两个总体的假设检验

两个总体的假设检验第1页/共33页2本章教学目标掌握运用Excel的“数据分析”及其统计函数功能求解两个总体的假设检验问题。

第8章两个总体的假设检验第2页/共33页3本章主要内容：§8.1案例介绍§8.2两个独立正态总体均值的检验§8.3成对样本试验的均值检验§8.4两个正态总体方差的检验(F检验)§8.5两个总体比例的检验§8.6两个总体的假设检验小结

第3页/共33页4【案例1】新工艺是否有效？某厂生产的一种钢丝的平均抗拉强度为10560(kg/cm2)。现采用新工艺生产了一种新钢丝，随机抽取10根，测得抗拉强度为：

10512,10623,10668,10554,1077610707,10557,10581,10666,10670

求得新钢丝的平均抗拉强度为10631.4(kg/cm2)。是否就可以作出新钢丝的平均抗拉强度高于原钢丝，即新工艺有效的结论?

§8.1案例介绍第4页/共33页5

为分析甲、乙两种安眠药的效果，某医院将20个失眠病人分成两组，每组10人，两组病人分别服用甲、乙两种安眠药作对比试验。试验结果如下：两种安眠药延长睡眠时间对比试验(小时)(1)哪种安眠药的疗效好？(2)如果将试验方法改为对同一组10个病人，每人分别服用甲、乙两种安眠药作对比试验，试验结果仍如上表，此时结论如何？

案例1——哪种安眠药的疗效好？第5页/共33页6设总体X1～N(1,12)，

X2～N(2,22)，且X1和X2相互独立。和S12,S22分别是它们的样本的均值和样本方差，样本容量分别为

n1和n2。原假设为H0：1=2§8.2两个独立正态总体均值的检验第6页/共33页7

可以证明，当H0为真时，统计量其中：完全类似地，可以得到如下检验方法：～

t(n1+n2-2)称为合并方差。1.12=22=

2，

但

2未知(t

检验

)第7页/共33页8测得甲,乙两种品牌轿车的首次故障里程数数据如下：甲品牌X1：1200,1400,1580,1700,1900乙品牌X2：1100,1300,1800,1800,2000,2400设X1和X2的方差相同。问在水平

＝0.05下，(1)两种轿车的平均首次故障里程数之间有无显著差异?(2)乙品牌轿车的平均首次故障里程是否比甲品牌有显著提高?

【案例2】轿车质量差异的检验第8页/共33页9解：⑴双边检验问题S12=269.62，S22=471.9212=22=2未知，n1=5，H0：1=2H1：1≠2。由所给数据，可求得∵|t|=0.74<t/2(n1+n2-2)=t0.025(9)故两种轿车的平均首次故障里程间无显著差异，即两种轿车的该项质量指标是处于同一水平的。

n2=6，=2.2622第9页/共33页10(2)左边检验

∵t=-0.74>-t(n1+n2-2)=-t0.05(9)=-1.833故乙品牌轿车平均首次故障里程并不显著高于甲品牌。显然，对给定的水平，若单边检验不显著，则双边检验肯定不显著。但反之却不然，即若双边检验不显著，单边检验则有可能是显著的。

H1：1＜2第10页/共33页11用Excel检验两总体均值

可用Excel的【工具】→“数据分析”→“t检验：双样本等方差假设”，检验12=22=2，但2未知时两个总体的均值。

在Excel的输出结果中：“P(T<=t)单尾”

t(统计量)0f(t)“P(T<=t)单尾”的值(概率)—单边检验达到的临界显著性水平；“P(T<=t)双尾”—双边检验达到的临界显著性水平。

由图可知：P(T<=t)双尾=2×P(T<=t)单尾“P(T<=t)单尾”和“P(T<=t)双尾”统称为“p

值”。第11页/共33页12“P(T<=t)单尾”与“P(T<=t)双尾”的使用

从而，若“P(T<=t)单尾”或“P(T<=t)双尾”>0.05，则结果为不显著；“P(T<=t)单尾”或“P(T<=t)双尾”<0.05，则一般显著；“P(T<=t)单尾”或“P(T<=t)双尾”<0.01，则高度显著；“P(T<=t)单尾”或“P(T<=t)双尾”<0.001，则极高度显著。本例中：∵“P(T<=t)单尾”=0.2387>0.05；“P(T<=t)双尾”=0.4773>0.05，故无论单边还是双边检验结果都不显著。tt“P(T<=t)单尾”由图可知：

t>t

等价于“P(T<=t)单尾”<

t>t/2

等价于“P(T<=t)双尾”<第12页/共33页13

此时，可用Excel的【工具】→“数据分析”→“t检验：双样本异方差假设”检验12≠22且都未知时两个正态总体的均值。2.12≠22且未知第13页/共33页14

为分析甲、乙两种安眠药的效果，某医院将20个失眠病人分成两组，每组10人，两组病人分别服用甲、乙两种安眠药作对比试验。试验结果如下：两种安眠药延长睡眠时间对比试验(小时)(1)两种安眠药的疗效有无显著差异？(2)如果将试验方法改为对同一组10个病人，每人分别服用甲、乙两种安眠药作对比试验，试验结果仍如上表，此时两种安眠药的疗效间有无差异？【案例1】哪种安眠药的疗效好？第14页/共33页15

(1)设服用甲、乙两种安眠药的延长睡眠时间分别为X1,X2，

故不能拒绝H0，两种安眠药的疗效间无显著差异。

用Excel求解本案例S22=1.7892S12=2.0022，案例1解答X1～N(1,

2)，X2～N(2,

2)，

n1=n2=10。

由试验方法知X1,X2独立。

H0：1=2，H1：1≠2由表中所给数据，可求得：第15页/共33页16故两种安眠药疗效间的差异是高度显著的！

=4.0621§8.3成对样本试验—案例1(2)解答由于此时X1,X2为同一组病人分别服用两种安眠药的疗效，因此X1,X2不独立，属于成对样本试验。对于这类“成对样本试验”的均值检验，应当化为单个正态总体的均值检验。方法如下：设X=X1-X2(服用甲、乙两种安眠药延长睡眠时间之差)，则X～N(,

2)。H0：=0，H1：≠0由表中所给数据，可求得S=1.23，n=10>t

0.005(9)=3.2498

第16页/共33页17

可用Excel的【工具】→“数据分析”→“t检验：平均值的成对二样本分析”进行成对样本试验的均值检验。用Excel求解∵本例中“P(T<=t)双尾”=0.0028<0.01，故两种安眠药的疗效间存在高度显著差异。第17页/共33页181.F

分布设X～2(n1)，Y～

2(n2)，且X和Y相互独立，则随机变量服从自由度为(n1,n2)的F分布，记为F

～F(n1,n2)n1为第一(分子的)自由度，

n2为第二(分母的)自由度。

§8.4两个正态总体方差的检验第18页/共33页19F分布密度函数的图形xf(x)0n1=20,n2=10n1=20,n2=25n1=20,n2=100

第19页/共33页20F分布的右侧分位点F(n1,n2)F分布的右侧

分位点为满足

P{F>F(n1,n2)}=

的数值F(n1,n2)。F(n1,n2)f(x)x0F

(n1,n2)有以下性质：

F1-

(n1,n2)=1/F(n2,n1)

利用上式可求得F分布表中未给出的

值的百分位点。如F0.95(10,15)=1/F0.05(15,10)

第20页/共33页21可用Excel的统计函数FINV返回F(n1，n2)。语法规则如下：格式：FINV(,n1,n2

)功能:返回F(n1,n2)的值。用Excel求F(n1,n2)第21页/共33页222.两总体方差的检验(F检验)原假设为H0：12=22。完全类似地，可以得到如下检验方法：～F(n1-1,n2-1)当H0为真时，统计量

第22页/共33页23【例2】在＝0.20下，检验【案例3】中两个正态总体的方差是否存在显著差异。

解：由题意，H0：12=22，H1：12≠22，n1=5，n2=6由例5的计算结果，S12=269.62，S22=471.92=0.326

F/2(n1-1,n2-1)=F0.1(4,5)=3.52F1-/2(n1-1,n2-1)=F1-0.1(4,5)=1/F0.1(5,4)=1/4.05=0.247∵F=0.326<

F1-0.1(4,5)=0.247<F0.1(4,5)=3.52故在水平

=0.20下，12与22间无显著差异。

可知案例4中关于12=22的假定是合理的。思考题：本例中为什么要将取得较大？

第23页/共33页24

可用Excel的【工具】→“数据分析”→“F检验：双样本方差”检验两个正态总体是否是同方差的。在Excel的输出结果中“P(F<=f)单尾”与“P(T<=t)单尾”的含义是相同的，即p

值。用Excel求解∵本例中“P(F<=f)单尾”的值为0.1503，故其双边检验所达到的显著性水平为

2×0.1503=0.3006>0.20故在在水平＝0.20下，12与22间无显著差异。

第24页/共33页25§8.5大样本两个总体比例的检验设P1,P2分别是两个独立总体的总体比例，原假设为

H0：P1=P2设p1,p2分别是它们的样本比例，n1,n2分别是它们的样本容量。则在大样本的条件下，统计量由此，可以得到如下检验方法：

第25页/共33页26【案例3】女企业家对成功的理解是否不同

对女企业家进行了一项研究来看她们对成功的理解。给她们提供了几个备选答案，如快乐/自我实现，销售/利润，成就/挑战。根据她们业务的总销售额将其分为几组。销售额在100万~500万元的为一组，少于100万元的为另一组，要研究的问题是：把销售/利润作为成功定义的比率，前一组是否高于后一组？假定我们以总销售额对女企业家进行定位。我们采访了100名总销售额低于100万元的女企业家，她们中有24个将销售/利润定义为成功。随后我们又采访了95名总销售额在100万~500万元的女企业家，其中有39人把销售/利润定义为成功。问在显著性水平＝0.01下，两组中将销售/利润定义为成功的比率是否有显著的差异。第26页/共3