA′E=90°,∴∠DEA′=45°,∴A′D=A′E,∵在正方形ABCD中,AD=1,∴AB=A′B=1,∴BD=,∴A′D=﹣1,∴在Rt△DA′E中,DE==2﹣．故答案为：2﹣．[点评] 此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识,得出A′D的长是解题关键．〔三、锐角三角函数定义以解答题的形式出现例6、〔12分〔2015•XX如图,在每一个四边形ABCD中,均有AD∥BC,CD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8,BC=12．〔1如图①,点M是四边形ABCD边AD上的一点,则△BMC的面积为24；〔2如图②,点N是四边形ABCD边AD上的任意一点,请你求出△BNC周长的最小值；〔3如图③,在四边形ABCD的边AD上,是否存在一点P,使得cos∠BPC的值最小？若存在,求出此时cos∠BPC的值；若不存在,请说明理由．[考点]四边形综合题．.[专题]综合题．[解析]〔1如图①,过A作AE⊥BC,可得出四边形AECF为矩形,得到EC=AD,BE=BC﹣EC,在直角三角形ABE中,求出AE的长,即为三角形BMC的高,求出三角形BMC面积即可；〔2如图②,作点C关于直线AD的对称点C′,连接C′N,C′D,C′B交AD于点N′,连接CN′,则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′,可得出△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC,求出即可；〔3如图③所示,存在点P,使得cos∠BPC的值最小,作BC的中垂线PQ交BC于点Q,交AD于点P,连接BP,CP,作△BPC的外接圆O,圆O与直线PQ交于点N,则PB=PC,圆心O在PN上,根据AD与BC平行,得到圆O与AD相切,根据PQ=DC,判断得到PQ大于BQ,可得出圆心O在BC上方,在AD上任取一点P′,连接P′B,P′C,P′B交圆O于点M,连接MC,可得∠BPC=∠BMC≥∠BP′C,即∠BPC最小,cos∠BPC的值最小,连接OB,求出即可．[解答]解：〔1如图①,过A作AE⊥BC,∴四边形AECD为矩形,∴EC=AD=8,BE=BC﹣EC=12﹣8=4,在Rt△ABE中,∠ABE=60°,BE=4,∴AB=2BE=8,AE==4,则S△BMC=BC•AE=24；故答案为：24；〔2如图②,作点C关于直线AD的对称点C′,连接C′N,C′D,C′B交AD于点N′,连接CN′,则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′,∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC,∵AD∥BC,AE⊥BC,∠ABC=60°,∴过点A作AE⊥BC,则CE=AD=8,∴BE=4,AE=BE•tan60°=4,∴CC′=2CD=2AE=8,∵BC=12,∴BC′==4,∴△BNC周长的最小值为4+12；〔3如图③所示,存在点P,使得cos∠BPC的值最小,作BC的中垂线PQ交BC于点Q,交AD于点P,连接BP,CP,作△BPC的外接圆O,圆O与直线PQ交于点N,则PB=PC,圆心O在PN上,∵AD∥BC,∴圆O与AD相切于点P,∵PQ=DC=4＞6,∴PQ＞BQ,∴∠BPC＜90°,圆心O在弦BC的上方,在AD上任取一点P′,连接P′B,P′C,P′B交圆O于点M,连接MC,∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C,∴∠BPC最大,cos∠BPC的值最小,连接OB,则∠BON=2∠BPN=∠BPC,∵OB=OP=4﹣OQ,在Rt△BOQ中,根据勾股定理得：OQ2+62=〔4﹣OQ2,解得：OQ=,∴OB=,∴cos∠BPC=cos∠BOQ==,则此时cos∠BPC的值为．[点评]此题属于四边形综合题,涉及的知识有：勾股定理,矩形的判定与性质,对称的性质,圆的切线的判定与性质,以及锐角三角函数定义,熟练掌握定理及性质是解本题的关键．例7、〔10分<20XXXX省>已知抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A〔﹣3,0和B〔0,3两点,将这条抛物线的顶点记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N．〔1求抛物线C的表达式；〔2求点M的坐标；〔3将抛物线C平移到C′,抛物线C′的顶点记为M′,它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形,那么应将抛物线C怎样平移？为什么？[考点] 二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质．菁优网版权所有[分析] 〔1直接把A〔﹣3,0和B〔0,3两点代入抛物线y=﹣x2+bx+c,求出b,c的值即可；〔2根据〔1中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；〔3根据平行四边形的定义,可知有四种情形符合条件,如解答图所示．需要分类讨论．[解答] 解：〔1∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A〔﹣3,0和B〔0,3两点,∴,解得,故此抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；〔2∵由〔1知抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3,∴当x=﹣=﹣=﹣1时,y=4,xKb1.Com∴M〔﹣1,4．〔3由题意,以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′,∴MN∥M′N′且MN=M′N′．∴MN•NN′=16,∴NN′=4．i当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNN′M′时,将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；ii当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时,将抛物线C先向左或向右平移4个单位,再向下平移8个单位,可得符合条件的抛物线C′．∴上述的四种平移,均可得到符合条件的抛物线C′．[点评] 本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点．第〔3问需要分类讨论,避免漏解．例8、〔12分<2014•XX>问题探究〔1如图①,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,如果BC边上存在点P,使△APD为等腰三角形,那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD,并求出此时BP的长；〔2如图②,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=12,AD是BC边上的高,E、F分别为边AB、AC的中点,当AD=6时,BC边上存在一点Q,使∠EQF=90°,求此时BQ的长；问题解决〔3有一山庄,它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置,用来监视边AB,现只要使∠AMB大约为60°,就可以让监控装置的效果达到最佳,已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270m,AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使∠AMB=60°？若存在,请求出符合条件的DM的长,若不存在,请说明理由．[考点] 圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有[专题] 压轴题；存在型．[分析] 〔1由于△PAD是等腰三角形,底边不定,需三种情况讨论,运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题．〔2以EF为直径作⊙O,易证⊙O与BC相切,从而得到符合条件的点Q唯一,然后通过添加辅助线,借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长．〔3要满足∠AMB=60°,可构造以AB为边的等边三角形的外接圆,该圆与线段CD的交点就是满足条件的点,然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识,就可算出符合条件的DM长．[解答] 解：〔1①作AD的垂直平分线交BC于点P,如图①,则PA=PD．∴△PAD是等腰三角形．∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠B=∠C=90°．∵PA=PD,AB=DC,∴Rt△ABP≌Rt△DCP〔HL．∴BP=CP．∵BC=4,∴BP=CP=2．②以点D为圆心,AD为半径画弧,交BC于点P′,如图①,．则DA=DP′．∴△P′AD是等腰三角形．∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AB=DC,∠C=90°．∵AB=3,BC=4,∴DC=3,DP′=4．∴CP′==．∴BP′=4﹣．③点A为圆心,AD为半径画弧,交BC于点P″,如图①,则AD=AP″．∴△P″AD是等腰三角形．同理可得：BP″=．综上所述：在等腰三角形△ADP中,若PA=PD,则BP=2；若DP=DA,则BP=4﹣；若AP=AD,则BP=．〔2∵E、F分别为边AB、AC的中点,∴EF∥BC,EF=BC．∵BC=12,∴EF=6．以EF为直径作⊙O,过点O作OQ⊥BC,垂足为Q,连接EQ、FQ,如图②．∵AD⊥BC,AD=6,∴EF与BC之间的距离为3．∴OQ=3∴OQ=OE=3．∴⊙O与BC相切,切点为Q．∵EF为⊙O的直径,∴∠EQF=90°．过点E作EG⊥BC,垂足为G,如图②．∵EG⊥BC,OQ⊥BC,∴EG∥OQ．∵EO∥GQ,EG∥OQ,∠EGQ=90°,OE=OQ,∴四边形OEGQ是正方形．∴GQ=EO=3,EG=OQ=3．∵∠B=60°,∠EGB=90°,EG=3,∴BG=．∴BQ=GQ+BG=3+．∴当∠EQF=90°时,BQ的长为3+．〔3在线段CD上存在点M,使∠AMB=60°．理由如下：以AB为边,在AB的右侧作等边三角形ABG,作GP⊥AB,垂足为P,作AK⊥BG,垂足为K．设GP与AK交于点O,以点O为圆心,OA为半径作⊙O,过点O作OH⊥CD,垂足为H,如图③．则⊙O是△ABG的外接圆,∵△ABG是等边三角形,GP⊥AB,∴AP=PB=AB．∵AB=270,∴AP=135．∵ED=285,∴OH=285﹣135=150．∵△ABG是等边三角形,AK⊥BG,∴∠BAK=∠GAK=30°．∴OP=AP•tan30°=135×=45．∴OA=2OP=90．∴OH＜OA．∴⊙O与CD相交,设交点为M,连接MA、MB,如图③．∴∠AMB=∠AGB=60°,OM=OA=90．．∵OH⊥CD,OH=150,OM=90,∴HM===30．∵AE=400,OP=45,∴DH=400﹣45．若点M在点H的左边,则DM=DH+HM=400﹣45+30．∵400﹣45+30＞340,∴DM＞CD．∴点M不在线段CD上,应舍去．若点M在点H的右边,则DM=DH﹣HM=400﹣45﹣30．∵400﹣45﹣30＜340,∴DM＜CD．∴点M在线段CD上．综上所述：在线段CD上存在唯一的点M,使∠AMB=60°,此时DM的长为〔400﹣45﹣30米．X|k|B|1.c|O|m[点评]本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识,考查了操作、探究等能力,综合性非常强．而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键．三、三角函数易错点解析三角函数是初中数学的重要内容,三角函数是学生在初中阶段第一次接触角函数,这部分知识的学习对于学生来说有一定的难度,下面就三角函数教学中容易出现的几种"错误"进行分析：1．对应关系混淆ABα图9[1]如图9,先进村准备在坡角为αABα图9A.米 B.米C.米 D.米解析：分别过点B,A作平行水平面的直线和垂直于水平面的直线相交于点C。则△ABC是直角三角形,且∠C=90°,∠CBA=α,∴∴,故选B。ABCD图10ABCD图102．专用名词不清[2]如图10,斜坡AC的坡度〔坡比为1:,AC＝10米．坡顶有一旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连,AB＝14米．试求旗杆BC的高度．解析：坡度是表示斜坡的铅直距离与水平距离的比,所以过点C作CE⊥AD于E,CE为铅