新教材人教B版选择性必修第二册4.2.1随机变量及其与事件的联系学案

4.2随机变量4.2.1随机变量及其与事件的联系课标解读课标要求素养要求1.理解随机变量的含义.2.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念.3.能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义.4.会借助随机变量间的关系解题1.数学抽象——能理解随机变量的含义，正确写出离散型随机变量的可能取值.2.数学运算——能借助随机变量间的关系快速运算自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一随机变量（1）定义:一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有①唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量.（2）表示:一般用大写英文字母X,Y,Z,…或小写希腊字母ξ,η,ζ,…表示.（3）取值范围：随机变量②所有可能的取值所成的集合，称为这个随机变量的取值范围.要点二随机变量与事件的联系一般地，如果X是一个随机变量，a,b都是任意实数，那么X=a,X≤b,X>b等都表示事件，而且：（1）当a≠b时，事件X=a与X=b③互斥；（2）事件X≤a与X>a相互④对立，因此P(X≤a)+P(X>a)=⑤1.要点三随机变量的分类（1）离散型随机变量：如果随机变量的所有可能取值都是可以一一列举出来的，那么它们都是离散型随机变量.（2）连续型随机变量：与⑥离散型随机变量对应的是连续型随机变量，一般来说，连续型随机变量的取值范围包含一个⑦区间.要点四随机变量之间的关系一般地，如果X是一个随机变量，a,b都是实数且a≠0，则Y=aX+b也是一个⑧随机变量，由于X=t的充要条件是Y=at+b，因此P(X=t)=⑨P(Y=at+b).自主思考1.盒中有2个正品零件和3个次品零件，现从中任取3个零件，取到的零件中正品零件的个数X的取值范围是什么？答案：提示{0,1,2}.2.若随机变量X,Y之间存在线性关系，X与Y的类型有何关系？答案：提示若随机变量X,Y之间存在线性关系，即Y=aX+b，则X,Y的类型相同，即要么同为离散型随机变量，要么同为连续型随机变量.名师点睛1.随机变量的取值由随机试验的结果决定.随机试验的结果具有两个特性：（1）可变性，即每次试验对应的结果不尽相同.（2）确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果.2.随机变量之间的关系：（1）确定的随机变量X和Y的等量关系的实质：当X的值确定之后，Y的值也就确定，反之亦然.（2）确定等量关系的随机变量X和Y的取值范围：已知Y=aX+b，求Y的取值范围即将X的范围代入等式进行代数运算.（3）确定等量关系的X和Y的概率关系：若Y=aX+b，则P(X=t)=P(Y=at+b).互动探究·关键能力探究点一随机变量的判断自测自评1.给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量.其中正确的个数是()答案：D解析：由随机变量定义可以直接判断①②③④都是正确的.故选D.2.下列随机变量X不是离散型随机变量的是()A.某机场候机室中一天的旅客数量为XB.某寻呼台一天内收到的寻呼次数为XC.某草莓大棚观察到一天中室内温度为XD.某十字路口一天经过的车辆数为X答案：C解析：A、B、D中的随机变量X可能取的值，都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；C中的X3.（2020广西桂林第二高级中学高二模拟）已知下列随机变量:①10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数X；②一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分；③刘翔在一次110米跨栏比赛中的成绩X；④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数X.其中X为离散型随机变量的是()A.①②③B.②③④C.①②④D.③④答案：C解析：③中X的值可在某一区间内取值，不能一一列出，故不是离散型随机变量.故选C.解题感悟“三步法”判断离散型随机变量（1）依据具体情境分析变量是不是随机变量.（2）由条件求解随机变量的取值情况.（3）判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量.探究点二随机变量的取值范围及其应用自测自评1.某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ=5”表示的试验结果是()A.第5次击中目标B.第5次未击中目标C.前4次均未击中目标D.第4次击中目标答案：C解析：“ξ=5”表示前4次均未击中目标，而第5次可能击中目标，也可能未击中目标，故选C.2.袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放入袋中5次球”的事件为()A.X=4B.X=5C.X=6D.X≤4答案：C解析：“放入袋中5次球”，即第6次抽取到了红球，即X=6.3.写出下列随机变量的取值范围.（1）张大爷在环湖线路旁种了10棵树苗，设成活的树苗为ξ；（2）掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数ξ；（3）一袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋中随机取出3个球，被取出的球的最大号码数ξ；（4）电台在每个整点都报时，报时所需时间为分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟.答案：（1）ξ的取值范围为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.（2）ξ的取值范围为{1,2,3,4,5,6}.（3）ξ的取值范围为{3,4,5}.（4）ξ的取值范围为[0，59.5].解题感悟随机变量的取值范围类似于函数的定义域，因此只要明确随机变量的取值同试验结果的对应关系，即可求出随机变量的取值范围.探究点三随机变量之间的关系及其应用精讲精练例某商场的促销员是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1500元，每工作1天再获取100元.从该商场促销员中任意抽取一名，设其月工作时间为X天，获取的税前月工资为Y元.（1）当X=25时，求Y的值；（2）写出X与Y之间的关系式；（3）若P(Y＞3500)=0.7，求P(X≤20)答案：（1）当X=25时，Y=25×100+1500=4000.（2）由题意可知Y=100X+1500.（3）由Y＞3500可知100X+1500即X＞20∴P(X＞20)=P(Y∴P(X≤20)=1-0.7=0.3.解题感悟1.求解此类问题的关键是明确随机变量的取值所表示的含义.对于变量间的关系问题，可类比函数关系求解.2.对立事件的概率和为1，常借助此关系求对立事件的概率.迁移应用1.某城市建设集团塔吊工人师傅的税前月工资按下述方法计算：固定工资3000元，每工作一小时再获取60元，从该公司塔吊师傅中任意抽取一名，设其月工作时间为X小时，获取的税前工资为Y元.（1）当X=200时，求Y的值；（2）写出X和Y之间的关系式；（3）若P(Y＞16200)=0.58，求P(X≤220)答案：（1）X=200，即该师傅该月工作了200小时，所以Y=3000+200×60=15000.（2）由题意可得Y=3000+60X.（3）因为Y＞16200，即3000+60X＞16200，即X＞220评价检测·素养提升课堂检测1.下列变量中为离散型随机变量的是()A.到2020年10月1日为止，我国发射的卫星B.一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高C.某人在车站等出租车的时间D.某人投篮10次，可能投中的次数答案：D解析：离散型随机变量的取值是可以一一列举的，结合选项可知D正确.2.如果X是一个离散型随机变量，且Y=aX+b，其中a,b是常数且a≠0，那么Y()A.不一定是随机变量B.一定是随机变量，不一定是离散型随机变量C.可能是定值D.一定是离散型随机变量答案：D解析：由于X是离散型随机变量且Y=aX+b，故Y与X具有线性关系，所以Y一定是离散型随机变量.3.若P(X≤1)=0.7，则P(X＞答案：解析：∵P(X≤1)+P(X＞1)=1∴P(X＞素养演练数学运算——随机变量在生活中的应用1.自新冠肺炎疫情发生以来，全球医用防护物资几度告急，缺口较大，为了提高产能，缓解供求压力，某地方政府响应国家号召积极采取措施激励生产，共度时艰，具体措施如下：政府统一规划相应急缺物资订单，根据相应产能匹配企业接单制作，在保质保量的前提下，接单企业每超额完成一批订单，政府额外补贴2万元，假设接单企业均能按约完成任务，而且每月超额的订单数不超过10个，从这批企业中随机抽出一家，记抽出的企业超额的订单数为X个，获得的超额奖励为Y万元，则X和Y均为随机变量.问题：（1）当X=5时，Y的值是多少？写出X和Y之间的关系；（2）根据生产实际分别写出X和Y的取值范围；（3）若P(Y＞200)=0.68，求P(X≤100)答案：（1）因为X=5表示超额完成了5个订单，所以按照