利用基本不等式求最值的课堂生成

关于利用基本不等式求最值的课堂生成基本不等式应用这节课原来的设计重点在于不等式的变形利用技巧课时为了让学生回顾上节课在介绍利用基本不等式求最值时强调正定取的基本规范，给出了一个简单的训练题：题：已知实数

,

满足

2b2

，求

的最大值。学生们主要产生了三种解法：法一：由

2b

23ab，ab

63

3，a

2

2

即6,b2

或ab2

时，

ab

取到最大值2

。法二：

22b2

2

2

ab

的最大值是6。法三：当且仅当a时大，而a时代入

2

b

2

解得：

，

的最大值是3。原来预计大多数学生应该会用解法一课堂统计的情况是法一占50%法占30%，法三占20%。这个统计结果使笔认识到学生的注意力或许重在不等式的变形利用上，而对于如何保证取到最大值即等号成立模糊不清的而恰恰是求最值的关键和重点反映出了学生们数学思维的纰漏和失误以笔认为需要根据课堂学生实际情况调整教学计划，充实如何保证取到最值的问题讲练。先让学生们对以上三种解法进行对错辩析，寻找思维误漏，形成严谨正确的数学思维。经过分析，学生们基本上形成了统一认识：解法一过程严谨，解答正确。解法二的错误在于推理

6

的过程中出现了两个“≤两个“=”号要同时取到的条件是

与a

2

b

2

矛盾因6是不到的所以求最值时必须验证等号能否取到。教师指出这是忽视了最值必须实取到的常见错误般推理过程中出现了两个或以上的“≤几“”同时取到的机会就比较少。解法三的错误是时最大值的前提是a2或a要值，没有定值这个前提

时取最大值”是不正确的。教师指出：这是忽视了“和一定，积最大”的前提条件的典型错误，解题时应该充分重视。为了进一步让学生纠正利用基本不等式求最值的失误，正确认识和掌握解决问题的方法补了几则讲练题与学生进行正误辩析是学生得出的正解和典型常见的错误。题4：设

x

，且

19，的小值。

错解：由最小值为12。

，，36y，xxyxyxy

的错误的原因还是因为忽视了验证最值能否切实取到上里的两个等号是不能同时取到的。正确解法应是：9y9xx)y)xy当

9

即

x4,时xy取小值16这里巧用了

1

，这是常用和有效的的“1代”技巧。也有学生给出了以下解法：由

19

得

yy,xyy(yy81yxy(yyy(

yyy，yyy

即y=12时，取到最小值。这里用到了由已知x,y的系将所求式的双变量代换成单变量后，将其“凑合了可以用基本不等式的形式在肯定了这些学生解法的同时指出了应引起注意的问题就是在利用基本不等式

(y

y

时需要的条件：

。在解答时必须予以严谨说明：由

x0,

，

0

得

y9,y0

.对于解法涉及到“凑合成可利用基本不等式的技巧者及时生成了关于这方面的教学，并举例进行讲练。题5：当

x

时，求

y

x

x

的最小值和

y

xxx

的最大值。有了上面关于式子变形拆“凑的提示大部分学生比较顺利地得到了以下正确解答，并注意到了“一正，二定，三取到”的完整性。xx

y

2(x112xxxxx∴当

2(

1x

即

2x时，y取小值2

(x

x

(x

=

64∴当

(x

6x

，即

x6

6时，取大值。4题：已知,,x,y满足

2

2

,

2

y

2

，求mxny

的最大值。解法一：

m

2

2n2y2

a，∴最大值。2当且仅当，y

时取到等号。解法二：

(m22xy22y2yx(mx)ny2mnxyny)

2

，得到：

nyy2当且仅当时取到最大值。两种解法的学生都认为自己的方法正确案是不同的经过进一步认真辩析后，认识到解法二才是正确的。但解决法一错在哪里呢？生提出法实用到了两个不等式m2nny

2

但也有学生认为这两个不等式是互相独立不会影响最值的。事实是否如此呢？有更仔细的生出：解法一中要取到最大值，要两个不等式

m2n,

同时成立，但这两个要同时取等号，必须

m

且

y

，这时必有

a

，而条件中允许

ab

，故

ab

时，就只有

mny

a2

了。所以解法一是不正确的。至此，师生形成了正确解法的共识。题：设x>0,y>0,且2x+y=1,

sx)

的最大值。对于初次应用基本不等式求最值的学生来说题不但有一定的变元变式和技巧上的难度，而且当思维主要在技巧上时，也容易忽视“一正、二定、三取到”的基本规范而产生上述常见的错漏，因而这是一题理想的方法能力及辩析题。学生得到的方法主要有以下两种：

解法一：

sy)

2

xyxyxy

,12y20

2

.当

2xy

1时取到等号2

,s的大值

22

。解法二

2

y

2

4设t

由xyxy得

0

2112tt2t)244

1，的最大值为。4两种方法得到了不同的答案，师生共同进行对错分析点评。解法一严谨正确完整，方法是1”代换。一般地，如果已知条件式是常数，经常可以把所求“凑合成条件式用常代换以化所求式如果令

t

则0

2

，所求式将化成

4t

t

更容易解决这减（双量或多变量化成单变量的方法。解法二表面上看没有问题，在后半部分用到了“减元”方法，化为二次问题解决，思