14 充分条件与必要条件

1.4充分条件与必要条件研淒•导学•尝试研淒•导学•尝试导［学］聚憔教材考点学习目标核心素养充分条件、必要条件的概念理解充分条件、必要条件、充要条件的概念数学抽象充分条件、必要条件的判断结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法逻辑推理充分条件、必要条件的应用掌握证明充要条件的一般方法逻辑推理预习教材P17—P22，并思考以下问题:1．什么是充分条件？2．什么是必要条件？3．什么是充要条件？新知初探1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p^qp兰q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件■微思考1p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？提示：相同，都是p=q.⑵能否认为“若p,则q”就是“pnq”？为什么？提示：不能•不能将“若p，则q”与“PW”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“pnq”，即“P=q”O“若p,则q”为真命题.2．充要条件如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题，即既有曰,又有qdp,就记作pOq.此时,p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.■微思考2若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？提示：正确•若p是q的充要条件，则poq,即p等价于q,故此说法正确.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示：①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.自我检测判断正误(正确的打“丿”，错误的打“X”)“x=0”是“(2x—1)x=0”的充分不必要条件.( )q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.()q不是p的必要条件时，“p、q”成立.()答案：⑴丿(2)V(3)V(4)V设p： “四边形为菱形”，q： “四边形的对角线互相垂直”，则p是q的( )充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件解析：选A若四边形为菱形，则该四边形的对角线互相垂直，即pnq；反之，当四边形的对角线互相垂直时，该四边形不一定是菱形，故q注p，所以p是q的充分不必要条件.设p：xV3,q：—1<x<3,则p是q成立的( )充分必要条件

充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件解析：选C.因为{xl-l<xv3}{xlxv3},所以p是q成立的必要不充分条件.设a,b是实数，则“a+b>0”是“ab>0”的( )充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件解析：选D.若a+b>0，取a=3,b=-2,则ab>0不成立；反之，若ab>0,取a二-2,b二-3,则a+b>0也不成立，因此“a+b>0”是力b>0”的既不充分也不必要条件.“ac=bc"是“a=b"的 条件.解析：若ac-bc,当c=0时不一定有a二b；反之若a二b,则有ac-bc成立•故ac-bc是a-b的必要不充分条件.解惑•探究•突嚴答案：必要不充分解惑•探究•突嚴探究案▼锣番色⑥探究点1充分、必要、充要条件的判断下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)p：x=1I或x=2,q:x—1="Jx—1；p:四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；p：xy>0,q：x>0,y>0；p:四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形.【解】⑴因为x-1或x-2nx-1-\jx-1,x-1h.Jx-1nx-1或x-2,所以p是q的充要条件.若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即pnq.反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即q渋p.所以p是q的充分不必要条件.因为xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0.故P注q，但q=p.所以p是q的必要不充分条件.四边形的对角线相等3/四边形是J 平行四边形，(4)因为 四边形是平行四边形3四边形I的对角线相等，所以p是q的既不充分也不必要条件.充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若p3q,q3p，则p是q的充分不必要条件；若p3q,q3p，则p是q的必要不充分条件；若p3q,q3p，则p是q的充要条件；若p3q,q3p,则p是q的既不充分也不必要条件.(2)集合法对于集合A={xlx满足条件p},B二{xlx满足条件q}，具体情况如下：若AGB,则p是q的充分条件；若A3B,则p是q的必要条件；若A二B,则p是q的充要条件；

若AB,则p是q的充分不必要条件;若AB,则p是q的必要不充分条件.已知条件p：~1<x<1,条件q：x±—2,则p是q的（ ）充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选A.依题意可知pq成立，反之不成立•即p是q的充分不必要条件，故选A.“x>a”是“x>la「啲（ ）充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选B.若a±0,由x>laI得x>a，若a<0，则由x>laI得x>-a,此时x>-a>a成立，即必要性成立，当a<0时，不妨设a二-1,则由x>-1,不—定推出x>I-1I，即充分性不成立，则“x>N是“x>IaI”的必要不充分条件，故选B.3.“xv23.“xv2”是“±<0”的(充要条件必要不充分条件充分不必要条件既不充分也不必要条件解析：选A.由上<0得x-2<0得x<2，即2是“上<0”的充要条件，故选A.探究点2充分、必要、充要条件的探求（1）不等式1—X>0成立的充分不必要条件是（xA.x>1C.xV—1或0VxV1x>—1D.—1VxV0或x>0(2)lV2x+2V8的一个必要不充分条件是()B.—1B.—1VxV6D.—3<x<|A.—2<xV3l—2<xV0【解析】 ⑴由1-1>0可得1V1，解得x>1或xvo,xx结合四个选项可得其成立的充分不必要条件是x>1.⑵求解不等式1V2x+2V8可得-1<xV3,结合所给的选项可知它的一个必要不充分条件是-1VxV6.【答案】 (1)A(2)B规律方法(1)探求一个命题成立的充分不必要条件以及必要不充分条件时，往往可以先找到其成立的充要条件，然后通过对充要条件的范围放大或缩小，得到相应的充分不必要条件或必要不充分条件．(2)如果p是q的充分不必要条件，那么p并不是唯一的，可以有多个；同样，如果p是q的必要不充分条件，那么p也不是唯一的，可以有多个；但如果p是q的充要条件，那么p是唯一的.(多选)给出四个条件：①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2；@0<X<y.其中能成为x>y的充分条件的有()A.① B.②C.③ D.④解析：选AD.①由xt2>yt2可知t2>0，所以x>y,故xt2>yt2dx>y；②当t>0时,x>y,当tV0时,xVy,故xt>yt/nx>y；③由X2>y2，得Ixl>lyl，故x2>y2/nx>y；④由0<1<1^x>y.故选AD.xy(2020.佛山检测)设a是实数，则aV5成立的一个必要不充分条件是()aV6 B.aV4C.a2V25 D.1〉1a5解析：选A.因为a<5na<6,a<6/斗a<5,所以a<6是a<5成立的一个必要不充分条件•故选A.探究点3充分条件、必要条件、充要条件的应用例3 已知p：—2WxW10,q：l—mWxWl+m(m>0),若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【解】p:-2WxW10,q：1-mWxWl+m(m>0)•因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{xll-mWxWl+m}{xl-2WxW10},l-m三-2l-m>-2故有］ 或］ ,l+m<l0 ［l+mWl0解得mW3又m>0,所以实数m的取值范围为{ml0<mW3}.l.(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件"改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.解:p:-2WxWl0,q：l-mWxWl+m(m>0).因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A,q代表的集合为B,所以A B.1-mW-2 1-m<-2,所以］ 或l+m>10 1+m三10.解不等式组得m>9或m三9,即实数m的取值范围是m三9.2.(变问法)本例中p,q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．解：因为p:-2WxW10,q：1-mWxW1+m(m>0).-2=1-m若p是q的充要条件，贝小 ，无解，10=1+m所以m不存在.故不存在实数m，使得p是q的充要条件.由条件关系求参数的值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系.(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解.跟踪训嫌’1.已知p：—4Vx—aV4,q：(x—2)(x—3)V0,若q是p的充分条件，则a的取值范围为 .解析：化简p:a-4<x<a+4,q:2<x<3,由于q是p的充分条件，a-4W2,故有］a+4三3,解得-1WaW6.答案：－1WaW62.若p：x2+x—6=0是q：ax+l=O的必要不充分条件，则实数a的值为解析：p：x2^x~6=0i即卩x=2或x 3.q：ax+1=0,当a=0时，方程无解；当aHO时,x=-1a由题意、矢知p涟q,q=p，故a=0去;当aHO时，应有-1二2或-1二-3,aa解得a二-*或a=|.综上可知,a=-1或a=1.答案：一2或3探究点4充要条件的证明创彳求证：一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<O.【证明】充分性：（由ac<O推证方程有一正根和一负根）因为ac<O，所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式A=b2-4ac>0,所以方程一定有两个不等实根．设两根为x1,x2,则兀匹=a<o,所以方程的两根异号．即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.必要性：（由方程有一正根和一负根推证ac<O）因为方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根，设为X],x2,则由根与系数的

关系得兀儿=~<0，即acvO.]2a综上可知/—元二次方程ax2+bx+c二0有一正根和一负根的充要条件是acV0.规律方法充要条件的证明思路(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明•一般地，证明“P成立的充要条件为q”；①充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；②必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求.(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性()，也可以直接证明充要性.已知a,b是正实数，求证：牛1+2=0b的充要条件是a+b=l.证明：a+证明：a+lb+l必要性：若丁+丁+2丿ab2

aba(a+l)+b(b+l)+22

ab即卩a2+a+b2+b+2ab=2,即(a+b)2+(a+b)-2=0,即(a+b-l)(a+b+2)=0,因为a，b是正实数，所以a+b+2>0，

所以a+b-1=0,即卩a+b二1.a＋1b＋1充分性：若a+b=1，则丁+矿+2a(a+1)+b(b+1)+2ababa2+b2+2ab+(a+b)aba+b)2+(a+b) 1+1 2ab ababa+1b+1 2故丁+丁+2=ab的充要条件是a+b=1.1．“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的（ ）A1．“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B由两个三角形全等可得两个三角形面积相等•反之不成立.所以“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选B.设集合M={1,2},N={ai},则“a=1”是“”匸旳”的（ ）充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件解析：选A.当a二1时，N二{1}，此时NUM；当NUM时,a2=1或a2=2,解得a二1或-1或护或-护.故“a二1”是“NUM”的充分不必要条件.已知p：“x=2”，q:—2=产”,则p是q的（）充分不必要条件必要不充分条件

充分必要条件既不充分也不必要条件解析：选C.由q：“x-2二\；：2-x”，解得x=1（舍去）或x=2,由p可推出q，充分性成立，反之，由q可推出p，即必要性成立.所以p是q的充分必要条件，故选C.（2020-烟台高一检测）x2V4的一个必要不充分条件是（）0VxW2 B.-2<x<0C.-2<x<2 D.1<x<3解析：选C.x2<4即-2<x<2,因为-2<x<2能推出-2<x<2，而-2<x<2不能推出-2<x<2,所以x2<4的一必要不充分条件是-2WU2.若“xv-1”是“xWa”的必要不充分条件，则a的取值范围是解析：若“xv-1”是“xWa”的必要不充分条件，贝{xlxWa} {xlxv-1},则av-1,即实数a的取值范围是av-1.答案：av-1[A基础达标]设x^R，则T<x<2”是T<x<3”的（ ）必要不充分条件充分不必要条件充要条件既不充分也不必要条件充分不必要条件．故选B.“xH—1”是“x2—1H0”的（ ）充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件解析：选B.由X2-1H0，得xH1且xH-1/因为“xH-1”是xH1且“xH-1”的必要不充分条件，所以“xH-1”是“x2-1H0”的必要不充分条件，故选B.3.3.fx>0 1”是“xy>0”的(充分不必要条件必要不充分条件充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.解析：选A.“Q0 1y>o弓xy>0，ffx<0Q0十或]TOC\o"1-5"\h\z、y>0 [yvOm“Q0 1所以“]O”是“乙>0”的充分不必要条件•故选A.y>0 厂设A,B,C是三个集合，则“AGB=AGC”是“B=C”的（ ）充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件解析：选B.由AnB=Anc,不一定有B二C,反之，由B=cz—定可得AnB=Anc.所以“AnB二Anc”是“B二C”的必要不充分条件.故选B.已知a,b为实数，则“a+b>4"是“a,b中至少有一个大于2"的（ ）充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件解析：选A.“a＋b>4” “a，b中至少有一个大于2”，反之不成立．所以“a＋b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的充分不必要条件．故选A.“a<4”是“一元二次方程x2-x+a=0有实数解”的 条件.解析:若—元二次方程x2_x+a=0有实数解则A^OJ即1-4a±0即a^4,又g”能推出“。諾”,但“。冬扌”不能推出匚冷”,即“a<1”是“一元二次方程x2-x+a=0有实数解”的充分不必要条件•答案：充分不必要（2020・临沂高一检测）对任意实数a,b,c,给出下列命题：“a=b”是“ac=bc”的充要条件；“b-2是无理数”是“b是无理数”的充要条件；“a>b”是“a2>b2”的充分条件；“aV5”是“aV3”的必要条件.其中真命题的序号是 .解析：①中由“a二b”可得ac=bc,但由“ac二be”得不到“a二b”，所以不是充要条件；②是真命题；③中a>b时,a2>b2不一定成立，所以③是假命题；④中由“a<5”得不到“a<3”/旦由“a<3”可以得出“a<5”，所以“aV5”是“aV3”的必要条件，是真命题.答案：②④已知p：—l<x<3,q：—l<xvm+l,若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 .解析：由p：－l<x<3，q：－l<x<m＋l，q是p的必要不充分条件，即3<m＋l，即m>2.答案：m>29．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．p：x2>0，q：x>0.p：x+2Hy,q：(x+2)2Hy2.p：a能被6整除，q：a能被3整除.p:两个角不都是直角，q：两个角不相等.解：(1)p:x2>0，则x>0或x<0,q:x>0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．p:x+2Hy,q：(x+2)2打2，则x+2Hy且x+2H-y,故p是q的必要条件，q是p的充分条件．p:a能被6整除，故也能被3和2整除，q:a能被3整除，故p是q的充分条件，q是p的必要条件.p:两个角不都是直角，这两个角可以相等，q:两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件.若集合A={xlx>—2},B={xlxWb,b^R},试写出：AUB=R的一个充要条件；AUB=R的一个必要不充分条件；AUB=R的一个充分不必要条件.解：集合A={xlx>-2},B={xlx^b,bGR},⑴若AUB二R,贝Ub三-2,故AUB二R的一个充要条件是b三-2.

⑵由⑴知AUB=R的充要条件是b三-2,所以AUB=R的一个必要非充分条件可以是b三-3.（3）由（1）知AUB二R的充要条件是b三-2,所以AUB二R的一个充分非必要条件可以是b三-1.[B能力提升]（多选）设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮,则p是q的充要条件的电路图是（解析：选BD.由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件;电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S—定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件•故选BD.设集合A—{xlx2+x—6=0},B={xlmx+1—0}，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（）C1A.m^^^C1A.m^^^，1]3B.mH0C.mE0,11]2，3D.mE0,1]解析：选D.A={xlx2+x-6=0}={2,-3}.右m=0,则B= ,BA；若m=-1,则B二{2}A；若m=3,则B={-3}A.设C是集合若m=-1,则B二{2}的非空真子集，则B A的一个充分不必要条件是m^C.所以BA的一个充分不必要条件是m已°，*'.故选D.（—题两空）下列不等式：①xVl；②°VxVl；③一IVxV°；④一lVxV1:⑤兀>一1.其中，可以作为x2V1的一个充分不必要条件的所有序号为 ；可以作为X2V1的一个必要不充分条件的所