2020-2021数学北师大版第一册章末综合测评1预备知识含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年新教材数学北师大版必修第一册章末综合测评1预备知识含解析章末综合测评(一)预备知识(满分:150分时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“∀x∈R，使得x2≥0"的否定形式是(）A．∀x∈R,x2＜0 B．∀x∈R，x2≤0C．∃x∈R，x2≥0 D．∃x∈R，x2＜0D[命题“∀x∈R，x2≥0"的否定形式是∃x∈R，x2＜0,故选D。]2．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4,5｝,B＝｛x∈R|x≥2｝，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．｛1} B．｛1,2｝C．{3，4，5｝ D．{2，3，4，5｝A[图中阴影部分所表示的集合为A∩（∁UB），故选A.］3．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|（\a\vs4\al\co1(\f(x－2，x)）)≤0)）,B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（)A．{1，2} B．｛0，1，2}C．｛1｝ D．{1，2,3｝A[∵A＝eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－2，x）≤0）））)＝{x|0＜x≤2}，∴A∩B＝｛1，2}．]4．设x∈R，则“x3＞8”是“｜x｜＞2”的（)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A［解不等式x3＞8，得x＞2，解不等式｜x｜＞2,得x＞2或x＜－2，所以“x3＞8"是“｜x｜＞2”的充分而不必要条件．故选A.］5．设集合A＝｛1，2，4}，B＝{x｜x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1｝，则B＝（）A．｛1,－3} B．{1，0｝C．{1，3｝ D．{1,5｝C[∵A∩B＝｛1},∴1∈B。∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0｝＝{1，3}．故选C。］6．满足条件M∪｛1，2｝＝{1,2，3｝的集合M的个数是()A．4 B．3C．2 D．1A[∵M∪{1,2｝＝{1，2，3},∴3∈M，且可能含有元素1，2,∴集合M的个数为集合{1，2}，子集的个数4。故选A。]7．已知实数a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，c－b＝a2－4a＋4，则a,bA．c≥b＞a B．a＞c≥bC．c＞b＞a D．a＞c＞bA[∵c－b＝a2－4a＋4＝（a－2）2≥0，∴c≥b又b＋c＝3a2－4a∴2b＝2a2＋2∴b＝a2＋1，∴b－a＝a2－a＋1＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（a－\f(1，2）））eq\s\up8(2）＋eq\f（3，4)＞0,∴b＞a，∴c≥b＞a。］8．已知a＞0,b＞0,若不等式eq\f（m,3a＋b)≤eq\f（a＋3b,ab）恒成立，则m的最大值为（）A．4 B．16C．9 D．3B[eq\f(m，3a＋b)≤eq\f(a＋3b，ab)，即m≤eq\f(（a＋3b）(3a＋b）,ab)；又eq\f(（a＋3b)（3a＋b）,ab）＝eq\f（3a,b)＋eq\f(3b,a）＋10≥2eq\r（\f(3a,b)·\f（3b,a))＝6＋10＝16，当且仅当a＝b时，取等号，∴m≤16，故选B。]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．不等式mx2－ax－1>0（m〉0）的解集不可能是(）A．eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜(\a\vs4\al\co1(x<－1或x〉\f（1，4)）)）) B．RC．eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜（\a\vs4\al\co1（－\f(1，3)<x<\f（3,2)))）） D．∅BCD[因为Δ＝a2＋4m〉0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点,又m〉0,所以原不等式的解集不可能是B、C、D.10．对于任意实数a,b，c,d，下列四个命题中其中假命题的是（)A．若a>b，c≠0，则ac〉bcB．若a>b,则ac2>bc2C．若ac2〉bc2,则a〉bD．若a〉b〉0，c〉d，则ac>bdABD［若a〉b,c〈0时，ac〈bc,A错；B中,若c＝0，则有ac2＝bc2，B错；C正确；D中，只有c>d>0时，ac>bd，D错，故选ABD.]11．已知集合A＝{x｜x＞2},B＝{x|x＜2m}，且A⊆∁RB，那么mA．0B．1C．2D．3AB［根据补集的概念,∁RB＝｛x｜x≥2m又∵A⊆∁RB，∴2m≤解得m≤1,故m的值可以是0，1.］12．设集合A＝｛x|x2－（a＋2)x＋2a＝0}，B＝{x|x2－5x＋4＝0｝，集合A∪B中所有元素之和为7，则实数a的值为A．0B．1C．2D．4ABCD［x2－(a＋2）x＋2a＝(x－2）（x－a)＝0，解得x＝2或x＝a，则A＝{2,a｝．x2－5x＋4＝（x－1)(x－4）＝0，解得x＝1或x＝4，则B＝｛1，4}．当a＝0时，A＝｛0,2｝，B＝{1,4}，A∪B＝｛0,1，2，4}，其元素之和为0＋1＋2＋4＝7；当a＝1时,A＝{1，2｝，B＝｛1，4｝，A∪B＝{1,2，4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a＝2时，A＝{2｝，B＝｛1,4｝，A∪B＝｛1，2，4｝，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a＝4时，A＝{2，4｝，B＝｛1,4｝,A∪B＝｛1，2，4｝,其元素之和为1＋2＋4＝7.则实数a的取值集合为｛0，1，2，4｝．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．13．若0＜a＜1，则不等式（a－x）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)）)＞0的解集是________.eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|（\a\vs4\al\co1(a＜x＜\f（1，a))）））［原不等式可化为(x－a）(x－eq\f(1，a)）＜0，由0＜a＜1,得a＜eq\f（1,a)，∴a＜x＜eq\f（1,a）。］14．已知集合A＝｛x｜x≤1},B＝{x|x≥a},且A∪B＝R,则实数a的取值范围________．(－∞，1］［用数轴表示集合A，B，若A∪B＝R，则a≤1,即实数a的取值范围是（－∞，1］.］15．“∃x∈［0，3],x2－a＞0"是假命题,则实数a的取值范围是________．［9，＋∞）［由题意得“∀x∈［0,3]，x2－a≤0”是真命题，即a≥x2,所以a≥(x2）max＝9.］16．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,六月份的销售额为500万元,七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7000万元,则x的最小值为________．20[由题意得七月份的销售额为500（1＋x％)，八月份的销售额为500(1＋x%)2,所以一月份至十月份的销售总额为3860＋500＋2［500（1＋x%)＋500（1＋x％）2]≥7000，解得1＋x%≤－eq\f（11,5)(舍去）或1＋x％≥eq\f（6，5）,即x％≥20％，所以x的最小值为20。]四、解答题：本题共6小题,共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分)若集合A＝{x|－2＜x＜4},B＝｛x|x－m＜0}．(1)若m＝3,全集U＝A∪B，试求A∩（∁UB）。(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．[解］（1）当m＝3时，由x－m＜0，得x＜3，∴B＝{x|x＜3}，∴U＝A∪B＝{x｜x＜4｝，则∁UB＝｛x｜3≤x＜4},∴A∩（∁UB)＝｛x｜3≤x＜4｝．(2)∵A＝{x|－2＜x＜4}，B＝｛x｜x－m＜0}＝｛x｜x＜m}，由A∩B＝A得A⊆B，∴m≥4，即实数m的取值范围是[4，＋∞）.18．(本小题满分12分）解下列不等式：(1）3＋2x－x2≥0;（2)x2－(1＋a)x＋a＜0.[解](1)原不等式化为x2－2x－3≤0，即（x－3)（x＋1）≤0，故所求不等式的解集为{x｜－1≤x≤3}．(2）原不等式可化为（x－a）（x－1)＜0,当a＞1时，原不等式的解集为(1，a)；当a＝1时，原不等式的解集为∅;当a＜1时，原不等式的解集为（a,1)。19．（本小题满分12分）已知集合A＝｛x｜x2＋4x＝0｝,B＝{x｜x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0｝，当A∪B＝B时,求实数a的取值组成的集合P。[解］由A∪B＝B知A⊆B.又A＝{－4,0},故此时必有B＝｛－4，0｝，即－4，0为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，于是eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(－4＋0＝－2（a＋1），,（－4）×0＝a2－1，))得a＝1.即P＝｛1｝．20．(本小题满分12分)已知a＞b＞0，求证：a＋b＋3＞eq\r（ab)＋2eq\r(a)＋eq\r（b)。[证明］a＋b＋3－eq\r(ab）－2eq\r(a）－eq\r(b)＝eq\f(1，2)(2a＋2b－2eq\r(ab)－4eq\r（a）－2eq\r(b））＋3＝eq\f(1,2）（a－4eq\r（a）＋b－2eq\r（b）＋a＋b－2eq\r(ab））＋3＝eq\f(1,2)(a－4eq\r（a)＋4＋b－2eq\r(b）＋1＋a＋b－2eq\r（ab)－5)＋3＝eq\f（1，2)［（eq\r(a）－2)2＋（eq\r（b)－1）2＋（eq\r(a）－eq\r(b）)2－5］＋3＝eq\f(1，2)（eq\r(a）－2)2＋eq\f(1,2)(eq\r（b）－1）2＋eq\f（1,2)(eq\r（a)－eq\r(b)）2＋eq\f(1，2),∵(eq\r(a）－2）2≥0，（eq\r(b)－1)2≥0，（eq\r（a）－eq\r（b）)2＞0,∴a＋b＋3－eq\r(ab)－2eq\r(a)－eq\r(b）＞0，∴a＋b＋3＞eq\r（ab）＋2eq\r（a)＋eq\r（b）。21．(本小题满分12分)已知集合A＝｛x|x2－2x－3≤0｝，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R｝．(1）若A∩B＝［0，3］,求实数m的值；(2)若A⊆∁UB，求实数m的取值范围．［解］由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝｛x｜m－2≤x≤m＋2}．（1)∵A∩B＝[0,3］,∴eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（m－2＝0,,m＋2≥3，))∴m＝2。（2)∁UB＝｛x｜x＜m－2或x＞m＋2｝，∵A⊆∁UB,∴m－2＞3或m＋2＜－1，即m＞5或m＜－3.22．(本小题满分12分)已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数m对所有的实数x使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在,请说明理由.[解］要使不等式mx2－2x－m＋1＜0恒成立，即函数y＝mx2－2x－m＋1的图象