中考数学专题训练-二次函数的最值

中考专题训练——二次函数的最值

1.已知二次函数y=2?-Z?x+c的图象经过A(1,n),B(3,n).

(1)用含〃的代数式表示c.

2

(2)若二次函数y=2?-bx+c的最小值为维，求"的值.

2.已知△ABC的面积为P,M是BC上的动点，过M作AB、AC的平行线分别交AC、AB

于F、E,设诞=x,平行四边形AEMF的面积是y.

BC

求：

(1)y与x的函数关系式；

(2)当x是何值时，y有最大或最小值？求出此值.

3.如图，一张正方形纸板的边长为10cm,将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三

角形(图中阴影部分).设AE=BF=CG=。”=x(cn^),阴影部分的面积为y(。层).

(1)求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围.

(2)当x取何值时，阴影部分的面积达到最大，最大值为多少？

4.已知函数y=-/+bx+c(b,c,为常数)的图象经过点(0,-3),(-6.-3).

(1)求6,c的值.

(2)当-4WxW0时，求y的最大值.

(3)当机WxWO时，若y的最大值与最小值之和为2,求〃?的值.

5.如图，在Rt/XABC中，ZB=90°,AB=6cm,BC=10c7〃，点尸从点A开始沿AB边向

点B移动，速度为点Q从点8开始沿边向点C移动，速度为2aMs,点P、

。分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动.

(1)几秒时，PQ的长度为3遥C777?

(2)几秒时，△PB。的面积为8s??

(3)当？(0<r<5)为何值时，四边形APQC的面积最小？并求这个最小值.

A

6.己知，如图，矩形ABCO中，4。=6,DC=8,菱形EFG”的三个顶点E,G,，分别

在矩形A8CO的边AB,CD,DA±,AH=2,连接CF.

(1)若。G=2,则四边形EfGH的形状为.

(2)若。G=5,求△FCG的面积.

(3)当。G为何值时，AFCG的面积最小，并求这个最小值.

7.如图，在平面直角坐标系中，点4,8是一次函数y=x图象上两点，它们的横坐标分别

为a,a+3,其中。>0,过点A,B分别作y轴的平行线，交抛物线)，=7-4x+8于点C,

D.

(1)若AO=BC,求a的值；

(2)点E是抛物线上的一点，求△ABE面积的最小值.

8.定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互

为相反数；当x20时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函

-x+1(x<0)

数.例如：一次函数y=x-l,它们的相关函数为y=

x-1(x》0)

(1)已知点A(-5,8)在一次函数y=ax-3的相关函数的图象上，求a的值;

(2)已知二次函数y=-/+4x-a

①当点B(〃7,3)在这个函数的相关函数的图象上时，求力的值；

2

②当-3«3时，求函数产-f+4x-■的相关函数的最大值和最小值.

9.如图，四边形ABCD中，AD//BC,BD±DC,/C=45°,80平分NA8C.

(1)求证：ABLBC；

(2)已知4£>=AB=4,2C=8,点尸，。分别是线段AD,8c上的点，BQ=2AP,

过点尸作PR〃/IB交B。于R,记y表示△PR。的面积，x表示线段AP的长度.如果

在一个直角三角形中，它的两个锐角都是45°,那么它的两条直角边的长度相等，请你

根据题目条件，写出表示变量y与x关系的关系式.

(3)当x=时，y取得最大值.

10.如图，在菱形ABC。中，AB=6,乙4。。=120°,P为对角线AC上的一点，过P作

PE〃AB交A。与E,PF〃AD交CD千F,连接B£、BF、EF.

(1)求AC的长；

(2)求证：ABEF为等边三角形;

(3)四边形BEPF面积的最小值为.

11.某企业为杭州计算机产业基地提供电脑配件.受美元走低的影响，从去年1至9月，该

配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格yi(元)与月份x(lWx《9,且x

取整数)之间的函数关系如下表：

月份X123456789

价格yi(元/件)560580600620640660680700720

随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格

心（元）与月份尤（I0WxW12,且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：

（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直

接写出），1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出”与x之间满足

的一次函数关系式；

（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本

30元，该配件在1至9月的销售量pi（万件）与月份x满足关系式”=0.£+1.1（IWX

W9,且x取整数），10至12月的销售量9（万件）辟=-O.lx+2.9（10WxW12,且x

取整数）.求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润.

12.对称轴为直线x=-1的抛物线y=/+/zr+c,与x轴相交于A,B两点，其中点A的坐

标为（-3,0）.

（1）求点8的坐标.

（2）点C是抛物线与y轴的交点，点。是线段AC上的动点，作QOLx轴交抛物线于

点。，求线段。。长度的最大值.

13.己知边长为6的正方形48CD,点P从A点出发，以2个单位长度/秒顺时针运动，点

。从A点出发，以3个单位长度/秒逆时针运动，当尸、。两点相遇时运动停止，设运动

时间为八

（1）当/=1秒时，求△APQ的面积；

（2）△AP。的面积等于华时，求f的值；

（3）求△APQ面积的最大值.

14.定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当xVO时，它们对应的函数值

互为相反数，当x>0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函

数.例如：一次函数y=x-l,它的相关函数为、

lx-l(x>0)

已知二次函数y=-f+6元V

(1)直接写出已知二次函数的相关函数为丁=;

(2)当点8(m,3)在这个二次函数的相关函数的图象上时，求根的值；

2

(3)当-3WxW7时，求函数y=-f+6xV的相关函数的最大值和最小值.

15.定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值

互为相反数；当x20时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函

数.例如：一次函数y=x-l,它的相关函数为>=卜+1

Ix-1(x>0)

2,

己知二次函数y=-x+6x+y

(1)直接写出已知二次函数的相关函数为)，=.已知点4(-5,8)在一次函数

)，=以-3的相关函数的图象上，求a的值；

(2)当点8Cm,3)在这个二次函数的相关函数的图象上时，求加的值；

2

(3)当-3<xW7时，求函数y=-/+6x+/■的相关函数的最大值和最小值.

16.设〃、b是任意两个实数，用"以¥{〃，/?}表示〃、b两数中较大者，例如：/加比{-1,-

1}=-1,mcix{1,2}=2,max{4f3}=4,参照上面的材料，解答下列问题：

(1)max{5,2}=,max{0,3}=；

(2)若能ar{3x+l,-x+\}=-x+1,求x的取值范围；

(3)求函数>=%2-2%-4与》=7+2的图象的交点坐标，函数y=7-2冗-4的图象如

图所示，请你在图中作出函数y=-x+2的图象，并根据图象直接写出加6{-x+2,

2x-4}的最小值.

17.已知关于x的函数y=fc?+(2Jt-1)x-2(%为常数).

(1)试说明：不论左取什么值，此函数图象一定经过(-2,0)；

(2)在x>0时，若要使y随x的增大而减小，求上的取值范围；

(3)试问该函数是否存在最小值-3?若存在，请求出此时左的值；若不存在，请说明

理由.

18.设a,h是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的

全体叫做闭区间，表示为［a,b］.对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最

小值.

(1)函数y=-f+4x-2在区间［0,5)上的最小值是

(2)求函数了=5+)24在区间［0,卷］上的最小值.

(3)求函数y=7-4x-4在区间［-2,L1］。为任意实数)上的最小值加加的解析式.

19.阅读下面的材料：

小明在学习中遇到这样一个问题：若iWxW/n,求二次函数y=f-6尤+7的最大值.他

画图研究后发现，x=l和x=5时的函数值相等，于是他认为需要对〃，进行分类讨论.

他的解答过程如下：

♦.•二次函数-6x+7的对称轴为直线x=3,

由对称性可知，x=l和x=5时的函数值相等.

.,.若lWmV5,则x=l时，y的最大值为2；

若"??5,则x=，w时，y的最大值为，“2-6〃?+7.

请你参考小明的思路，解答下列问题：

⑴当-2WxW4时，二次函数y=2x2+4x+l的最大值为；

(2)若pWxW2,求二次函数y=2；+4x+l的最大值；

(3)若t^x^t+2时，二次函数y=2?+4x+l的最大值为31,贝Ur的值为

20.如图所示，在边长为1的正方形A8CC中，一直角三角尺PQR的直角顶点尸在对角线

AC上移动，直角边PQ经过点。，另一直角边与射线BC交于点E.

(1)试判断PE与PO的大小关系，并证明你的结论：

(2)连接P8,试证明：△PBE为等腰三角形；

(3)设AP=x,△PBE的面积为y,

①求出y关于x函数关系式；

②当点P落在AC的何处时，△)?后的面积最大，此时最大值是多少？

BC

R

参考答案与试题解析

1.已知二次函数':寸-bx+c的图象经过A(1,〃)，B(3,n).

(1)用含〃的代数式表示c.

2

(2)若二次函数y=2?-bx+c的最小值为求"的值.

【分析】(1)由抛物线经过4(1,〃)，8(3,”)可得抛物线解析式为y=2(x-1)(x

-3)+n,把x=0代入解析式求解.

(2)由抛物线的对称性可得抛物线对称轴为直线》=-二0=2,从而可得b的值，根据

4

函数最值为驯上求解.

4a

【解答】解：⑴设y=2(x-1)(x-3)+〃，

把x=0代入y=2(x-1)(x-3)+〃得y=2X(-1)X(-3)+〃=6+〃.

；.c=6+w.

(2)•.,图象经过A(1,〃)，B(3,〃)，

抛物线对称轴为直线x=-3=2,

4

解得b=8,

Ay=2x2-8X+6+H,

•••函数最小值为8(6%)-64=/=(6切)2,

88181

整理得〃2-69"+198=0,

解得"=3或"=66.

2.已知△ABC的面积为P,M是BC上的动点，过M作AB、AC的平行线分别交AC、AB

于F、E,设诞=x,平行四边形AEMF的面积是y.

BC

求：

(1)y与x的函数关系式；

(2)当x是何值时，y有最大或最小值？求出此值.

【分析】(1)由ME〃CA,MF〃A8可得△BMES/\BCA,AMCF^ABCA,从而可得S

△BME=P/,S&MCF=P(1-X)2,进而求解.

(2)将函数解析式化为顶点式求解.

【解答】解：(1),：ME//CA,MF//AB,

:.ABMEsABCA,XMCFSXBCA*

•••BJXf

BC

.SABMESABME/CMx2-2

2ABCAPBC

Sahcf-(CM)2=(黑二则.)2=(i-x)2,

PBCBC

:・S〉BME=P?，S\MCF=P(1-X)之,

：.y=P-Px1-P(1-x)2=P(-2J?+2X).

(2)'：y=P(-2?+2x)=-IP(x-A)2+Ap,

22

；.y有最大值，当犬=/时，y=》为最大值.

3.如图，一张正方形纸板的边长为10cm将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三

角形(图中阴影部分).设4£=8尸=©6=。”=1(0九)，阴影部分的面积为y(cm?).

(1)求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围.

(2)当x取何值时，阴影部分的面积达到最大，最大值为多少？

【分析】(1)由AE=BB=CG=OH=X(CTH)得出BE=CF=DG=AH=(10-x)(cw),

然后根据三角形面积求解.

(2)将解析式配方求解.

【解答】解：(1)VAE=BF=CG=DH=xCem),

；.BE=CF=DG=AH=(10-x)(cm),

.•.y=4X*x(10-x)=-2?+20x(0<x<10).

(2)Vy=-2?+20x=-2(x-5)2+50,

•••x=5时，阴影部分面积最大值为50c,“2.

4.已知函数y=-/+bx+c(6,c为常数)的图象经过点(0,-3),(-6,-3).

(1)求b,c的值.

(2)当-4WxW0时，求y的最大值.

(3)当”?WxW0时，若y的最大值与最小值之和为2,求m的值.

【分析】(1)将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；

(2)根据x的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定

y的最大值即可；

(3)根据对称轴为x=-3,结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即

可.

【解答】解：(1)把(0,-3),(-6,-3)代入_y—-/+bx+Ci

得b--6,c--3.

(2)Vy=-x1-6x-3=-(x+3)2+6,

又：-4WxW0,

...当x=-3时，y有最大值为6.

(3)①当-3<m<0时，

当x=0时，y有最小值为-3,

当x=m时，y有最大值为-"P-6〃i-3,

-n?-6m-3+(-3)—2,

'.m=-2或m=-4(舍去).

②当mW-3时，

当x=-3时y有最大值为6,

的最大值与最小值之和为2,

最小值为-4,

/.-(机+3)2+6=-4,

-3-V10或m=-3+V10(舍去).

综上所述，机=-2或-3-JT3.

5.如图，在RtZ\A8C中，ZB=90°,AB=6cni,BC=10a”，点尸从点A开始沿AB边向

点B移动，速度为Icro/s；点Q从点B开始沿BC边向点C移动，速度为2cmis,煎P、

。分别从点A、8同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动.

(1)几秒时，PQ的长度为3代c力?

(2)几秒时，△PBQ的面积为8C/«2?

(3)当/(0</<5)为何值时，四边形APQC的面积最小？并求这个最小值.

A

【分析】(1)设运动时间为，秒，分别用f的代数式表示出线段PB,BQ的长度，利用勾

股定理列出方程即可求解；

(2)利用(1)中的方法，利用三角形的面积公式列出方程即可求解；

(3)利用(1)中的方法求得四边形APQC的面积，利用二次函数的性质即可求解.

【解答】解：设运动时间为f秒时，P。的长度为3遥cm,

依题意得：AP=fan,BQ=2tcm,

：.PB=(6-t)cm.

AZB=90°,

：.PB1+BQ1=PQ,

(6-t)2+(2t)2=(3V5)2>

解得：f=3或-3(负数不合题意，舍去).

5

.♦.3秒时，P0的长度为3代CM2；

(2)设运动时间为f秒时，△尸8。的面积为8a#,

依题意得：AP=tcm,BQ=2tcm,0W/W5,

PB—(6-/)cm.

•△尸B。的面积为8cM2,

.\Ax(6-r)X2f=8.

2

解得：f=2或4.

；.2或4秒时，△PBQ的面积为8”?.

(3)四边形APQC的面积

=S^ABC-SAPBQ

^^XAB'BC-^XBQ'PB

=AX6X10-—X(6-力X2r

22

=F-6f+30

=(f-3)2+21,

.•.当f=3时，四边形AP0c的面积最小，最小值为21.

6.已知，如图，矩形ABCD中，AD=6,£>C=8,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别

在矩形ABC。的边48,CD,D4上，AH=2,连接CF.

(1)若。G=2,则四边形EFG”的形状为正方形.

(2)若。G=5,求△尸CG的面积.

(3)当。G为何值时，△尸CG的面积最小，并求这个最小值.

【分析】(1)证明RtAAHEWRtADGH(HL),推导出NE//G=90°,从而证明出四

边形HEFG为正方形；

(2)过尸作FM_LOC,交OC延长线于M,连接GE,证明△入〃£畛△例尸G(AAS),

得到△FCG的高FM=HA=2,根据三角形面积公式即可得出答案；

(3)设£>G=x,由(2)得：SAFCG=2XBWXGC=LX2XGC=8-x,根据勾股定理

22

求出x的最大值即可得出答案.

【解答】解：(1)•四边形A8C。为矩形，四边形HEFG为菱形，

.\ZD=ZA=90°,HG=HE,

又：AH=£)G=2,

RtAA/ZE^RtADGW(HL),

:"DHG=/HEA,

VZAHE+ZHEA=90°,

:./AHE+NDHG=90°,

:.NEHG=90°,

四边形//EFG为正方形；

故答案为：正方形；

(2)过尸作FM_LQC,交OC延长线于M,连接GE,

VAB//CD,

：.NAEG=NMGE,

"：HE//GF,

：.ZHEG=ZFGE,

：.NAEH=NMGF,

在和△MFG中，

VZA=ZM=90°,NAEH=NMGF,HE=FG,

:./\AHE"/\MFG(AAS),

；.FM=HA=2,

即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2,

因此SAFCG=—XFMXGC

2

=JLX2X(8-5)

2

=3；

(3)设£>G=x,

由(2)得：SNCG=LXFMXGC

2

=JLX2XGC

2

=8-x,

在Rl^AHE中，

AEWAB=8,

HE2=AH2+AE2W22+82=68,

：.HG1=DH2+DG2=(6-2)2+/W68,

.♦.xW2V1^,

.♦.当£>G=2j石时，^FCG的面积最小，最小值为8-2/正.

DG

7.如图，在平面直角坐标系中，点A,B是一次函数y=x图象上两点，它们的横坐标分别

为a,a+3,其中“>0,过点A,8分别作y轴的平行线，交抛物线-4x+8于点C,

D.

(1)若AO=2C,求a的值；

(2)点E是抛物线上的一点，求△48E面积的最小值.

【分析】(1)将已知点的坐标代入相应的函数解析式，再结合AD=BC,可得关于a的

方程，解得a的值即可；

(2)设点£(根，m2-4/77+8),过E作EM垂直于x轴交AB于点M,作B凡LEM,AG

A.EM,垂足分别为凡G,由题意可得M(小M,从而可用含机的式子表示出EM的

长，根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案.

【解答】解：(1”.•点4,B是一次函数y=x图象上两点，它们的横坐标分别为“，。+3,

•\A(a,a),B(a+3,a+3).

y=x2-4x+8

=(X-2)2+4,

将x=a代入得：y—Ca-2)2+4；

将x=a+3代入得：y=(a+1)2+4.

：.D(a,(a-2)2+4),C(a+3,(a+1)2+4),

：.AD^(a-2)2+4-a,CB=(a+1)2+4-(a+3).

由AD=8C得：(a-2)2+4-(a+1)2+4-(a+3),

•・〃=1.

(2)设点E(机，川-4〃汁8),过E作EM垂直于x轴交AB于点M,作BRLEM,AG

LEM,垂足分别为F,G,

111Q5、221

.".SAABE=SAA£M+5£MB=yEM-AG+yEM-BF=-^EM(AG+BF)=q

AmT8

由3>o,得SAABE有最小值.

2

当立时，S&ABE的最小值为2L.

28

8.定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互

为相反数；当x20时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函

数.例如：一次函数y=x-l,它们的相关函数为尸「x+1

-{x-1(x>0)

(1)己知点A(-5,8)在一次函数y=or-3的相关函数的图象上，求a的值；

(2)已知二次函数y=-/+4x-微.

①当点BUn,3)在这个函数的相关函数的图象上时，求机的值；

2

②当-3WxW3时，求函数y=-7+4X-2•的相关函数的最大值和最小值.

【分析】(1)写出y=ax-3的相关函数，代入计算；

(2)①写出二次函数产-7+4x-卷的相关函数，代入计算；

②根据二次根式的最大值和最小值的求法解答.

【解答】解：⑴-3的相关函数产［ax+3<0),

lax-3(x>0)

将A(-5,8)代入y=-or+3得：5〃+3=8,

解得4=1；

x2-4x-<-y(x<0)

-f+4龙-]■的相关函数为y=<

(2)二次函数丁=n1

-x+4x--(x^O)

①当"?vo时，将3(“，旦)代入y=/-4x+2

22

得"

P-4m+—=—f

22

解得：m=2+遍(舍去)，或机=2-病,

当机50时，将3Gn,—)代入y=-/+4x-1■得：

22

1Q

-in9+4m--=—,

22

解得：巾=2+&或"?=2-弧.

综上所述：m=2-通或，〃=2+&或m=2-&；

②当-3Wx<0时，y=/-4x+L,抛物线的对称轴为x=2,

2

此时y随x的增大而减小，

，此时y的最大值为争，

当0WxW3时，函数)，=-/+4x-抛物线的对称轴为x=2,

当x=0有最小值，最小值为-当x=2时，有最大值，最大值)=看，

综上所述，当-3WxW3时，函数y=-/+4x-*的相关函数的最大值为号，最小值为

.X

~2'

9.如图，四边形ABC。中，AD//BC,BD1DC,ZC=45°,8。平分N4BC.

(1)求证：ABLBC；

(2)己知A£>=4B=4,BC=8,点P,。分别是线段AO,BC上的点，BQ=2AP,

过点P作PR〃AB交8。于R,记y表示△PRQ的面积，x表示线段AP的长度.如果

在一个直角三角形中，它的两个锐角都是45°,那么它的两条直角边的长度相等，请你

根据题目条件，写出表示变量y与x关系的关系式.

(3)当3=2时,y取得最大值2.

D

【分析】(1)根据三角形内角和定理可求/OBC,根据角平分线的定义可求/A3。，可

得/A8C=90°,从而求解；

(2)根据三角形面积公式即可求解；

(3)利用配方法可求y的最大值.

【解答】(1)证明：；NC=45°,ZB£)C=90°,

.,.ZDBC=180--45°-90°=45°,

：8。平分NABC,

；.NABD=NDBC=45°,

AZABC=90°；

(2)解：y——(4-x)x=-工7+2%；

22

(3)解：当x=2时，y取得最大值2,

y=--X2+2X

2

=-—(x2-4x+4)+2

2

="—(x-2)~+2,

2

故当x=2时，y取得最大值2.

故答案为：2,2.

10.如图，在菱形ABC。中，AB=6,NAOC=120°,P为对角线4c上的一点，过P作

PE〃AB交AD与E,PF"AD交CD于F,连接BE、BF、EF.

(1)求AC的长；

(2)求证：△8EF为等边三角形；

(3)四边形8EP尸面积的最小值为生巨.

一2一

B

C

E

D

【分析】(1)连接BO,交AC于G,根据菱形的性质得出BD_L4C,AG=CG=—AC,

2

然后解直角三角形全等AG,即可求得AC；

(2)根据平行线的性质证得NCPF=NCA£>,四边形DEPF是平行四边形，即可证得

FC=ED,然后证得.•.△BED丝△BFC(SAS),得至UBE=8凡NEBD=NFBC,进一步

证得NEBF=60°,即可证得结论；

(3)由⑵可知S四边形BEOF=SABOC=/X6X亨乂6=外行，作于H，设

FC=x,则DF=6-x,解直角三角形求得P”，然后根据平行四边形的面积公式

得到S四边影DEPF=DF・PH=W^-X・(6-x)=-近■(x-3)2+—A/3>即可得到S四边彩

222

BEPF—S四边形BEDF-S四边形DEPF=9A/^-(6-X)(X-3)2+2F，求得四

222

边形8EPF面积的最小值.

【解答】(1)解：连接80,交AC于G,

:菱形ABC。中，AC和是对角线，

:.BDLAC,AG=CG=—AC,

2

：AB=6,ZADC=120°,

.•./54C=NBCA=30°,

在RtZ\A8G中，4G=AB・cosN8AC=6X近=3百，

2

：.AC=2AG=6yf3；

(2)证明：,在菱形ABC。中，AB=f>,ZADC=U0°,

；.NBAD=NBCD=60°,NA8O=/CBO=/AOB=/C£>2=60°,

.♦.△ABO是等边三角形，

:.BD=AB=BC=6,

'：PE//AB,PF//AD,

：.ZCPF=ZCAD,四边形。EPF是平行四边形，

：.ED=PF,

"：AD=DC,

J.ZCAD^ZACD,

：.ZCPF=ZACD,

；.PF=FC,

：.ED=FC,

在ABED和48尸C中

'ED=FC

<ZEDB=ZFCB=60°

,BD=BC

.♦.△BED丝△BFC(SAS),

：.BE=BF,NEBD=ZFBC,

；NFBC+NFBD=NCBD=60",

NEBD+NFBD=ZEBF=60°,

.•.△BEF是等边三角形；

(3)解：作PH_LC£)于H,

设FC^x,则PF=x,DF=6-x,

VZADC=\20°,PF//AD,

；.NPFD=6Q°,

：.PH=PF-sinZPFD=

2

2

•\Sa边修DEPF=DF・PH=^-X.(6-x)=-近(x-3)+—J3,

222

,:S四边彩BEDF=SABDC=^XX6=9V3>

".S四边形BEPF=S四边形BEOF-S四边形。EPF=9。^-^^-x*(6-x)(x-3)2+2、n，

222

•.•逅>0,

2

二四边形BEPF面积有最小值为

故答案为9M.

2

11.某企业为杭州计算机产业基地提供电脑配件.受美元走低的影响，从去年1至9月，该

配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格yi（元）与月份x（lWx《9,且x

取整数）之间的函数关系如下表：

月份X123456789

价格）“（元/件）560580600620640660680700720

随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格

心（元）与月份尤（I0WxW12,且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：

（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直

接写出）1与X之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出），2与X之间满足

的一次函数关系式;

（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本

30元，该配件在1至9月的销售量“（万件）与月份x满足关系式m=0.£+1.1（IWX

W9,且x取整数），10至12月的销售量9（万件）辟=-O.lx+2.9（10<xW12,且x

取整数）.求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润.

【分析】（1）利用待定系数法，结合图象上点的坐标求出一次函数解析式即可;

（2）根据生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，以及售价销量进而求出最

大利润.

【解答】解：（1）利用表格得出函数关系是一次函数关系:

设yi=fcr+6,

.fk+b=560

I2k+b=580

解得：”=20,

lb=540

.•.yi=20x+540,

利用图象得出函数关系是一次函数关系:

设y2=ax+c,

..J10a+c=730,

"ll2a+c=750,

解得：产0.

lc=630

/.)2=10x+630.

(2)去年1至9月时，销售该配件的利润w=pi(1000-50-30-yi),

=(O.lx+1.1)(1000-50-30-20%-540)=-2x2+16x+418,

=-2(x-4)2+450,(1WXW9,且x取整数)

V-2<0,1WXW9,.•.当x=4时，w最大=450（万元）；

去年10至12月时，销售该配件的利润w=p2（1000-50-30-*）

=（-O.lx+2.9）（1000-50-30-10x-630）,

=（x-29）2,（10WxW12,且x取整数），

；10<xW12时，.,.当x=10时，w最大=361（万元），

V45O361,A去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元.

12.对称轴为直线x=-1的抛物线y=f+6x+c,与x轴相交于A,B两点，其中点A的坐

标为（-3,0）.

（1）求点B的坐标.

（2）点C是抛物线与y轴的交点，点Q是线段4c上的动点，作。。工》轴交抛物线于

点Q,求线段。。长度的最大值.

【分析】（1）利用二次函数对称性即可得出8点坐标；

（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC的解析式，再利用

--x-3-（f+2x-3）进而求出最值.

【解答】解：（1）•••点4（-3,0）与点B关于直线苫=-1对称，

.•.点B的坐标为（1,0）.

(2)*.,a=l,.,.y=x2'+bx+c.

•抛物线过点(-3,0),且对称轴为直线x=-l,

9-3b+c=0

解得：,b=2

Ic=-3

2

/.<y=x+2x-3,

且点。的坐标为（0,-3）.

设直线AC的解析式为y=tnx+n,

则―3m+n=0,

1n=_3

解得」m—,

1n=~3

工尸-x-3

如图，设点。的坐标为(x.y),-3Wx<0.

则有。D=-x-3-(/+2x-3)=-f-3x=-(x+&)2+9

24

•.•-3W-gwo,.•.当x=-3时，°。有最大值目.

224

线段。。长度的最大值为日.

13.已知边长为6的正方形ABCQ,点F从A点出发，以2个单位长度/秒顺时针运动，点

。从A点出发，以3个单位长度/秒逆时针运动，当尸、。两点相遇时运动停止，设运动

时间为人

(1)当f=l秒时，求△AP。的面积；

(2)△APQ的面积等于空•时，求r的值；

4

(3)求△APQ面积的最大值.

【分析】(1).•.SAAPQ=*AP・AQ=*X2fX3八

(2)分类讨论点P,。在各边面积的解析式然后求值.

(3)计算(2)中各解析式面积最大值.

【解答】解：(1)r=l时，AP=2t=2,AQ=3t=3,

•••&APQ=/AP.AQ=/X2X3=3-

(2)当0<f<2时•，P在A8上，Q在AD上,

Si^PQ=—AP-AQ=—X.2rX3t=3p,

3»W12,不符合题意.

当2<fW3时，。在CD上，P在AB上,

S&APQ=^AP-AD=^X6X2t=6t,

6t=更时，f=H.

48

当3WfW4时，P在8c上，。在CD上，

SAAPQ=S正方影ABCD-Si,ABP-S&PCQ-SMDQ-AD2——ABBP-工PC・CQ-工AO・DQ=

222

-3»+15f.

-3p+15f=至•时，解得z=工或f=3（舍）.

422

CD

当丝，5A4PG=—Ax6(24-5f)=72-\5t,

522

72-15f<12,不符合题意.

综上所诉，/=旦或/=工.

82

(3)由(2)得，当20W3时S=6f,f=3时S取最大值为18,

当3W/W4时-3尸+15£=-3(L2+匹，当f=3时S取最大值为18.

24

；./=3时，△AP。面积的最大值为18.

14.定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值

互为相反数，当龙》0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函

数.例如：一次函数y=x-l,它的相关函数为>=>

x-1(x>0)

已知二次函数y=-x2+6x

x2-6x—(x<0)

直接写出已知二次函数的相关函数为)，=_，

-X2+6X+^"(x>0)

(2)当点8(m,星)在这个二次函数的相关函数的图象上时，求山的值;

2

(3)当-3WxW7时，求函数y=的相关函数的最大值和最小值.

【分析】(1)根据相关函数的定义即可找出二次函数y=-/+6x+*的相关函数，将点4

(-5,8)代入y=-ax+3中即可求出a值；

(2)分根<0及机20两种情况考虑，代入点B(m,3)的坐标求出加值即可；

2

(3)分-3Wx<0及0WxW7两种情况，找出函数y=-/+6x+/的相关函数的最大值和

最小值，综上即可得出结论.

x2-6x-~(x<0)

【解答】解:(1)二次函数》=-的相关函数为y=<

2-X2+6X+--(X>0)

x^-6x—(x<0)

故答案为：«

-X2+6X+^(x>0)

(2)当,w<0时，把8(m,W)代入y=--6x-工得：〃72-6«7-2=3,

2222

解得：，〃=3+jn(舍去)或〃?=3-m

当"?》0时，把B(7??,—)代入y=-7+6X+2•得：-,#+6%+」=3,

2222

解得：，"=3±2&,

综合上述：相=3-近！或,“=3-2&或3+2&；

(3)当-3«0时，y=/-6x-』=(x-3)2-乌

22

•••抛物线的对称轴为直线x=3,在-3WxVO上，y随x的增大而减小,

，当x=-3时，y取最大值，最大值为.；

当OWxW7时，y--X2+6X+——-(x-3)2+-i^-,

22

...抛物线的对称轴为直线x=3,

...当x=3时，)，取最大值，最大值为"，当x=7时，y取最小值，最小值为-专

综上所述：当-3WxW7时，所求函数的相关函数的最大值为里，最小值为-尤

22

15.定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值

互为相反数；当x2O时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函

-x+1(x<0)

数.例如：一次函数y=x-