角的平分线的性质(提高)知识讲解

角的平分线性质（提高【习标1．掌握角平分线的性质，理解角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平线的画法．3.熟运用角的平分线的性质解决问题．【点理【清堂388612角平分的质知要】要一角平线性角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相.要诠：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平∠ADB，P是CD上点，且PE⊥AD于PF⊥于F，则＝PF.要二角平线判角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线.要诠：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥于点E，PF⊥于，PE＝PF则PD平∠ADB要三角平线尺作角平分线的尺规作图（）O为心，适当长为半画弧，交OA于，交OB于E.（）别以D、为心，大于（）射线OC.射线OC即所.要四三形平线性

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DE的长半径画弧，两弧在内部交于点三角形三条角平分线交于三角形内部一点叫三角形的内心且这一点到三角形三第页共页

边的距离相.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一.这叫做三角形的旁.三角形有三个旁.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个如所示eq\o\ac(△,：)ABC的内心为，旁心为1

,P,P24

，这四个点eq\o\ac(△,到)ABC三边在直线距离相.【典例】类一角平线性及定1秋新区期末）如图，在△中，∠ABC的平线与∠的角的平分线相交于点P，连接AP．（）证PA平∠的角∠CAM（）点C作CE⊥AP，是垂，并延长CE交BM于点D．求证CE=ED．【路拨1过作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S⊥BA于Q，据角平线性质求出，据角平分线性质得出即可；（）据求△AED≌△AEC即．【案解】证明）P作PT⊥BC于T⊥AC于S，PQ于，如图，∵在△ABC中，∠ABC的分线与∠ACB外角的平分线相交于点P，∴PQ=PT，PS=PT，∴PQ=PS，∴AP平分DAC，即PA平∠的角∠CAM；第页共页

（）平∠BAC的外角∠CAM，∴∠DAE=∠CAE，∵CE⊥AP，∴∠AED=∠AEC=90°，在△和AEC中∴△AED≌△AEC，∴CE=ED．【结华本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用题的关键是能正确作出辅助线并进一步求出PQ=PS和AED≌△AEC意角平分线上的点到角两边的距离相等．举反：【变式】如图，AD是∠的分线DE⊥AB交AB延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝求证：＝【案证明：∵⊥，⊥，AD是的平分线，∴DE＝，∠＝DFC＝90°在eq\o\ac(△,Rt)与eq\o\ac(△,Rt)CDF中，∴eq\o\ac(△,Rt)BDE≌Rt△CDF（）∴BE＝

DBDEDF

，第页共页

△△2、如图，AD是ABC的平分线DF⊥AB垂足为F，DEDG，△和△的积分别为50和39，△的积为）A.11B.5.5C.7D.3.5【案B【析解：过D点DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的平分线，DF⊥，DH⊥AC∴DF＝在eq\o\ac(△,Rt)EDF和eq\o\ac(△,Rt)GDH中DE＝DG，＝∴Rt△EDF≌eq\o\ac(△,Rt)同理可证eq\o\ac(△,Rt)和ADH∴

eq\o\ac(△,S)

eq\o\ac(△,S)EDF

=

eq\o\ac(△,S)ADG

eq\o\ac(△,S)GDH∴

eq\o\ac(△,S)EDF

=

ADG

eq\o\ac(△,S)

＝50－＝，∴△的积为5.5【结华本题求△EDF面积不方便找底和高用等三角形可用已和△AED的面积来表示△EDF面.【清堂388612

角分的质例63、如图，，△PAC与的面积相等．求证OP平分AOB．【路拨观察已知条件中提到的三角形与△，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可.【案解】证明：作PM⊥于，⊥于N∵△

1ACPM，S2

，且

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)∴

1ACPM2第页共页

又∵AC＝∴PM＝又∵PM⊥，⊥∴OP平分AOB【结华跟三角形的高结合的题目有时候用面积会取得意想不到的效.类二角平线性综应4、如图，P为△的角平分上任一求证PB＋PCAB＋AC.【路拨在BA的长线上AD＝AC，证PADPAC从而将四条线段转化到同一个△PBD中，用三角形两边之和大于第三边解决问.【案解】证明：①当点P与A不合时，在延长上取一点，使AD＝，接PD.∵为△的角平分线上一点，∴＝∠2∵在△PAD和△PAC中

∴△PAD≌△PAC（SASPD＝∵在△PBD中，PB＋＞，＝AB＋AD∴PB＋＞＋②当点P与A重时，PB＋＝AB＋AC.综上，＋≥＋【结华利用角平分线的对称性，角两边取相同的线段，通过SAS）构造全等三角形，从而把分散的线段集中到同一个三角形.举反：【变式秋启市校级期中）如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，点D为BD的中点，且OA平分BAC．（）证OC平∠ACD；（）证：OA⊥OC；（）证AB+CD=AC．第页共页

【案证明）点O作OE⊥AC于E∵∠ABD=90゜OA平分BAC，∴OB=OE，∵点O为BD的点，∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC平分ACD；（）Rt△ABO和eq\o\ac(△,Rt)AEO中，∴Rt△ABO