艺术生高考数学专题讲义：考点8 对数与对数函数

考点八对数与对数函数

知识梳理

1.对数的概念

如果”(。>0,的6次基等于N,即a"=N,那么数匕叫作以a为底N的对数，记作log“N=Z>,

其中a叫作对数的底数，N叫作真数.

(1)对数式与指数式的互化：ab=N<=>log“N=R

(2)负数和零没有对数；

(3)log„l=0,logaa=l.

2.两个重要对数

⑴常用对数：以10为底的对数叫常用对数，记作：IgM

常用的两个恒等式：lgl0=l,Ig2+lg5=l.

⑵自然对数：以无理数e…为底的对数叫自然对数，记作：InN,

常用的两个恒等式：lne=l,ln+=-1.

3.对数的性质与运算法则

⑴对数的运算法则

如果a>0且aWl,M>0,N>0,那么

①=log<,+logW；

②log,®=log“M—log“N；

③log“M'="log“M("wR).

(2)对数的重要公式

①换底公式：logW=^《(a,〃均大于零且不等于1)；

②log疝推广log«/?log/；clogtz/=logdrf.

dlogN

③aa=N；k>ga/=N(a>0且a#1).

④loga〃M弋logM

4.对数函数的图象与性质

a>\0<〃<1

图象

性定义域：(0,+8)

质值域：R

过定点(1,0),即x=l时，y=0

当x>]时，y>0当x>\时,><0

当04<l时，y<0当(Xx<l时,y>0

是(0,+8)上的增函数是(0,+8)上的减函数

典例剖析

题型一对数的概念

例1⑴方程log2(3x-l)=3的解是

1

2

⑵已知log3(log*2X)=0,那么X等于.

答案(1)3(2)2

解析(l)*.*log2(3x-1)=3

，3x-1=23=8,解得x=3

故答案为：43.

⑵,.•log3(k>g2X)=0,

10g2X=1,

.\x=2,

避

故答案为：2.

变式训练己知4。=2,/gx=a,则％=

答案回

1I%=1

解析由4a=2得Q”=一2,所以，“一5,解得X=g,故答案为g.

题型二对数化简与求值

2

22

lg5+-lff8+lg5lg20+(lg2)

例2⑴3=.

32

--logr3

(2)210g32-log39+]og38-5=-----------

答案(1)3；(2)-1

解析⑴原式=205+2lg24-195ag4+lg5)4-[lg2)2

32

(2)原式=log34—log39+logs8—3

9

=log3(4x32x8)—3

—Iog39-3

=2-3

=-l.

变式训练⑴lg|+21g2—(扪=.

(2)(Iog32+log92)(log43+log83)=.

答案(1)-1；(2)

解析(l)lg|+21g2-{j^-1=lg1+lg22-2

=lg^X4)-2=l-2=-l.

⑵原式舟牌+翻

_Hg2lg2Vlg3,lg3>

―“3十21g3人21g2十31g2)

_31g251g3_5

=21g3°61g2=4

解题要点对数运算中熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、

化简、证明常用的技巧.另外要熟记常见的恒等式：Ig5+lg2=l,log〃“"=fMog油，log/=&1.

题型三对数值的大小比较

例3比较下列各组数的大小.

2-6

(l)k)g3§与logs';

(2)log与log.

26

26--

解析(l),.」Og31VlOg31=0，而R)g5q>log51=0,35

(2)VO<<1,<,A0>log>log,・・・错误!V错误!,

即由换底公式可得log

--11

变式训练已知〃=23,/?=log2],C=log3则〃、b、C的大小关系是

2

答案c>a>b

-7„111

解析0<〃=23<2。=1,Z?=log2j<log21=0,c=log京>log/=l,

22

即0<a<1,b<0fc>\,所以c>a>b.

解题要点对数值比较大小，先看底数是否相同，若底数相同，则根据底数大于1还是小于1,借

助对数函数的单调性比较大小；若底数不同，应寻找中间值(常用0,1)进行比较.

题型四对数函数的图象和性质

例4函数犬X)=lg(|x|-1)的大致图象是.

①②③④

答案②

解析由函数_/(x)=lg(|x|—1)的定义域为(-8,—l)u(l,+«=),值域为R.又当X>1时，函数单调

递增，所以只有选项②正确.

变式训练函数y=log2b+l|的单调递减区间为，单调递增区间为.

答案(一8,-1)(-1,+8)

解析作出函数y=bg2X的图象，将其关于y轴对称得到函数y=log2园的图象，再将图象向左平移

1个单位长度就得到函数y=log2|x+l|的图象(如图所示).由图知，函数>=唾2卜+1|的单调递减区

间为(-8,—1),单调递增区间为(-1,+8).

解题要点对数函数的图象一定要分底数大于1还是小于1,若底数大于1,则对数函数图

象是上升的，若底数小于1,则图象是下降的.在求解对数函数单调区间时，特别要注意的是，不可

忽视定义域.

当堂练习

1.函数人X)=卑"的定义域是.

答案(0,2]

2一x20,\l2~x

解析由题意得得0<xW2,.♦.函数式乃=｛广的定义域为(0，2】■

x>0,

2.(Iog29)-(log34)=.

答案4

lg9lg421g321g2

解析(log29)-(log34)-lg2X|g3-lg2X)g3-4.

3.已知4=log2%=log4C=log4贝lj.

答案a>c>b

解析a=log242=log4y=10g4X(X>0)是单调增函数，而

'.a>c>b.

4.函数式x)=ln|x-l|的图象大致是.

①②

③④

答案②

解析当x>l时，/U）=ln（x—1）,又.ZU）的图象关于x=l对称，故选②.

-54

5.+log3^+log3g=.

答案f

解析原式=_+1咱0>号=停）一3=第

课后作业

一、填空题

1.21g2—1赢的值为.

答案2

解析21g2—1g去=lg（2?+表）=lgl00=2.

2.（2014年天津卷）设a=log2k,b=log/，。=兀一2,则人b、c的大小关系是.

答案a>c>b

解析•••a=log2兀>1,Z?=log^n<0,0<c:=~2<l•.b<c<a.

3.（2015陕西理）设集合用={14=%},N={x|lg无<0},则MUN等于.

答案[0,1]

解析由题意得知={01},N=（0,l],故MUN=[0,l].

4.21og510+log5

答案0

解析21og510+log55（100X=log525=2.

5.设o=log36,/?=log510,c=log714,则a、b、c的大小关系是.

答案a>h>c

解析根据公式变形，〃=僵=1+皆，6=皆=1+得。=翳=1+器，

因为Ig7>lg5>lg3,所以翳〈翳，即。<6<亿

6.函数/U）=ln（4+3%—x2）的单调递减区间是.

答案[|，4）

解析y=lm是单调递增函数，则只需研究函数r=4+3x一/的单调递减区间，并注意f>0的限制.f

33

=4+3x—x2的单调递减区间为+°°）,当x24时，fWO,所以区间5，4）符合题意.

7.（2015湖南理）设函数危）=皿1+幻一皿1一力则yw是.

①奇函数，且在(0,1)上是增函数

②奇函数，且在(0,1)上是减函数

③偶函数，且在(0,1)上是增函数

④偶函数，且在(0,1)上是减函数

答案①

解析易知函数定义域为(一1，1)，大一X)=ln(l—X)—ln(l+x)=-ZU),故函数_/(x)为奇函数，又艮x)

=ln罟=ln(—1—言，由复合函数单调性判断方法知，人幻在(0,1)上是增函数，故选①.

8.已知0〈avb<l<c,〃7=log“c,〃=log/)c,则加与"的大小关系是.

答案tn>n

解析*.*0<a<h<1<c,/.logt6F<log(/?<0；

二康>表'即log""[。'，。，">〃•

9.(2015四川文)2I6的值是.

答案2

4

解析216=lg+log22=-2+4=2.

10.函数«r)=，=+ln(x-l)的定义域是.

答案(1，2]

[2-x20

解析由八，得K2,故填(1,2].

[x-1>0

11.(2015安徽文)lg|+21g2—(力=.

答

案

8

解

析-

+lg22-2=lg2

二、解答题

12.求下列各式的值.

1

-Ig25+lg2-1ggi-log29xlog32

(I)2

(2)Jg25+/g2"g50+(lg2)2.

111

解析⑴原式4十⑶尸脸3'陶2=1+r2'

(2)原式=J2，g5+(1-胴5)(1+55)+(52产

=/2lg5+1-(05)2+(lg2)2=q21g5+1+Qg2