昆明备战中考数学综合题专题复习【圆的综合】专题解析

昆明备战中考数学综合题专题复习【圆的综合】专题解析一、圆综合1．如图，在O中为直径，与交于点，在的延长线上有点，EFED．（）证：DE是O的线；（）A=

，探究线段和BE之的数量关系，并证明；（）（）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．【答案】（）案见解析；2）BE；（）．【解析】试题分析：1）判断出OCFCFO，再判断出OCF=ODF，可得出结论；（）判断出BDE=A，而得eq\o\ac(△,)EBD△，出AE=2，DEBE，可得出结论；（）=x，=，=3x半径OD=

，进而得出OEx最后用勾股定理即可得出结论．试题解析：1）明：连结OD，如图EF=ED．EFD=CFO，=OF，OCFCFO=90°．OC，OCFODF，+=90°，ODE，OD．点在O上是O的线；（）段、之的数量关系为：AB=3．证明如下：AB为O直径，=90°，ADOBDE．OD，ADOA，BDEA，而，EBD△，BDDE1中，tanA==，=，AD2DEAEDEDEBE，AE=4BEABBE；

DEBEAEDEAD

．eq\o\ac(△,)（）=x，=，=3x半径OD=

．OF=1，=1+2x．在eq\o\ac(△,)ODE中由勾股定理可得：（圆O的径为3．

2）+（）=（x），x﹣（舍）或x=29

点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断eq\o\ac(△,)EBD△是答本题的关键．2．如图四形是O的内接四边,AB=CD．(1)如图(1),求证ADBC(2)如图(2),点F是AC的中,AB,交BC于E,交AC于求；(3)(的件,若DG平分ADC,GE=53ADF=4,求O的半径。【答案】证见解析；2）证明见解析；3）129【解析】试题分析：连AC由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论．（）长到N，DNAD，接NC．得到四边形ABED是行四边形，从而有=BEBE．圆内接四边形的性质得=B．可证明ΔABE，到=CN，再由三角形中位线的性质即可得结论．（）接，过点作BC，由（）知AEB=ANC四边形是行四边形，得到=．再证明ΔCDE是等边三角形Δ是等边三角形，通过解三角形，得到AB，，AH，HE的长，由=DE，得到的．在eq\o\ac(△,)AHC中由勾股定理求出的．作直径，连接CP，过eq\o\ac(△,)APC即可得出结论．试题解析：解：连接AC．=CD，=弧，=ACB，ADBC．（）长到N，DNAD，接NCADBC，DG四形是行四边形，AD=，=BE．是圆内接四边形．=CD，

ΔABECND=CNAD，AF，DF=

CNDF．（）接，过点作BC，由（）知AEB=ANC四边形是行四边形，=DE．DFCN，，AEBADF，AEBtanADF=43，平，ADGCDG．ADBC，=CED，NDC=DCEABCNDC，ABC=DCE．DG，ABC=DEC，=ECDEDCΔCDE是边三角形=DECE．GBC=60°，GDCBΔBGE是边三角形BE=GE=

53．AEB=ADF4，设HEx，则AH=4．ABEDEC=30°，BHx，=8x，4xx

53解得：=3，=83，=43AH，DE==83，HC=+=

=9．eq\o\ac(△,Rt)AHC中AC

AH

2

2

12

2

3)

2

=43．作直径，连接CP，∠ACP=ABC=60°，sinP=

AP

，

ACsin603

，O的径是129．3．已知AB，都e的径，连接DB，点的线交DB的长线于点E．

如图1，证：E；

如图2，点A作AFEC的延长线于点，点作，足为点G，证：；

DG如图3，2的条件下，当时，在eO外一点H连接CH、分交4eO

于点、，且

HDE

，点P在的延长线上，连接PO并长交CM于点，，

OB，线段HM的长．【答案】（）明见解析2证明见解析（）3【解析】【分析】（）由D+，得D=180°，要证明AOD=2D即；（）图2中作AF于R只要证eq\o\ac(△,)AORODG即；（）图3中连接BC、OM、、，作BT于T，NKCH于，CH交DE于．解直角三角形分别求出KM即；【详解】

证明：如图1中Qe

与相于点C，OCCE

，，90

，DEo，QCOB，BOCD，DAOD180o．

，

证明：如图2中作

ORAF

于．

OCFFORF，

四边形OCFR是矩形，，CFOR，A

，在

和

中，QAAOD，AROOGD，DO，VAOR≌VODG，

，DG

，

解：如图3中，连接、OM、、，作CL于T，NKCH于，CH交DE于W．设3m，，，OCFFBTE，Q，CTCF，m，QCD为直径，

，CND90CBE，

EBTCBT，tanE

，BTETBT

，

BT3m，BTBT根已经舍弃

)

，

m

E，Q，HDE

，，H60HCN60Q，VOMN是等边三角形，MNON，QMOBOM，MOQ，

，MOQ

o

120

o

，

MQO

o

120

o

，PON

，ONNP

，CD

，

MNON25

，在

中，

DN

2

2

，在

RtVCHN

中，

tanH

CNHN

，3，在

中，

KH

，NKHN24，在RtVNMK中MK

MN2

NK

2

252

24

，HMHKMK．【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题的关键4．如图，是半圆O的径C是

的中点D是

的中点AC与BD相于点.

（）证平分ABC；（）证BE=2AD；（）

的值.【答案】（）案见解析2（）

【解析】试题分析：1）据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；（）长BC与AD相于点证eq\o\ac(△,)BCEACF,根全等三角形的性可得BE=AF=2AD；（）接OD,交于H.简思路如下：为，则为，，DH=然后根据相似三角形的性质可求.试题解析：1）D是

的中点CBD=BD平ABC（）示：延与相交于点证eq\o\ac(△,)BCEACF,BE=AF=2AD（）接OD,交于H.简思路如下：设OH为1，BC为，OB=OD=2，DH=

DEDH=BEBE

=

5．四边形的角交于点，AE，＝，AD为直径的半圆过点E，心为O．（）图，求证：四边形为形；（）图，若BC的延长线与半圆相切于点F且直径＝求弧的．【答案】（）解析；2）

π【解析】试题分析：1）判断出四边形是平行四边形，再判断出BD即可得出结论；（）判断出AD=DC且DE，ADE=CDE，而得出CDA=30°，后用弧长公式即可得出结论．试题解析：证明：（）四形ABCD的角线交于点，且AE，ED，四形是行四边形．以为直径的半圆过点，AED=90°，有ACBD四形ABCD是菱形；（）（）知，四边形是形ADC为腰角形AD=且DEAC，ADE=CDE．如图，过点C作AD，足为G，连接FO．BF切于点，AD，OF

AD

，易知，四边形CGOF为形CG=3．在eq\o\ac(△,Rt)中，=AD=6=

CG=，CDA=30°，ADE=15°CD连接OE，则ADE=30°，

AE2

．点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．6．如图，边形为O内接四边形，连接AC、、，为BD的点．（）证DAC=；（）图2，在OC上连接EB，延长交AB于点，若DAB=OBA+EBA．证：；（）（）的条件下，如图，OE+EB=AB，，，AD的长．

»»»»点是【答案】（）明见解析；2）明见解析；）AD=7．【解析】试题分析：1）图1中，连接OA只要证CAB=2=ACO+，点是

中点，推出CD

，推出，可出DAC=；（）办法证EBF即；（）图3中过点O作OHAB，垂足为H，长BE交的长线于，BNCF于，作CK于，接．作AB于T首先证eq\o\ac(△,)EFB是等边三角形，再证eq\o\ac(△,)ACTeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)，长即可决问题；试题解析：1）图1中，连接OA，1=ACO，OA=OB2=ABO，BD中，CD，BAC=，DAC=ACO+．（）图2中BAD=BAC+CAB，COB=2BAC，BAD=BOC，DAB=OBA+EBA，BOC=OBA+EBA，EBF，．（）图3中过点O作OHAB，垂足为H，长BE交的长线于，BNCF于，作CK于，接．作AB于T

»»»»EBA+G=90°，CFB+HOF=90°，EBF，G=，，G=，EG=EO，OHAB，AB=2HBOE+EB=AB，GE+EB=2HB，GB=2HB，

HBGB

，，EFB是等边三角形，设HF=aFOH=30°OF=2FH=2a，AB=13EF=EB=FB=FH+BH=a+

，﹣OF=FBOF=

﹣，﹣a+2=﹣，2

1EF=a+，2（

1﹣）（a+）﹣a，242BO﹣ON=EB2﹣2，（

3﹣）﹣﹣）2=（）﹣a+），4224解得

或﹣（舍弃），OE=5，OB=7，K=，KAC=，，CK=CT，CD，DC=BC，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)，DK=BT，FT=

FC=5，﹣，﹣，﹣DK=10﹣．7．如图eq\o\ac(△,)是的接三角形，点D，E在O上连接AE，，BE，，，

AB

．（）断BE与CE之间的数量关系，并说明理由；（）证eq\o\ac(△,)ABEDCE；

»»=»»»=»»BE»»（）若，，求的半径．【答案】（），由见解析；2）明见解析；3

．【解析】分析：1）A、C、E四点共圆的性质得BCE+，BCE=，所以

=

，则弦相等；（根据SSS证eq\o\ac(△,)ABEDCE；（）BC和BE两弦的弦心距，证明eq\o\ac(△,)GBOeq\o\ac(△,)（HL，，，则，据勾股定理列方程求出的，可得半径的长．本题解析：（）：，理由：EAC+BAE=180°，EAC，»，BE=CE；（）明

ABCD

，AB=CD，»»

，

AE

，AE=ED由（）：，eq\o\ac(△,)和DCE中

，

（）（）：如图过作OGBE于G，BC于H，BH=

1BC=×8=4，BE，2BE=CE，EBC=EAC=60°，BEC是等边三角形，BE=BC，BH=BG，OB=OB，eq\o\ac(△,)GBOeq\o\ac(△,)HBOHL），OBH=GBO=

EBC=30°设，OB=2x，

»»由勾股定理得：2x）=x

+4

，

3

，

8，的半径为．3点睛：本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、直角三角形的性质，难度适中，第一问还可以利用三角全等得出对应边相等的结论；第三问作辅助线，利用勾股定理列方程是关.8．如图，是O的径，弦AB于G，点是CD上点，且满足若接AF并长O于，接、，CF=2AF=3.

1DF

,连（）证eq\o\ac(△,)ADF△；（）的；（）E的．【答案】证见解析(2)FG=2;(3)

.【解析】分析：1）AB是O的径，弦CDAB，据垂径定理可得：弧弧AC，，继而证eq\o\ac(△,)△AED（）

1FD

,CF=2可求得DF的，而求得则可求得；）由勾股定理可得的，即可求得ADF的，继而求得tanE=

.本题解析：AB是O的直径，弦CDAB，DG=CG

，AED∠DAE（共角），ADF△；

¶¶¶¶②

CFFD3

，，CD=DF+CF=8，CG=DG=4，；③，，AG=AF2FG

，点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识点，考查内容较多，综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合的思9．如图，在eq\o\ac(△,)中

，平，交BC于，点O在上，O经过A、两，交AC于E，于F．（）证BCO的线；（）若O的径是，是弧的中点，求阴影部分的面积（结果保留和号）【答案】（）明见解析（）

【解析】【分析】（）接，只要证明OD即解决问题；（）接OE，OE交AD于K．要证eq\o\ac(△,)是边三角形即可解决问题．【详解】（）接．=OD，OAD=ODAOAD，ODA=，ODODBC，ODBCBC是O的线．（）接OE，OE交AD于K．

DE

，OEAD．

△AOE△AOEOAK=EAK，AK，AKO==90°，，AOAEOE，60是等边三角形，=60°S=S﹣4

2

．【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．图1，知O是ΔADB的外接圆的平分线DC交AB于MO于点C，接AC，．（）证：；（）图2，图1的础上做的直径CF交AB于，接AF过点作O的线AH，若AH//BC，求的度数；（）（）的条件下，若ΔABD的面积为6ΔABD与的面积比为2：，求CD的长.【答案】（）明见解析；2）；）33【解析】分析：1）用在圆或等圆中，弧相等，所对的弦相可解（）接AO并长交BC于I交于J,AH是O的线且BC得BC，易证，可F=ACB，CF是直径得ACF的数；（）点作DG，接，ABC为边三角形，求出AB、的长，在Rt中，求出AO的长，得的，再求DG的，运用勾股定理易求CD的.详解：1）平分，ADC=，∴．（）图，连并长交BC于O于J

AH是O的线且AH，AI，BI=IC，AC=BC，IC=

AC，，ABC=60°=F=．是直径，，．（）点作

DGAB

，连接AO由（）2）知ABC为边三角形ACF=30°，AB，AE=BE，

ABC

273AB=，AE．

2x331234p2x331234p在RtΔAEO中设x，AO=2，

AE2OE2

，2，x，O的径为6，CF=12．

S

ABD

DG

13DG32

，．如图，过点作

DG

,连．

,

DGAB

，，四形′DGE为矩形，

G

，

，在Rt

OG

中，

，

DG，

CD

DG

2

CG

2

112

33点睛：本题是一道圆的综合题考了圆的基本概念，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等相关知识比复杂，熟记相关念是解题关.11．平面直角坐标系中对于点P和图形W，如果以为点的任意一条射线与图形最只有一个公共点，那么称点P独立于图形．（）图1，知点A（，，以原点O为心长半画弧交轴正半轴于点．在P（，）P（，），（，）P（，）四个点中，独立于

AB

的点是；（）图2，知点C，），，），（，）点是线：y=2x+8上一个动点．若点P独立于折线CD-DE，点P的横坐标的取值范围；

23PP1234PP23PP1234PP（）图3，H是以点（，为圆心，半径为1的．点T（，）轴且t＞3，以点T为中心的正方形KLMN的顶点K的坐标为0，），将正方形在轴x轴上方的部分记为图形W．若上所有点都独立于图形，接写出的值范围．【答案】（），；2）＜-5或x＞

．3）＜1-

2或1+

2＜＜

2．【解析】【分析】（）据点P独立于图形W的义即可断；（）出直线DE，线CD与直线的交点坐标即可判断；（）出三种殊位置时的值，结合图象即可解决问.【详解】（）题意可：在（，）P（，）（，），P（，）这四个点中，独立于点是P，3．（）（，）D（，），（，）直CD的析式为，线DE的解析式为y=-x+3，由，得，得直线与直线CD的点的横坐标5，＝x由

＝

＝3，解得，得直线与直线DE的点的横坐标，143＝3满条件的点的坐标xp

的取值范围为：＜或＞

．（）图3-1中，当直线KN与H相于点时连接EH，则，，OT=KT+HK-OH=3+

2

2-1，

T（，

2），时

2，当＜＜1-

2时，H上所有点都独立于图形．如图3-2中当线段与相于点E时，连接．OT=OH+KH-KT=4+

2

2，T（，1+

2），时

2，如图3-3中当线段与H相于点E时，连接EH

2，T（，

2），时

2，当

2＜＜

2时H上所有点都独立于图形．综上所述，满足条件的t的为3＜1-

2或1+2＜

2．【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，一次函数的应用，点P独立于图形W的义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决实际问题

12．图所示，

内接于圆O，CD

于D（）图1，为直径，求证：

ACD

；（）图2，为非直径的弦，连接，则（）结论是否成立？若成立请证明，不成立说明由；（）图3，（）条件下，作

于，交CD于点，接ED且ADBD，DE，

OB

，求CF的长度．【答案】（）解析；2）立；3）

【解析】【分析】（）据圆周定理求，求ADC=90°，再根据三角形内角和定理求出即可；（）据圆周定理求BOC=2A求出和A即可；（）别延长AE、CDO于H、，接HK、、AK，在AD上DG=BD，长CG交AK于M，延长KO交于，连接CN、，求出关于a的方程，再求出a即．【详解】（）明为径，

，AB于D

90

，

OBC

A90

，

A

，

OBC

；（）立，证明：连接，

由圆周角定理得：OCOB，

A

，

902

，

90

，

90

A

，

OBC

；（）别延长AE、CDO于H、，接HK、、AK，BC，CD，

AEC

ADC

，

BCD90，，

，

DFA

，根圆周角定理：

，

BCD

BAH

，由角形内角和理得：

CHE

，CHCF，EHEF

，同理DF，DE，

HK

，在AD上取

DG

，延长CG交AK于，则

AG

，BC

，

BCKBAK

，

CMK90

，延长KO交O于，连接CNAN，则

NAK

，

//AN

，ADK

，四形是行四边形，

AG

，作

OTCK

于，则为CK的中点，为KN的点，

OT

CN

，

OTC

，

OC

，由股定理得：

CT

，

，作直径HS连接，HK，HS，由股定理得：，

tan

HAK

，

tan

tan

BCD

，设

，

CD

，

AD2EDDKCK，，

，

1a3

，解得：

，

DK

13

，

CF

5

．【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．

13．知eq\o\ac(△,)ABC，＝90°点D是BC中点AD＝ACBC＝，A，两点作O交于点，（）弦的长；（）图1，圆心在上点O上动点，连接DM交AB于，求当ON等于多少时，三点、、组成的三角形是等腰三角形？（）图2，圆心不AB上动O与DB相于点Q时过D作（垂足为）交O于，问：O变动时DP﹣DQ的变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．【答案】（）（）ON等1或3﹣时，三点、EM组的三角形是等腰三角形（）变，理见解析【解析】【分析】（）据直角角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；（）DE、，得当ED和EM为等腰三角形EDM的腰，根据垂径定理得论得OEDM，易得eq\o\ac(△,)为边三角形，CAD=60°，DAO=30°，，后3根据含30°的角三角形三边的关系得AD=，；当MD=ME，为底边，作DH，由于3，DAE=30°，到DH=，DEA=60°，，于是OE=DE=2，，又M=，MD=ME得到MDE=75°，则ADM=90°-75°=15°，可得到DNO=45°根据等腰直角三角形的性质得到3则

-1；（）AP、，，得DP则PDB=，根据圆周角定理得PDB，AQC=P，则PAQ=60°，CAQ=易证eq\o\ac(△,)AQC，到则DP-DQ=CQ-DQ=CD，eq\o\ac(△,)为边角形CD=AD=2即可得到DP-DQ的值．【详解】解：（）＝，点是BC中点，43，＝

BC2；（）DE、，图，DM，当ED和为腰三角形的两腰，

OE，又＝，ADC为等边三角形，＝，＝30°，＝，在eq\o\ac(△,)ADN中＝

＝，在eq\o\ac(△,)ODN中＝

＝，当ON等于时三点、、组的三角形是等腰三角形；当MD＝，为边，如图3，DHAE，＝3，＝，＝3，DEA＝，＝，ODE为等边三角形，OE＝＝，＝，＝＝30°而MD＝，＝，ADM＝﹣75°，＝，为腰直角三角形，＝＝，ON＝3﹣；综上所述，当ON等1或3﹣时，三点、E、组成的三角形是等腰三角形；（）当O变时DP﹣的值不变，﹣DQ＝3．由如下：连AP、，如图，C＝CAD＝，而DPAB，DP，PDB＝C＝，又＝，＝，＝，＝ADAQC＝P，APD，DPCQ，

DPDQ＝﹣＝＝2

3．【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等．也考查了等腰三角形的性质以及含的角三角形三边的关系．14．图，已知

BAC,

为

ABC

外心，D为

eO

上一点，

的交点为，且BC．①求：

CD

；②若，e的径为3，I

为内心，求OI的．【答案①证见解析；②2【解析】【分析】①先出

BCAC

，然后求eq\o\ac(△,)BCE和ACB相似，根据相似三角形对应角相等可得=CBE，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可AD，后求出DCBE，后根据等角对等边即可得证；②连OB、，据在同或等圆中，