北师大版必修第二册6-5-1直线与平面垂直作业

课时作业(四十二)直线与平面垂直1．(多选)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中不正确的有()A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案：ACD解析：借助正方体，找到反例，发现A，C，D错误．只有B正确．2．(多选)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系正确的是()A．PA⊥BC B．PC⊥BCC．BC⊥平面PAC D．AC⊥PB答案：ABC解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，A正确．∵AB为圆的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，B，C正确．3．在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为()A．相交但不垂直 B．垂直但不相交C．不相交也不垂直 D．无法确定答案：B解析：如图，AO⊥平面BCD，由AB⊥CD，AD⊥BC，易证O为△BCD的垂心．故应选B．4．如图，半径为1的⊙O?平面α，PO⊥α，直线l?α，且l和⊙O相切，若PO＝2eq\r(2)，则点P到l的距离()A．eq\r(7) B．eq\r(5)C．3 D．不能确定答案：C解析：设l与⊙O切于点A，则OA⊥l.又∵PO⊥l，∴l⊥平面POA，∴PA⊥l，即PA为点P到l的距离．∴PA2＝PO2＋OA2＝9，∴PA＝3.5．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°答案：D解析：设AB长为1，由PA＝2AB，得PA＝2，又多边形ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，所以△PAD为直角三角形．∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，∴PD与平面ABC所成的角为45°，故选D．6．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点．现沿AE，AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B，C，D三点重合于点G，则下列结论中成立的是________．(填序号)①AG⊥平面EFG；②AH⊥平面EFG；③GF⊥平面AEF；④GH⊥平面AEF.答案：①解析：∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G，∴AG⊥平面EFG.7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．答案：4解析：∵正四面体的侧棱EF与平面α不垂直，由平面的无限伸展性可知EF必与正方体的上下前后4个面所在的平面相交．8．如图，平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平行四边形ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是________．答案：垂直解析：∵在?ABCD中O是BD，AC的中点，又∵PA＝PC，PD＝PB，∴PO⊥AC，PO⊥BD，∴PO⊥平面ABCD．9．如图所示，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点．求证：AC⊥平面BDE.证明：∵AB＝BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC，又DA＝DC，∴DE⊥AC，∴AC⊥平面BDE.10．在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.证明：如图，连接AC，BD，则O为AC，BD的交点．∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥BB1.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(∴AC⊥BO，AC⊥BB1，,BO∩BB1＝B))?AC⊥平面BB1O.又∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC．∴EF⊥平面BB1O.11．如图①，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图②所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝eq\f(\r(2),2).(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝eq\f(2,3)时，求三棱锥F－DEG的体积VF－DEG.(1)证明：在等边三角形ABC中，AD＝AE，∴eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC)，在折叠后的三棱锥A－BCF中也成立，∴DE∥BC，∵DE?平面BCF，BC?平面BCF，∴DE∥平面BCF.(2)证明：在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，BF＝CF＝eq\f(1,2).∵在三棱锥A－BCF中，BC＝eq\f(\r(2),2)，∴BC2＝BF2＋CF2，∴CF⊥BF.∵BF∩CF＝F，∴CF⊥平面ABF.(3)解：由(1)可知，GE∥CF，结合(2)可得，GE⊥平面DFG.∴VF－DEG＝VE－DFG＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·DG·FG·GF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(\r(3),2)))×eq\f(1,3)＝eq\f(\r(3),324).12．如图，矩形ABCD中，已知AB＝2AD，E为AB的中点，M为DE的中点，若将△AED沿DE折起，使AB＝AC，求证：AM⊥平面BCDE.证明：如图，取BC中点N，连接AM，MN，AN，∵AB＝AC，∴AN⊥BC．又∵MN⊥BC，MN∩AN＝N，∴BC⊥平面AMN，则BC⊥AM.又∵AD＝AE，∴AM⊥DE，而BC与DE又相交，∴AM⊥平面BCDE.[学有余力]13．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．(1)求三棱锥A－MCC1的体积；(2)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC．(1)解：连接AM，AC，AC1，C1M，CM，由长方体ABCD－A1B1C1D1知，AD⊥平面CDD1C1，所以点A到平面CDD1C1的距离为AD＝1，又S△MCC1＝eq\f(1,2)CC1×CD＝eq\f(1,2)×2×1＝1，所以VA－MCC1＝eq\f(1,3)AD×S△MCC1＝eq\f(1,3).(2)证明：将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面，当A1，M，C共线时，A1M＋MC取得最小值．由AD＝CD＝1，AA1＝2得M为DD1的中点，连接C1M，在△C1MC中，MC