第二部分 第1讲　选择题、填空题的解法

高考总复习优化设计第1讲选择题、填空题的解法第二部分2021内容索引010203方法思路概述解法分类指导专题方法归纳方法思路概述高考选择题、填空题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,体现利用基础知识深度考基础、考能力的导向;使作为中低档题的选择题、填空题成为具备较佳区分度的基本题型.因此能否在选择题、填空题上获取高分,对高考数学成绩影响重大.解答选择题、填空题的基本策略是准确、迅速.(1)解题策略:小题巧解,不需“小题大做”,在准确、迅速、合理、简洁的原则下,充分利用题设和选择支这两方面提供的信息作出判断.先定性后定量,先特殊后一般,先间接后直接,多种思路选最简.对于选择题可先排除后求解,既熟悉通法又结合选项支中的暗示及知识能力,运用特例法、筛选法、图解法等技巧求解.(2)解决方法:主要分直接法和间接法两大类,具体方法为直接法,特值、特例法,筛选法,数形结合法,等价转化法,构造法,代入法等.解法分类指导方法一直接法直接法,就是直接从题设的条件出发,运用有关的概念、性质、公理、定理、法则和公式等,通过严密的推理和准确的计算,然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择.多用于涉及概念、性质的辨析或运算较简单的定性题目.【例1】(1)(2020山东泰安一模,2)已知复数

=1-bi,其中a,b∈R,i是虚数单位,则|a+bi|=(

)A.-1+2i B.1 C.5 D.答案

D

A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)的最大值为1答案

BD【对点训练1】(1)(2020福建福州模拟,理6)已知数列{an}为等差数列,若a1,a6为函数f(x)=x2-9x+14的两个零点,则a3a4=(

)A.-14 B.9 C.14 D.20

答案

D

解析令f(x)=0,则方程x2-9x+14=0,解得方程的两个根为2,7.∵等差数列{an}中,a1,a6为函数f(x)=x2-9x+14的两个零点,∴a1=2,a6=7,或a1=7,a6=2,(2)(2020浙江,17)已知平面单位向量e1,e2满足|2e1-e2|≤,设a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值是

.

方法二特值、特例法特值、特例法是在题设普遍条件都成立的情况下,用特殊值(取得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,从而“小题小做”或“小题巧做”.当题目已知条件中含有某些不确定的量时,可将题目中变化的不定量选取一些符合条件的特殊值(或特殊函数,特殊角,特殊数列,特殊图形,图形特殊位置,特殊点,特殊方程,特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.【例2】(1)(2020山东模考卷,8)若a>b>c>1,且ac<b2,则(

)A.logab>logbc>logca B.logcb>logba>logacC.logcb>logab>logca D.logba>logcb>logac答案

B

解析

因为a>b>c>1,且ac<b2,令a=16,b=8,c=2,则logca=4>1>logab,故A,C错;logcb=3>logba=,故D错,B正确.解析

所求的问题是个定值问题,“在△ABC中”和在特殊△ABC中所求的值相等,所以将所给条件“在△ABC中”特殊化为“在等边△ABC中”.如下图,【对点训练2】(1)(2020浙江高考压轴卷,8)已知a,b∈R,且a>b,则(

)答案

C

(2)在平面直角坐标系中,设A,B,C是曲线y=上三个不同的点,且D,E,F分别为BC,CA,AB的中点,则过D,E,F三点的圆一定经过定点

.

答案

(1,0)

解析

曲线y=的对称中心为(1,0),设过对称中心的直线与曲线交于A,B两点,则A,B的中点为对称中心(1,0),所以过D,E,F三点的圆一定经过定点(1,0).方法三等价转化法在应用等价转化法解决问题时,没有一个统一的模式去进行.可以在数与数、形与形之间进行转换;可以在宏观上进行等价转换;也可以在函数、方程、不等式之间进行等价转化.但都需要保持命题的真假不变.等价转化法的转化原则是将陌生的问题转化为熟悉的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为直观的问题,比如从超越式到代数式、从无理式到有理式,从分式到整式.答案

A

解析

当x>0时,函数f(x)过点(1,0),又函数f(x)有且只有一个零点,可推出,当x≤0时,函数y=-2x+a没有零点,即在(-∞,0]内,函数y=2x与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或a>1.又因{a|a<0}⫋{a|a≤0或a>1},故选A.答案

C

解析

依题意得f(x)=asin(1-x),g(x)=ln

x,设h(x)=g(x)-x=ln

x-x,x∈(0,1],【对点训练3】(1)在四面体P-ABC中,△ABC为等边三角形,边长为3,PA=3,PB=4,PC=5,则四面体P-ABC的体积为(

)答案

C

解析

如图,延长CA至D,使得AD=3,连接DB,PD,因为AD=AB=3,故△ADB为等腰三角形.又∠DAB=180°-∠CAB=120°,方法四数形结合法数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,使数量关系和几何图形巧妙地结合起来,并充分地利用这种结合,探求解决问题的思路,使问题得以解决的思考方法.每个几何图形中蕴含着一定的数量关系,而数量关系常常又通过图形的直观性作出反映和描述,数与形之间可以相互转化,将问题化难为易,化抽象为具体.数形结合的思想方法通过借数解形、以形助数,能使某些较复杂的数学问题迎刃而解.答案

A

解析

作出对勾函数y=x+

(x>0)的图象如图,由图象知函数的最低点坐标为A(2,4),圆心坐标为C(2,0),半径R=1,则由图象知当A,B,C三点共线时,|AB|最小,此时最小值为4-1=3,故选A.(2)(2020山东,5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(

)A.62% B.56% C.46% D.42%答案

C

解析

设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为x.由维恩图可知,82%-x+60%=96%,解得x=46%,故选C.【对点训练4】(1)已知函数f(x)=若存在实数a,b,c,满足f(a)=f(b)=f(c),其中c>b>a,则(a+b)f(c)的取值范围是(

)A.(24,36) B.(48,54)C.(24,27) D.(48,+∞)答案

B

∵a<b<c,∴由二次函数的性质可得a+b=6.由图可知,4<c<log29+1,∴f(4)<f(c)<f(log29+1),f(4)=8,f(log29+1)==9,∴8<f(c)<9,48<6f(c)<54,即(a+b)f(c)的取值范围是(48,54),故选B.(2)(多选)(2020山东济南一模,12)已知函数f(x)=(sinx+cosx)|sinx-cosx|,下列说法正确的是(

)A.f(x)是周期函数D.函数g(x)=f(x)+1在区间[0,2π]上有且仅有1个零点

答案

AC解析

由题得,f(x)=(sin

x+cos

x)|sin

x-cos

x|图象如图所示,由图可知,f(x)是周期为2π的周期函数,故A正确;方法五构造法利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型,从而简化推理与计算过程,使较复杂的数学问题得到简捷的解决.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的,从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感,构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型,使问题得到快速解决.【例5】(1)(2020全国Ⅱ,理11)若2x-2y<3-x-3-y,则(

)A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0答案

A

解析

∵2x-2y<3-x-3-y,∴2x-3-x<2y-3-y.∵f(t)=2t-3-t在R上为增函数,且f(x)<f(y),∴x<y,∴y-x>0,∴y-x+1>1,∴ln(y-x+1)>ln

1=0.故选A.(2)(2020山东烟台模拟,16)设定义域为R的函数f(x)满足f'(x)>f(x),则不等式ex-1f(x)<f(2x-1)的解集为

.

答案

(1,+∞)

∴x<2x-1,即x>1,∴不等式ex-1f(x)<f(2x-1)的解集为(1,+∞).【对点训练5】(1)(2020天津和平区一模,7)函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个正数x1,x2(x1<x2),都有,记a=25f(0.22),b=f(1),

则a,b,c大小关系为(

)A.c>b>a

B.b>c>aC.a>b>c

D.a>c>b答案

C

(2)(2020浙江,9)已知a,b∈R且ab≠0,对于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,则(

)A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0答案

C

解析

当a<0时,在x≥0上,x-a≥0恒成立,所以只需满足(x-b)(x-2a-b)≥0恒成立,此时2a+b<b,由二次函数的图象可知,只有b<0时,满足(x-b)(x-2a-b)≥0,b>0不满足条件;当b<0时,在[0,+∞)上,x-b≥0恒成立,所以只需满足(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立,此时两根分别为x=a和x=2a+b,①当a+b>0时,此时0<a<2a+b,当x≥0时,(x-a)·(x-2a-b)≥0不恒成立;②当a+b<0时,此时2a+b<a,若满足(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立,只需满足a<0;③当a+b=0时,此时2a+b=a>0,满足(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立.综上可知,满足(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0恒成立时,只有b<0.故选C.方法六排除法(针对选择题)数学选择题的解题本质就是去伪存真,舍弃不符合题目要求的选项,找到符合题意的正确结论.排除法(又叫筛选法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例,对于错误的选项逐一剔除,从而获得正确的结论.【例6】(1)(2020全国Ⅱ,文5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是(

)A.a+2b

B.2a+bC.a-2b D.2a-b答案

D

(2)(2020浙江高考压轴卷,7)函数f(x)=

(其中e为自然对数的底数)的图象大致为(

)答案

A

【对点训练6】(1)(多选)(2020山东联考,9)在下列函数中,最小值是2的是(

)答案

BD解析

对于A,若x<0,则最小值不为2,故A错误;对于B,y=2x+2-x≥2,当且仅当x=0时等号成立,故B正确;对于D,y=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,当x=1时取等号,故D正确.故选BD.(2)(2020浙江,4)函数y=xcosx+sinx在区间[-π,π]上的图象可能是(

)答案

A解析

因为f(-x)=(-x)cos(-x)+sin(-x)=-(xcos

x+sin

x)=-f(x),x∈[-π,π],所以函数f(x)是奇函数,故排除C,D,当x时,xcos

x+sin

x>0,所以排