工科数分课件第二章3节连续函数

§3设(a,bR,x0(ab), f(x)f(x0x则称fx)在x0处连续

0, f(x)f(x0)

x

时,的选取和点x0及都有关 证明sinx，cosx在R上任意一点连续 x0sinxsin

x

xx0 sinxsin

2|sin(xx0)|2|(xx0) 0,min{

2},|xx0

sinxsinx0limsinxsinx0 limcosxcosx0x x设(a,bR,x0(ab), f(x)f(x0xx0则称f(x)在点x0处左连续 f(x)f(x0xx0则称fx)在点x0处右连续定理5.1fx)x0 f(x) xx0 xx0

f(x)f(x0 当a取何值时a x函数f(x)cos xa x f(0)limf(x)limcosx limf(x)lim(ax) 要使f(00)f(00)f a 函数f(x)在x0处连续

若fx)在x0连续则fx)在x0的某邻域内有界若fx)在x0连续且fx00(0),|xx0|,有fx0(若函数f( g(x)在点x0处连续,f(x)g(x),f(x)g( f(x)(g(x)g( x0处也连续定理5.5（复合函数g在t0fx0连续,

yfg(t)]在点t0也连续 如果函数在开区间I内任意一点都连续,则称f(x)在开区间I上连续. 对闭区间I[a,b]若f(x)在(a,b)上连续,且在a,b点分别右、左连续fx)在闭区间[ab]上连续定理2（反函数 设f(x)是在区间I[a,b]严格单调递增(递减)的连续函数则f1是区间fI)上证：不妨设fx)为[ab]上严格单调递增函数，则f1的定义域为[f(a),f(b)].对0

[f(a),f(b)],设0

f1(y0对0,x1x2[ab]x0x1x0x2x0令y1fx1y2fx2y1y0y2令min{y2y0y0y1}则当|y0

xf1(y)x 故|f1yf1y||xx| 所以，f1在区间f(a),f(b)]上连续(1)由sinx,cosx在(,)内连续tanx,cotx,secx,cscx在其定义域内连续

证明fx)ax(a0,a1)0xR,limaxlimaxx00x

xax0limaxx0 ax0limatxx0 t0只需证在x0处连续即limax1f（i）当a1时, 由lim

0,NN*,使0a

1,当0x时0a 1a 11N1limax1.xlimax

x

limaylim1

y0a

limaylimaxf(0（ii）a1limax

1fx0

x01

yax

x0a(a0,a在(,)内单调且连续对数函数y a

(a0,a由yxalogayx在其定义域内连续fx)x0处连续必须满足的三个条件fx)在点x0处有定义limfx)存在xlimf(x)f(x0xfx)x0处左,右极限都存在）f(x00)f(x0）f(x00)f(x00)f(x05讨论函数fx)

x

在x0处的连续性解f(00)f(00)

1

xyf(00)f(0 x0为函数的跳跃间断点6f(x)

x, 0x x

y1 y 1

x

在x1处的连续性

fx)在点x0,则称点x07fx

x

在x0处的连续性yox xyox解f(00) f(00)x1为函数的第二类间断点 讨论函数f(x)sin1在x0处的连续性x 在x0处没有定义且limsin1不存在

x0为第二类间断点 yysinx例9 xR(x)R(x)q

pq0,pq互素, 无理数 x0R,limR(x)x0,取

*,

1

在x1x1)中q q0满足0qq的分数 仅有有限多个 所以存在0,使得在x0x0的分母qq0

当0|xx0|时若x为有理数,|R(x)|1 1 limR(x)x0Rx)在一切有理点都是可去间断点在一切无理点都是连续点.

设fx)在(ab)则 (a,b),f(x),f(x)存在 x0(a,b),axx0,f(x) f(x0fx)在a,x0)上有界f(x)在(a,x0)上有上确界,A x(a,x0

f(①fx0是上界,Afx0②0,xx0(ax0使fx0A③f,xx0x0有f(x)f(x0)A