2020-2021数学人教版选择性第一册课时1.1.2空间向量的数量积运算含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业：1.1.2空间向量的数量积运算含解析课时分层作业(二)（建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a⊥b，|a｜＝2，｜b｜＝3,且(3a＋2b）⊥（λa－b)，则λ等于()A．eq\f（3，2)B．－eq\f（3，2)C．±eq\f（3,2)D．1A[∵a⊥b，∴a·b＝0，∵3a＋2b⊥λa－b，∴（3a＋2b)·(λa－b)＝0，即3λa2＋(2λ－3）a·b－2b2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝eq\f(3，2)。]2．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E,F分别是BC，AD的中点，则eq\o(AE，\s\up8（→）)·eq\o（AF,\s\up8（→)）的值为(）A．a2B．eq\f(1,2)a2C．eq\f（1，4)a2D．eq\f（\r(3）,4）a2C［eq\o(AE,\s\up8（→)）·eq\o（AF，\s\up8（→））＝eq\f(1，2)(eq\o（AB,\s\up8（→））＋eq\o（AC，\s\up8（→））)·eq\f(1，2)eq\o（AD,\s\up8（→)）＝eq\f（1，4)（eq\o（AB,\s\up8（→）)·eq\o(AD,\s\up8(→)）＋eq\o(AC，\s\up8(→）)·eq\o(AD，\s\up8(→）））＝eq\f（1，4)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(a×a×\f（1，2)＋a×a×\f(1,2））)＝eq\f(1，4）a2.］3．已知长方体ABCD。A1B1C1D1，则下列向量的数量积一定不为0的是（）A．eq\o(AD1，\s\up8(→）)·eq\o(B1C,\s\up8(→)） B．eq\o（BD1，\s\up8(→）)·eq\o（AC,\s\up8（→))C．eq\o(AB，\s\up8（→）)·eq\o（AD1,\s\up8(→）) D．eq\o(BD1，\s\up8(→)）·eq\o(BC，\s\up8（→)）D[对于选项A，当四边形ADD1A1为正方形时,可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C,此时有eq\o(AD1，\s\up8（→))·eq\o（B1C,\s\up8(→））＝0；对于选项B，当四边形ABCD为正方形时，AC⊥BD，易得AC⊥平面BB1D1D,故有AC⊥BD1，此时有eq\o(BD1,\s\up8（→))·eq\o（AC，\s\up8(→））＝0；对于选项C,由长方体的性质，可得AB⊥平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o（AD1,\s\up8（→））＝0；对于选项D，由长方体的性质,可得BC⊥平面CDD1C1,可得BC⊥CD1,△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即eq\o（BD1，\s\up8(→)）·eq\o(BC,\s\up8（→))≠0.故选D.］4．在棱长为a的正方体ABCD.A1B1C1D1中,向量eq\o(BA1，\s\up8（→))与向量eq\o（AC,\s\up8（→)）所成的角为()A．60°B．150°C．90°D．120°D[eq\o（BA1，\s\up8(→))＝eq\o(BA，\s\up8（→）)＋eq\o(AA1，\s\up8(→)），｜eq\o(BA1,\s\up8(→））|＝eq\r(2）a,eq\o（AC，\s\up8（→）)＝Aeq\o（B，\s\up8(→）)＋eq\o(AD,\s\up8（→)），|eq\o(AC，\s\up8(→））｜＝eq\r(2)a。∴eq\o(BA1，\s\up8（→）)·eq\o（AC,\s\up8(→))＝eq\o（BA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→)）＋eq\o（BA,\s\up8(→)）·eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o（AA1,\s\up8（→））·eq\o（AB，\s\up8(→）)＋eq\o(AA1，\s\up8（→))·eq\o（AD，\s\up8(→)）＝－a2。∴cos〈eq\o(BA1,\s\up8(→)），eq\o(AC,\s\up8（→))〉＝eq\f（－a2,\r(2)a·\r(2)a）＝－eq\f（1,2)。∴〈eq\o（BA1,\s\up8(→)）,eq\o(AC，\s\up8（→)）〉＝120°.］5。如图所示，在平行六面体ABCD.A′B′C′D′中,AB＝1，AD＝2,AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为(）A．eq\r（13） B．eq\r(23）C．eq\r(33） D．eq\r（43)B[∵eq\o(AC′,\s\up8（→))＝eq\o（AB,\s\up8（→）)＋eq\o(BC,\s\up8（→）)＋eq\o（CC′，\s\up8(→))，∴eq\o（AC′，\s\up8（→）)2＝（eq\o（AB，\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8（→)）＋eq\o(CC′，\s\up8（→）)）2＝eq\o（AB,\s\up8（→））2＋eq\o(BC,\s\up8（→)）2＋eq\o(CC′,\s\up8（→）)2＋2(eq\o(AB，\s\up8(→））·eq\o(BC，\s\up8(→））＋eq\o(AB，\s\up8(→))·eq\o（CC′,\s\up8（→））＋eq\o(BC，\s\up8(→）)·eq\o(CC′，\s\up8(→)）)＝12＋22＋32＋2（0＋1×3cos60°＋2×3cos60°）＝14＋2×eq\f(9,2)＝23，∴｜eq\o（AC′，\s\up8（→）)｜＝eq\r(23），即AC′的长为eq\r（23)。］二、填空题6．已知a，b是空间两个向量，若|a｜＝2，｜b｜＝2,｜a－b｜＝eq\r（7），则cos〈a，b〉＝________.eq\f（1，8)［将|a－b|＝eq\r(7)两边平方，得(a－b)2＝7.因为|a|＝2，|b|＝2，所以a·b＝eq\f(1,2)。又a·b＝|a｜|b|cos〈a,b>，故cos〈a，b〉＝eq\f（1，8）.］7．已知a，b是异面直线，A,B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________．60°[eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o（AC,\s\up8(→)）＋eq\o（CD，\s\up8(→))＋eq\o(DB,\s\up8（→）)，∴eq\o(CD，\s\up8(→））·eq\o（AB，\s\up8（→）)＝eq\o（CD，\s\up8(→））·(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o（CD，\s\up8（→）)＋eq\o(DB，\s\up8（→)））＝|eq\o（CD，\s\up8（→））｜2＝1,∴cos〈eq\o(CD,\s\up8（→))，eq\o(AB,\s\up8（→)）〉＝eq\f（\o(CD,\s\up8（→))·\o(AB,\s\up8（→））,|\o（CD，\s\up8（→)）||\o（AB,\s\up8（→)）|)＝eq\f（1，2），∴异面直线a，b所成角是60°。］8．已知|a|＝2，｜b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．（－1－eq\r(3)，－1＋eq\r（3))［由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋λb·λa－2b<0，，cos<a＋λb，λa－2b〉≠－1.）)即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＋λb·λa－2b〈0,,a＋λb·λa－2b≠－｜a＋λb｜|λa－2b|,))得λ2＋2λ－2<0。∴－1－eq\r（3)<λ〈－1＋eq\r(3）.]三、解答题9.如图，在四棱锥P。ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设eq\o(AB，\s\up8（→))＝a,eq\o(AD，\s\up8(→)）＝b，eq\o（AP,\s\up8(→）)＝c.（1)试用a，b，c表示出向量eq\o（BM，\s\up8（→)）;（2)求BM的长．[解］（1）∵M是PC的中点,∴eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\f(1，2）(eq\o(BC，\s\up8（→）)＋eq\o（BP，\s\up8（→））)＝eq\f（1，2)［eq\o（AD，\s\up8(→））＋(eq\o(AP,\s\up8（→））－eq\o（AB，\s\up8（→）))］＝eq\f(1，2)［b＋(c－a）]＝－eq\f（1，2）a＋eq\f（1,2)b＋eq\f（1，2)c。（2）由于AB＝AD＝1,PA＝2，∴|a|＝｜b｜＝1，｜c|＝2，由于AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，∴a·b＝0，a·c＝b·c＝2·1·cos60°＝1，由于eq\o(BM，\s\up8（→)）＝eq\f（1,2）(－a＋b＋c）,｜eq\o(BM,\s\up8(→））|2＝eq\f（1,4）（－a＋b＋c）2＝eq\f（1，4)［a2＋b2＋c2＋2（－a·b－a·c＋b·c）］＝eq\f(1，4）[12＋12＋22＋2(0－1＋1)］＝eq\f(3,2).∴|eq\o(BM，\s\up8(→）)｜＝eq\f(\r（6)，2)，∴BM的长为eq\f（\r（6），2).10.如图，已知直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D;（2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．[解]（1)证明：设eq\o(CA，\s\up8（→））＝a，eq\o（CB,\s\up8（→））＝b，eq\o（CC′，\s\up8(→))＝c，根据题意得|a｜＝｜b|＝｜c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0。∴eq\o(CE,\s\up8（→））＝b＋eq\f(1,2)c,eq\o(A′D，\s\up8(→））＝－c＋eq\f(1,2）b－eq\f（1,2)a。∴eq\o(CE，\s\up8(→））·eq\o（A′D，\s\up8(→）)＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（b＋\f(1,2)c）)·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－c＋\f（1，2)b－\f（1，2)a））＝－eq\f(1，2)c2＋eq\f(1，2)b2＝0，∴eq\o（CE，\s\up8(→))⊥eq\o（A′D,\s\up8(→）），即CE⊥A′D.(2）∵eq\o（AC′，\s\up8(→））＝－a＋c，∴｜eq\o(AC′,\s\up8（→））|＝eq\r（2）|a|，｜eq\o(CE，\s\up8(→)）｜＝eq\f(\r(5），2)|a|，∵eq\o(AC′，\s\up8（→))·eq\o（CE，\s\up8（→））＝（－a＋c)·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（b＋\f（1，2）c))＝eq\f(1，2）c2＝eq\f（1,2）｜a｜2，∴cos〈eq\o（AC′,\s\up8（→）),eq\o（CE，\s\up8（→)）>＝eq\f（\f（1,2)｜a｜2，\r(2）×\f(\r(5)，2)|a|2）＝eq\f(\r（10),10）。∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为eq\f(\r(10），10）。11．(多选题)在正方体ABCD。A1B1C1D1中，下列命题正确的有（）A．（eq\o（AA1，\s\up8(→）)＋eq\o(AD，\s\up8(→)）＋eq\o（AB,\s\up8（→）））2＝3eq\o(AB,\s\up8(→)）2B．eq\o(A1C,\s\up8(→））·（eq\o(A1B1,\s\up8(→））－eq\o(A1A,\s\up8(→)）)＝0C．eq\o(AD1，\s\up8(→)）与eq\o（A1B,\s\up8（→）)的夹角为60°D．正方体的体积为|eq\o（AB,\s\up8(→））·eq\o(AA1，\s\up8（→））·eq\o(AD,\s\up8（→）)|AB[如图，(eq\o(AA1，\s\up8（→）)＋eq\o(AD，\s\up8（→))＋eq\o（AB,\s\up8(→))）2＝(eq\o（AA1，\s\up8(→)）＋eq\o（A1D1，\s\up8(→)）＋eq\o（D1C1,\s\up8（→)））2＝eq\o(AC1，\s\up8（→)）2＝3eq\o（AB，\s\up8(→））2;eq\o（A1C，\s\up8(→)）·（eq\o(A1B1,\s\up8（→））－eq\o（A1A，\s\up8(→)）)＝eq\o(A1C，\s\up8（→)）·eq\o（AB1,\s\up8（→））＝0;eq\o（AD1,\s\up8（→）)与eq\o(A1B，\s\up8(→)）的夹角是eq\o(D1C，\s\up8(→））与eq\o(D1A，\s\up8（→))夹角的补角，而eq\o（D1C,\s\up8（→)）与eq\o(D1A,\s\up8（→））的夹角为60°，故eq\o（AD1,\s\up8(→)）与eq\o（A1B，\s\up8（→）)的夹角为120°；正方体的体积为｜eq\o（AB,\s\up8（→)）｜|eq\o（AA1，\s\up8(→））||eq\o(AD，\s\up8(→)）|。故选AB。］12．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，若E是底面正方形A1B1C1D1的中心，则eq\o（AC1，\s\up8(→）)与eq\o(CE，\s\up8（→)）（)A．重合 B．平行但不重合C．垂直 D．无法确定C[eq\o(AC1,\s\up8（→））＝eq\o（AB,\s\up8（→))＋eq\o（AD，\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→）)，eq\o（CE,\s\up8(→)）＝eq\o（CC1，\s\up8(→)）＋eq\o(C1E，\s\up8(→）)＝eq\o(AA1，\s\up8（→))－eq\f（1,2）(eq\o（AB，\s\up8（→）)＋eq\o(AD,\s\up8（→)）)，于是eq\o（AC1,\s\up8(→）)·eq\o（CE,\s\up8(→)）＝(eq\o(AB，\s\up8（→)）＋eq\o(AD，\s\up8（→））＋eq\o(AA1，\s\up8（→）））·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(AA1－\f(1，2）\o（AB,\s\up8(→)）＋\o（AD，\s\up8（→）)）)＝eq\o(AB，\s\up8（→))·eq\o（AA1,\s\up8（→))－eq\f(1，2）eq\o（AB,\s\up8（→））2－eq\f(1,2）eq\o（AB,\s\up8（→））·eq\o(AD,\s\up8（→))＋eq\o(AD，\s\up8（→）)·eq\o(AA1,\s\up8（→）)－eq\f（1,2）eq\o(AD，\s\up8(→)）·eq\o（AB,\s\up8(→）)－eq\f(1，2)eq\o（AD,\s\up8(→)）2＋eq\o(AA1，\s\up8(→)）2－eq\f（1，2)eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o（AB，\s\up8(→))－eq\f(1，2)eq\o(AA1，\s\up8（→))·eq\o(AD,\s\up8(→）)＝0－eq\f(1，2)－0＋0－0－eq\f(1,2)＋1－0－0＝0，故eq\o(AC1,\s\up8（→））⊥eq\o（CE，\s\up8(→)）。]13．(一题两空）如图，在长方体ABCD。A1B1C1D1中,设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则eq\o(B1C,\s\up8(→）)·eq\o(A1P,\s\up8(→))＝________，eq\o(B1C，\s\up8(→)）与eq\o(A1P,\s\up8(→)）所成角的大小为________．160°［法一：连接A1D,则∠PA1D就是eq\o（B1C，\s\up8（→)）与eq\o（A1P，\s\up8(→）)所成角．连接PD,在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝eq\r(2），即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°,即eq\o（B1C，\s\up8（→))与eq\o(A1P,\s\up8（→）)所成角的大小为60°.因此eq\o(B1C，\s\up8（→））·eq\o（A1P,\s\up8(→))＝eq\r（2）×eq\r(2)×cos60°＝1。法二：根据向量的线性运算可得eq\o（B1C,\s\up8（→）)·eq\o(A1P，\s\up8(→)）＝（eq\o(A1A,\s\up8（→））＋eq\o（AD,\s\up8(→）））·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\o（AD，\s\up8(→)）＋\f（1，2)\o(AB,\s\up8(→））))＝eq\o(AD,\s\up8（→)）2＝1.由题意可得PA1＝B1C＝eq\r（2），则eq\r（2)×eq\r（2）×cos〈eq\o（B1C,\s\up8（→））,eq\o(A1P，\s\up8（→））>＝1,从而〈eq\o（B1C，\s\up8（→)）,eq\o(A1P，\s\up8(→）)〉＝60°。］14．已知在正四面体D.ABC中，所有棱长都为1，△ABC的重心为G,则DG的长为________．eq\f(\r（6),3)[如图，连接AG并延长交BC于点M，连接DM,∵G是△ABC的重心,∴AG＝eq\f(2,3)AM，∴eq\o（AG，\s\up8(→）)＝eq\f（2,3)eq\o(AM，\s\up8（→)）,eq\o（DG，\s\up8（→))＝eq\o（DA,\s\up8(→））＋eq\o（AG,\s\up8(→))＝eq\o(DA，\s\up8（→)）＋eq\f(2,3）eq\o（AM,\s\up8（→）)＝eq\o(DA，\s\up8(→））＋eq\f(2，3）（eq\o(DM，\s\up8（→））－eq\o(DA,\s\up8(→))）＝eq\o(DA,\s\up8（→））＋eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)\o(DB,\s\up8(→））＋\o（DC，\s\up8（→））－\o（DA,\s\up8(→））))＝eq\f(1，3)（eq\o(DA，\s\up8(→)）＋eq\o(DB,\s\up8(→)）＋eq\o（DC,\s\up8（→)）），而（eq\o(DA，\s\up8(→）)＋eq\o(DB，\s\up8(→））＋eq\o(DC,\s\up8（→)）)2＝eq\o（DA,\s\up8（→))2＋eq\o(DB，\s\up8(→)）2＋eq\o（DC，\s\up8（→）)2＋2eq\o（DA，\s\up8（→)）·eq\o(DB,\s\up8（→）)＋2eq\o（DB,\s\up8(→）)·eq\o(DC，\s\up8(→))＋2eq\o（DC，\s\up8（→)）·eq\o（DA，\s\up8（→)）＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴｜eq\o（DG,\s\up8(→））｜＝eq\f(\r(6),3).］15。如图，正四面体V.ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.（1)求证：AO，BO，CO两两垂直；(2)求〈eq\o(DM,\s\up8（→)),eq\o（AO，\s\up8(→））>．[解］(1）证明：设eq\o（VA，\s\up8(→))＝a，eq\o(VB，\s\up8(→))＝b,eq\o(VC,\s\up8（→））＝c,正四面体的棱长为1，则eq\o(VD，\s\up8(→））＝eq\f（1,3）(a＋b＋c），eq\o(AO，\s\up8(→）)＝eq\f(1,6）（b＋c－