专题12探索性问题(第01期)-2021年中考数学试题分项版解析汇编(原卷版)

1.（2021浙江衢州第7题）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（）A．①B．②C．③D．④2.（2021浙江衢州第10题）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8。则图中阴影部分的面积是（）25244D.245A.B.C.1023.（2021山东德州第9题）公式LLKP0L表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度.表0示弹簧的初始长度,用厘米(cm)表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧的长度，用厘米(cm)表示。下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（）A．L=10+0.5PB．L=10+5PC．L=80+0.5PD．L=80+5P4.（2021山东德州第12题）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形的中点，构成4个小三角形，挖去中间的小三角形（如题1）；对剩下的三角形再分别重复以上做法，……，将这种做法继续下去（如图2，图3……），则图6中挖去三角形的个数为（）A．121B．362C．364D．7295.（2021浙江宁波第12题）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是()6.（2021重庆A卷第10题）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（）C绕顶点逆时针旋转得到PA'B'是的中点，是的中点，连接，若4321A．B．C.D．8.（2021湖北武汉第10题）如图，在RtABC中，C90，以ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4B．5C．6D．79.（2021贵州黔东南州第10题）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．.10.（2021四川泸州第12题）已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的13距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF4周长的最小值是（）A．3B．4C．5D．611.（2021四川自贡第11题）填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为（）A．180B．182C．184D．1861.（2021浙江衢州第14题）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是．2.（2021浙江衢州第15题）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为x3．（2021浙江衢州第16题）如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在轴上，B在第二象限。△ABOx沿轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__________；翻滚2021次后AB中点M经过的路径长为__________4.（2021浙江宁波第15题）如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑦个图案有个黑色棋子．5.（2021浙江宁波第17题）已知△ABC的三个顶点为A1,1，B1,3，C3,3，将△ABC向右平3x.6.（2021甘肃庆阳第18题）下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为，第2021个图形的周长为．7.（2021贵州安顺第18题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形ABB顶点Bn的横坐标nn1n﹣为．8.（2021贵州安顺第17题）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．9.（2021湖南怀化第16题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC120°，AB10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为cm.10.（2021甘肃兰州第20题）如图，在平面直角坐标系xOy中，ABCO的顶点A，B的坐标分别是A3,0，3B0,2，动点P在直线yx上运动，以点P为圆心，PB长为半径的⊙P随点P运动，当⊙P与四边形2ABCO的边相切时，P点的坐标为.11.（2021贵州黔东南州第16题）把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为（0，1），∠ABO=30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2C垂直且交y轴于点B3；…按此规律继续下去，则点B2021的坐标为．12.（2021江苏徐州第18题）如图，已知OB1OB，以为直角边作等腰直角三角形ABOOA.再以为直11角边作等腰直角三角形AAO21OA，如此下去，则线段的长度为．nntanBAC1，tanBAC1，计算tanBAC，……按此规律，写出tanBAC37nn（用含的代数式表示）．3045ABCDEFBCEF14.（2021浙江嘉兴第16题）一副含和角的三角板和叠合在一起，边与重合，BCEF12cm（如图1），点G为边BC(EF)FDABH的中点，边与相交于点，此时线段的长BH是．现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图2），在CGF060从到的变化过程H中，点相应移动的路径长共为．（结果保留根号）三、解答题1.（2021浙江衢州第23题）问题背景如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形。类比研究如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）。（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由；（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BDa，ADb，ABc，请探索，a12.（2021山东德州第24题）有这样一个问题：探究同一坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y=x与kkkk1yy=x与y=x，当k>0时y=（k0）的图象性质.小明根据学习函数的经验，对函数=（k0）xxk的图象性质进行了探究，下面是小明的探究过程：kx图像的交点为A,B.已知A的坐标为(-k，-1)，则B点的坐标1（1）如图所示，设函数y=x与y=k为.(2)若P点为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点.①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N.求证：PM=PN.k证明过程如下：设P(m，)，直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).mkab-+=-1a则k解得mabb+=m所以,直线PA的解析式为．请把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明.②当P点坐标为(1,k)(k≠1)时，判断ΔPAB的形状，并用k表示出ΔPAB的面积.11(1)如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B∠D，∠C∠A，求∠B与∠C的度数之和；22(2)如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BDBO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE2∠EAF.求证：四边形DBCF是半对角四边形；(3)如图3，在(2)的条件下，过点D作DGOB于点H，交BC于点G，当DHBG时，求△BGH与△ABC的面积之比.4.（2021重庆A卷第25题）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；Fs()（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．5.（2021湖南怀化第24题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bx5与x轴交于A1,0，B5,0两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是y轴上的一点，且以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；(3)如图2，CE∥x轴玮抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；(4)若点K为抛物线的顶点，点M4,m是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标.6.（2021江苏无锡第25题）操作：“如图1，P是平面直角坐标系中一点（x轴上的点除外），过点P作PC⊥x轴于点C，点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q．”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换．3（1）点P（a，b）经过T变换后得到的点Q的坐标为；若点M经过T变换后得到点N（6，﹣），则点M的坐标为．3（2）A是函数y=x图象上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B．2①求经过点O，点B的直线的函数表达式；②如图2，直线AB交y轴于点D，求△OAB的面积与△OAD的面积之比．7.（2021江苏盐城第24题）如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．8.（2021江苏盐城第26题）【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最的大矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最，大随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最面大积与原三角形面积的比值为．【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．【实际应用】4如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，3木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．9.（2021山东烟台第23题）【操作发现】（1）如图1，ABC为等边三角形，先将三角板中的600角与ACB重合，再将三角板绕点按顺时针CABD方向旋转（旋转角大于00且小于300）.旋转后三角板的一直角边与交于点.在三角板斜边上取一点F，使CFCD，线段AB上取点E，使DCE300AFEF，连接，.①求EAF的度数；DEEF②与相等吗？请说明理由；