惠来县第六中学七年级数学下册 第九章 不等式与不等式组知识点 新人教版

不式不式知点纳一不式概1．不等式：用不等号表示不等系的式子，叫做不等式。2．等式的解集：对于一个含未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。3．不等式的解集：对于一个含未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。4．解不等式：求不等式的解集过程，叫做解不等式。5．用数轴表示不等式的解集。二不式基性1．不等式两边都加上（或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。2．不等式两边都乘以（或除以同一个正数，不等号的方向不变。3．不等式两边都乘以（或除以同一个负数，不等号的方向改变。说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。②如果不等式乘以0，那么不等改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。例1．已知不等式3x-a≤0的正整解恰是1，2，3则取值范围是。02．已知关于x的等式组无，则a的取值范围是。3．不等式组

的整数解为。4．如果关于x的等式（）x<a+5和的解集相同，则a的为。5．已知关于x的不等式组320是。x6．当时代数式的值不大于零

的解集为

，那么a的取值范围7.若x<１，则

０（用“>””“”号填空8.不式

>１，的正整数解是9.不式>a的集为x３，则

10.若

a

>

>

，则不等式组

的解集是11.若不等式组

1x3

的解集是－x１，则a

的值为12.有解集２<

<３的不等式组是（写出一个即可）13.一罐饮料净重约为３００g，上注有“蛋白质含量的含量为_____g

0.6

”其中蛋白质14.若不等式组的集为x3

>３，则

a

的取值范围是三、一元一次不等式（重点）1．一元一次不等式的概念：一地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2．解一元一次不等式的一般步：（1去分母（2去括号（3移项（4）合并同类项（5）x项系数化为1例：一、判题（每题1分，6分1、a＞b，得a＋m＞b＋m（）2、由a＞3，得a＞

32

（）3、x=2是等式x＋3的（）4、由

1a＞－1，得－＞－a（）225、如a＞b，c＜0，则ac＞bc（）6、如a＜b＜0，则

ab

＜1（）二、填题（每题2分，34）1、若＜b，用“＞”号或“＜号填空－5－5－

a－22

；－1＋2a－1＋2b；6－a6－b2、x与3的不小于－6，用不等式表示为；3、当

时，代数式2x－3的值是正数；14、代数式＋2x的大于8－的值，那么的正数解是4

；5、如果x＜，x；如果－＞0那么；26、不等式ax＞b的解是x＜

ba

，则的值范围是；7、一个长方形的长为x米，宽50，如果它的周长不小于280米，么x应足的不等式为；

x8、点A（－5，y）、B（－，）都在直线y－2x上，则y与y的关系是；9、果一次函数y=（2的图象经过第一、二、四象限，那么m的取范围是；四一一不式（难）1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。2、几个一元一次不等式的解集公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。3、求不等式组的解集的过程，做解不等式组。4、当任何数x都能使不等式时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式解集的公共部分，即这个不等式组的解集。例：一选题1．下列不等式组中，是一元一不等式组的是（）A．

B．C．xy(xx

D．

0,1x2．下列说法正确的是（）3,A．不等式组的集是5<x<3．

xx

的解集是－3<x<－2C．

xx2

的解集是x=2．的集是≠3x3．不等式组

2,3的小整数解为（）xA．．0C．1．44．在平面直角坐标系中，点P（2x－6，x－5在第四象限，则x的取值范围是（）A．3<x<5．．－5<x<3．－5<x<－3

5．不等式组

xx

的解集是（）A．x<3．2<x<3．无解二填题6．若不等式组有解，则m的取范______xm7．已知三角形三边的长分别为2，3和a，则取值范围_____．8．将一筐橘子分给若干个儿童如果每人分4橘子，则剩下9个橘；如果每人分6个橘子，则最后一个儿童分得的橘子数将少于3个，由以上可推出，共有_____个童，分_____个子．2,9．若不等式组三解题

的解集是－1<x<1，则（a+b）．10．不等式组

(2)211．不等式组

xmx

无解，求m的值范围．12．节约用电，某学校于本学初制定了详细的用电计划•如实际每天比计划多用2度电，那么本学期用电量将会超过2530；如果实际每天比计划节约了2度，那么本学期用电量将会不超过2200度．若本学期的在校时间按110天算，那么学校每天计划用电量在什么范围内？

易点析易点：认为一元一次不等式组的“公共部分”就是两个数之间的部分．例解不等式错：①，得x＞1，②，得x＜－2，所以不式组的解集为2＜＜1．错剖：解一一次不等式组的方法是先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式解集的公共部分．此题错在对“公共部分”的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分”（即解集）．实际上，这两部分没有“公共部分”，也就是说此不等式组无解，而所谓“公共部分”的解是指“两线重叠”的部分．此外，有些同学可能会受到解题顺序的影响，把解集表示成1＜或－2＜＞1等这些都是错误的．正：①，得x＞1．②，得x＜－2，所以此等式组无解．易点：认为“同向解集哪个表示范围大就取哪个”．＞6－3，①例不等式2(1)－5－．②3333错：不等式①，得x＞－．不等式②，得＞5由于x＞－的围较大所443以不等式的解集为＞－．4错剖：本例解中，由于对不等式组的解集理解得不深刻，在根据两个解集的范围确定不等式组的解集时，形成错误的认识．其实在求两个一元一次不等式组成的不等式组的解集时，可归纳为以下四种基本类型（设＜），①②③④利用数可确定它们的解集分别为①＞b，②＜，③a＜＜，④空集．也可以用下面的口诀来帮助记忆，“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了（空集）”．

x23x2x23x23正：不等式①，得＞．解不等式②，得＞54所以不等式组的解集为＞5易点：淆解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法．例

＋3)≤11，①解不等式组＋2(＋3)≤3②错：①＋②，得2≤14即x≤7，以不等式组的解集为x．错剖：本例在将解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法混淆，误将解二元一次方程组中的加减消元法用在解一元一次不等式组中．产生此类错误的根本原因是没有正确区分解一元一次不等式组和解二元一次方程组的不同点，）二元一次方程组时，两个方程不是单独存在的；）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，可归纳为“独立解，集中到”，即独立地解不等式组中的每一个不等式组中的每一个不等式，在解的过程中，各不等式彼此不发生关系，“组”的作用在最后，即每一个不等式的解集都要求出来后，再利用数轴从“公共部分”的角度去求“组”的解集．334正：不等式①，得x≥－17，即x≥－．2376由不等式②，得x≤，即≤－27346所以原不等式组的解集为－≤≤．37易点：去分母时，漏乘常数项．＜1①例解等式组＋2≥－．②2错：①，得x＜2．x－21＋2≥－的边乘，得－1≥－2．是11≥－，所原不等式组的解集为2x≥－．33错剖：解一一次不等式组，需要先求出每一个不等式的解，最后找出它们的公共部分．对不等式进行变形时，一定要使用同解变形，不然就容易出错．本例的解答过程中没有掌握不等式的运算性质，在去分母时漏乘了中间的一项．此外，还要注意在表示“大小小大中间取”这类不等式的解集时应按一般顺序，把小的那个数放在前面，大的那

72－b772－b7个数放在后面，用“＜”连接．x－1正：①，得x＜2．＋2－的边同乘，得x≥x．于是2≥－1，所以原不等式组的解集≤＜2．易点：视不等式两边同乘（或除以）的数的符号，导致不等式方向出错．1例解关于的等式（－）＞1a．2错：去母，得(1－2))．将等式两边同时除以（1a）得x＞2．错剖：在利不等式的性质解不等式时，如果不等式两边同乘（或除以）的数是含字母的式子，应注意讨论含字母的式子的符号．本例中不等式两边同乘(或除以)的1－2a)，在不确定值符号的情况下进行约分，所以出错．正：不等式变形，(－2)＞2(1－2)．1（1）当1－2＞0，即a＜，x＞2；21（2）当1－2＝0，即a＝，不等式无解；21（3）当1－2＜0，即a＞，x＜2．2例

10如果关于x的等(a－)＋－5＞0的解是＜，关于x的不式7＞的集_________．错：因为不等式（－b）＋a－5b＞0的解集是＜，

105－a10，所以＝，则有3解得从而知ax＞的集是x．5错剖：本题因有两个，一是忽视了原不等式的不等号方向与解集的不等号方向正好相反；二是对含有字母系数的不等式没有根据解集的情况确定字母系数的取值范围，3所以在解题时错误得解从而错误得到ax的集是x．，5＜010正：不等式（2－b）x＋a－＞0的集是＜，得10解7＝，b7

，33所以＞的集是x．＝．55易点：找待定字母的取值范围时易漏特殊情况．例若关于

，的不等式组

无解，则

a的取值范围是________________．，错：由得又因为不等式组无解，所以a的取范围是＞3错剖：由知等式的解集确定不等式组的解集时，可按“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了”的基本规律求解，但当已知不等式组的解集而求不等式的解集中待定字母取值范围时则不能完全套用此规律，还应考虑特例，即＝3有≤3及x＞3，而此时不等式组也是无解的．因此，本题错在没考虑待定字母的取值范围的特殊情况．，正：由得又因为不等式组无解，所以a的取范围是≥3例8已关于的不等式组_________．

的整数解共有5个则a的取值范围是错：由解得又因为原不等式组的整数解共有5个所以a≤＜2，这5个数解为－3，－2，－1，1从而有a≤－3(或＝－3)错剖：本题要考查同学们是否会运用逆向思维解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解．上述解法错在忽视≤＜2中有5个整数解时a虽不唯一，但也有一定的限制a的值范围在－3与4之，其中包括，但不应包括－4，以错解在确定a的取范围时扩大了解的范围．正：由解得又因为原不等式组的整数解共有5个所以2．又知这5个数解为3，－2－1，0，1故a的值范围是－4＜≤－3．

a≤＜总之，对于解一元一次不等式（组）问题，我们要深刻领会一元一次不等式（组）的基础知识，熟悉这个错点，牢固地掌握一元一次不等式（组）的解法和步骤，从而远离解一元一次不等式（组）的错误深渊．

中考解：（2012山东州3分不等式

x

的解集是【】A．

x

B．

x2

C．

x

D．空集【案A。【点解一元一次不等式组。【析解元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此，解+1得x，x+8x得x。同取大，得不等式组的解集是：x．选。（2012山东州3分李明同学早上骑自行上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟他骑自行车的平均速度是250米分，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米如果他骑车和步行的时间分别为分钟，列出的方程是【】A．

xy2900

yB．yC．y【案D。

D．

xyx2900

【点由实际问题抽象出二元一方程组。【析李明同学骑车和步行的时分别为x,y分，由题意得：李明同学到学校共用时15分钟所以得方程：x+y。李明同学骑自行车的平均速度是250分钟，x分骑了250米步行的平均速度是80米/分钟，y分走了80y米他家离学校的距离是2900米所以得方程：+80=2900。故选D。（2012山东州3分已知

a+2b=4

，则a+b等【】AB．

C．2D．1【案A。【点解二元一次方程组。【析两式相加即可得出4a+4b=12方程的两边都除以4即得出答案：a+b=3。选A。（2012山东营3）程kx+=0有个实数根，则k的值范围是【】．A．kB．k≤1C．k>1【案D。【点一元二次方程的意义和根判别式。【析当k=1时，原方程不成立故k≠1

D．k<1当k≠1时，方程kx+=0一元二次方程。∵此方程有两个实数根，∴b4ac）k。综上k的值范围是k＜1。故选D。

，解得：ny=8（2012山东泽3分已知是二元一次方程的，则2m的y=1nx=1术平方根为【】

babaA．±2

B．2C．2D4【案C。【点二元一次方程组的解和解元一次方程组，求代数式的值，算术平方根。【析∵

xy=1

是二元一次方程组

+ny=8+的解，∴，得2n=1

。∴m=2。2的术平方根为2故选C。11（2012山东芜分）于非零的实数a、b，规定a⊕b＝－．2⊕(2xba＝1，则x＝【】A．

5531B．C．．－6426【案A。【点新定义，解分式方程。111【析∵a⊕b＝－，2⊕(2x－1)＝1∴2⊕(2x＝。2x2∴

35=32x=26xx=。2x2检验，合适。故选A。山东芜3分已知m是程x2x＝0的根，则代数式m＋n＋3mn

的值为【】A．±3C．3．5【案C。【点一元二次方程根与系数的系，求代数式的值。【析∵m是程x＋22x＋1＝0的根，∴m＋n=，mn=1。∴+n+3mn=

+mn=

+1=8+1=。选C（2012山东沂3分用配方法解一元二次程

x

时，此方程可变形为【】A．

B．

C．

D．

【案D。【点配方法解一元二次方程。

22【析

2

xx

2

x

。故选D。（2012山东沂3分不等式组2A．．

的解集在数轴上表示正确的是【】C．

D．【案A。【点解一元一次不等式组，在轴上表示不等式的解集。【析解元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此，x

。不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个。在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。因此，在数轴上表示为：故选A。y（2012山东临分关于xy的方程组的是xn

，则

m

的值是【】ABC．2D【案D。【点二元一次方程组的解和解元一次方程组，求代数式的值。

【析∵方程组

y的是，。xmy∴

m==1

。选。（2012山日4分）知关于x的元二次方程(k－2)x不相等的实数根，则k的值范围是【】

＋(2k＋1)x有两(A)k>

443且k≠2(B)k≥且k(C)>且k≠2(D)k≥334

且k≠2【案C。【点一元二次方程根的判别式一元二次方程的定义。【析∵方程为一元二次方程，－2≠0即k≠2。∵方程有两个不相等的实数根，eq\o\ac(△,，)∴（2k＋1）－4－2）＞0，（2k＋1－2k＋4（2k＋1＋2k－4）＞0，∴5（4k）＞0，k＞。∴k的取值范围是k＞

且≠2故选C。（2012山日4）校学生志愿服务小组在“学雷锋”动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老.如果分给每位老4盒牛奶，那么剩28盒牛奶如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不盒，但至1盒.则这个敬老院的老人最少有【】（A）29人）30人（C）31（D）32人【案B。【点一元一次不等式组的应用【析设这个敬老院的老人有x，则有牛奶4x＋28盒，根据关键语句“如果分给每位老人5盒奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒可得不等式组：

，解：29＜x。∵x为数，∴x最少为30。选。

（2012山东泰分将不等式组是【】A．C．

xxxD．

的解集在数轴上表示出来，正确的B．【案C。【点解一元一次不等式组，在轴上表示不等式的解集。【析解元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此，xx

，由①得，x＞3由②得，x≤4∴其解集为3＜

≤4。不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个。在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。因此，3＜≤4在轴上表示为：故选C。2x+3>5（2012山东潍分不等式组的解等于【】A．1<x<2．x>1C．x<2．或x>2【案A。【点解一元一次不等式组。

【析解元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此，解2x＞5得，＞1；解3x－2，＜2∴此不等式组的解集为：1＜x＜2。故选A。山东坊3分下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个置相邻的9个(如6，7，8，l3，14，20，21．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为，这个数和为【】．A．32B．126C．135．144【案D。【点分类归纳（数字的变化类，一元二次方程的应用。【析由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为，已知最大数与最小数的积为192，所以设最大为x，则最小数为－16∴x（x－16，得x=24或x=－8负数舍去）。∴最大数为24，最小数为8。∴圈出的9个为8，9，10，15，16，17，23，24和为144。故选D。

11

有数加法有数加第1时理的法1．通过实例，了解有理数加法意义，会根据有理数的加法法则进行有理数的加法运算．2．能运用有理数的加法解决实问题．重点了解有理数加法的意义，会根据有理数加法法则进行有理数的加法运算．难点有理数加法中的异号两数如何进行加法运算．活动1：创设情境，导入新课师：我们已学过正数的加法，但是在实际问题中还会遇到超出正数范围的加法情况，此时应该怎样进行计算呢？活动2：自主学习探究加法法则师：布置自学任务．自学教材16页的内容，归纳并识记有理数的加法法则．这一段大约用时15分，教师视指导，要关注学生能否正确理解加法法则的内容．有理数加法的法则是：1．同号两数相加，取相同的符，并把绝对值相加；2．绝对值不同的异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得3．一个数与0相加仍得这个数．活动3：运用法则试一试身手：口答下列算式的结果：(1)(＋(＋3)；(2)(－4)＋(－3)＋4)＋(－3)(4)(＋(－4)；(5)(＋4)＋(－4)－3)＋0(7)0＋(；(8)0学生逐题口答后，师生共同得出．进行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，有一个加数是否为零；再根据两个加数符号的具体情况，选用某一条加法法则．进行计算时，通常应该先确定“和”的符号，再计算“和”的绝对值．教师：出示教材例1，生共同成，教师规范写出解答，注意解答过程中讲解对法则的应用．解：(1)(－3)＋(－9)(两个加数同号，用加法法则的第1计算)＝－(3＋9)(和负号，把绝对值相)＝－12.(2)(＋3.9(两个加数异号用加法法则的第计算16

＝－3.9)(和取负号，用的绝对值减去小的绝对)＝－0.8.教师点评法则运用过程中的注意点：先定符号，再算绝对值．下面请同学们计算下列各题以及教材第18页练习．(1)(＋(＋1.5)；(2)(＋2.7)＋(－3)；(3)(＋(－2.9)．学生练习，四位学生板演，教师巡视指导，学生交流，师生评价．本节课教师可根据时间的情况，多安排一些练习，以求通过练习达到巩固掌握知识的目的．活动4：小结与作业小结：谈一谈你对加法法则的认识，在加法计算中都应该注意哪些问题？作业：必做题，习题第1，11；选做题，习题第12题．数学思想方法的渗透不可能立即见效，也不可能靠一朝一夕让学生理解、掌握，所以，本节课在这一方面主要是让学生感知研究数学问题的一般方(分、辩析、归纳、化归等)．在探究加法法则时，意识地把各种情况先分为三类(同、异号、一个数同0相加)；在运用法则时，当和的号确定以后，有理数的加法就转化为算术的加减法．17

浅因分多项式的因式分解是代数式中一部分重要内容，它与前一章整式和后一章分式联系极为密切．因式分解方法的理论依据是多项式乘法的逆变形，它是后一章分式的通分、约分的基础，进而直接影响