第三章 3.4 第1课时

第1课时基本不等式第三章

§3.4基本不等式：学习目标XUEXIMUBIAO1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PARTONE知识点一算术平均数与几何平均数算术几何几何解释如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直于AB且交圆O于点P，连接AP，PB.则PO＝

.易证Rt△APQ∽Rt△PBQ，那么PQ2＝AQ·QB，即PQ＝

.知识点二基本不等式常见推论1.对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU2.n∈N*时，n＋

≥.(

)3.x≠0时，x＋

≥2.(

)√√×√2题型探究PARTTWO题型一常见推论的证明例1

证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R).证明∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.引申探究1方法二由例1知，a2＋b2≥2ab.引申探究2证明由例1，得a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，当且仅当a＝b时，取等号.反思感悟(1)作差法与不等式性质在证明中常用，注意培养应用意识.题型二用基本不等式证明不等式例2

已知x，y都是正数.证明∵x，y都是正数，当且仅当x＝y时，等号成立.(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.证明∵x，y都是正数，∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，当且仅当x＝y时，等号成立.反思感悟利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②同向不等式相加是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.跟踪训练2

已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.证明∵a，b，c都是正实数，即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.题型三用基本不等式比较大小例3

某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则√解析第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)，第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b).若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2.依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∵a＞0，b＞0，x＞0，反思感悟基本不等式

一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和.A.R<P<Q

B.P<Q<R C.Q<P<R

D.P<R<Q√解析∵a＞b＞1，∴lga＞lgb＞0，综合①②，有P<Q<R.核心素养之逻辑推理HEXINSUYANGZHILUOJITUILI演绎：条件不等式的证明∵x＞－1，∴x＋1＞0.当且仅当x＝1时，等号成立.素养评析逻辑推理主要有两类：从特殊到一般，从一般到特殊，演绎就是从一般到特殊的一种推理形式.基本不等式的应用关键就是给a，b赋予什么样的值.3达标检测PARTTHREE123451.若0<a<b，则下列不等式一定成立的是√123452.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是√解析对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x<0时，不成立；123453.若四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则√解析因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d均大于0且不相等，123454.lg9×lg11与1的大小关系是A.lg9×lg11>1 B.lg9×lg11＝1C.lg9×lg11<1 D.不能确定√解析∵lg9>0，lg11>0，即lg9×lg11<1.123455.设a>0，b>0，给出下列不等式：其中恒成立的是

.(填序号)①②③12345当a＝3时，