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文档简介
专题5』向量模、夹角投影与坐标运算
目录
一、热点题型归纳
【题型一】向量夹角1:坐标运算.........................................................1
【题型二】向量夹角2:夹角锐钝........................................................3
【题型三】向量夹角3:模...............................................................4
【题型四】向量夹角4:复合型向量夹角..................................................6
【题型五】投影.........................................................................7
【题型六】模与数量积..................................................................9
【题型七】范围最值....................................................................11
二、真题再现..........................................................................12
三、模拟检测..........................................................................16
综述:
1.模公式:____
同=y/aa=Qx2+y2
I止JHA
\ma+nb\=yj(ma+nb)2=y]in216?|2+2mna*b+n21^|2
2.平面向量数量叫公式:
(1)d-b=|a||h|cos0o
(2)a-b=xrx2+%丫2。
主要应用以下几个方面:
(1)求向量的夹角,cos0=(此时五7往往用坐标形式求解);
M\b\
(2)求投影,a在3上的投影是磬;
(3)G卷向量垂直,则五•3=0;(4)求向量m五十九3的模(平方后需求五•3).
【题型一】向量夹角1:坐标运算
【典例分析】
(2022•福建南平•高三期末)设向量£=(2,0),石=(1,1),则£与B的夹角等于()
A.2B.工C.至D,
4246
【答案】A
【分析】
直接利用向量的夹角公式求解即可
【详解】设£与石的夹角为8,因为a=(2,o),-=(l,l),所以。汽。=丽=j4+0xji+rW
因为。以0,幻,所以。=:7T,故选:A
【提分秘籍】
基本规律
两个非零向量£、B的夹角:已知非零向量£与记)=入OB=b,则ZAO8=e
1)叫做£与B的夹角.
说明:
①当夕=0时,2与刃同向;
②当。=万时,£与^反向;
TT11
③当6=5时,2与石垂直,记
【变式演练】
1.(2021•吉林白山•高三期末(文))若向量2=(1,-1)与向量石=(一1,3)的夹角为6,贝ijsin〃=
()
D.4
c-V
【答案】D
【分析】由向量的夹角公式和同角三角函数关系,即得解
八a,blx(-l)+(-l)x32石
【详解】由题意,cos6=+^=
\a\\b\Jl2+(-l)2X7(-D2+322小5
又。£[0,乃]二sin0>0
sin,=A/1-COS20=4故选:D
2.(2022•全国•高三专题练习)己知£=(1,0,1),b=(x,l,-2),且£2=一3,则向量2与各的
夹角为()
A.券B.?C.-D.[
6336
【答案】A
【分析】先由7坂=-3求出X,再利用空间向量的夹角公式求解即可
【详解】设向量£与石的夹角为8,因为£=(1,0,1),b=(x,l,-2),且£$=一3,
所以x—2=—3,得x=—1,所以。=(―1,1,—2),
na-b—1+0-265万
所以8也丽=标标7=一三因为北[。㈤,所以,=不,故选:A
3.(2023•全国•高三专题练习)已知向量°=向量〃-丐二(6+1,百+1),则2与B的
夹角大小为()
A.30°B.60°C.120°D.150°
【答案】D
【分析】计算可得1=卜1,-6),利用数量积公式计算即可得出结果.
【详解】•.・向量£=(6」),向量£-方=(6+1,6+1),
b=(-1,-,
cos<a,h>=—^-——=,J10<<a,b><TI,
2x22
.•工工的夹角为芝=150。.故选:D.
【题型二】向量夹角2:夹角锐钝
【典例分析】
(2023•全国•高三专题练习)若Z=(x,2)石=(-3,5),且£与区的夹角是钝角,则实数x的取
值范围是()
A.(一8,号)B.卜°°,与
c.(y,+oo)D.5收)
【答案】C
【分析】直接由且£与石不共线求解即可.
【详解】由题意知,/<0且£与万不共线,-3工+10<0且5**-6,解得x吟.
故选:C.
【提分秘籍】
基本规律
用坐标或者数量积求解夹角锐钝时,要注意向量共线(同向或者反向)
【变式演练】
1.(2023•全国•高三专题练习)已知£=(1,-2),3=(1"),且£与石的夹角夕为锐角,则实数
2的取值范围是()
A.(;,+4B.1236'+0°)C.1co,』D.(,,一回-图
【答案】D
【分析】直接由75〉。且£与B不共线结合向量的坐标运算求解即可.
【详解】由々与B的夹角,为锐角知44>0日与石不共线,即1—2%>0IL%w-2,即4<;
且4w—2.
故选:D.
2.(2022•安徽•巢湖市第一中学模拟预测(文))已知向量)=(1,-2),5=(1,几),则
是3与万的夹角为锐角''的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
[答案]B
【号析】根据2与万的夹角为锐角求出4的取值范围,再结合必要不充分条件的概念可得答
案.
【详解】当£与B的夹角为锐角时,37>0且£与石不共线,
1-22>0
即**-A<—且r—2,
2+2h02
••.“义<g”是"Z与万的夹角为锐角'’的必要不充分条件.故选:B.
3.(2022・全国•高三专题练习)已知向量Z=(x,3x)石=(-2x,l),若£与石的夹角为钝角,则
X的取值范围是()
A.I。']]B.C.(-°0,0)U(M'+8
D-1时加(一川呜,+9
【答案】D
【4析】根据向量数量积的定义计算即可.
3
【详解】因为£与B的夹角为钝角,所以£4<0,即—2f+3x<0,解得尢<0或
当£与石共线时,>x---,a={--,--\,b=[-y\\,b=-2a,
x3x6I613J
此时£和各反向,不满足题意,
故x的范围为U佶,+°°);故选:D.
【题型三】向量夹角3:模
【典例分析】r「
(2022•江苏•南京市金陵中学河西分校高三阶段练习)若非零向量后满足口=收,
(«+2b)±a,则向量£与B的夹角为()
A.色B.2C.红D.红
6336
【答案】C
【分析】由伍+2®或,得(〃+2牛〃=(),化简结合已知条件和夹角公式可求出结果.
【详解】设向量£与另的夹角为。(6才解泪),因为R+*)_L£,所以仅+*”=0,
所以£2+273=0,得q+2耶卜0$6=0,因为非零向量£,B满足什=卜|,
所以cosO=-;,因为0e[0,㈤,所以。=与,故选:C
【提分秘籍】
基本规律
|而|=4々一百)2+(〉2->|)2
㈤=而7
|ma+nb|=J(ma+nb)2=y]m21a|2+2mna*b+iv\b|2
【变式演练】
1.(2022.浙江.高三开学考试)已知向量祇B满足降1=2,⑸=3,隋-2治=2而则”与5的
夹角为()
A.巴B.工C.幺D.2
6336
【答案】C
【分析】先对|,-2刈=2屈平方,代入已知条件整理得了石=-3,再利用数量积公式可求
得.
【详解】•.•|]一2万|=2万,」]一讶|2=12一4无石+昉2=52,
又|利=2,|司=3,.•.无万=一3,设&与另的夹角为。,
,8、9八=丽=一51,从而6=2千兀,所以〃与B的夹角。=2手兀.故选:c
2.(2023.全国•高三专题练习)已知非零向量涧满足同=2忖,且"与口,则£与五的夹
角为()
兀
6-
Ac.
273-1
I答案
B
【分析】利用得到数量积为0,得到£石=忸卜然后由数量积的定义可得夹角余
弦值,从而得夹角大小
【详解】因为(。-所以(。一3)出=。/一囚=0,所以=W,
所以3住3=d=才=:,结合«出”[0,司,所以£与加的夹角为三,故选:B.
3.(2023•全国•高三专题练习)已知单位向量入5满足|£一,=6忖+可,贝工与丐的夹角为
()
A.30°B.60°C.120°D.150°
【答案】c
【3析】根据数量积的运算律及夹角公式计策用户
【详解】解:因为2,分为单位向量,所以,=M=I,
又卜-q=6k+林,所以=30+町,BPa-2a-b+b'=3^fl'+2a-b+b
所以2(才+4一④+了)=0,即2(同2+47石+忸"=0,所以75=-g,
所以cos,,%箭=一;,因为(£出闫0,句,所以(£@=g:故选:C
【题型四】向量夹角4:复合型向量夹角
【典例分析】
(2022.安徽师范大学附属中学模拟预测(理))非零向量痴满足卜+司小叫=2同,则
万-5与a的夹角为()
【答案】B
【分析】
根据给定条件,求出Z石,再利用向量夹角公式计算作答.
【详解】
由k+田小-可得:仿+4=(14,即:+23)+22,2_£力+r,解得£3=0,
一一一一2一-
因此,cos〈a-B,a)=g_)f=9——=—.而〈a-£a〉e[0,?i],解得〈a-&a〉=g,
\a-b\\a\21al223
所以2-5与1的夹角为故选:B
【提分秘籍】
基本规律
实际教学中,许多学生对于复合型向量求夹角,容易混淆不清,可以直接把复合向量设
为新向量来代入公式求解。
【变式演练】
1.(2022■河北邯郸•二模)若向量a,行满足|a|=2,W=2』,且〃%=3,则向量加与B—a
夹角的余弦值为().
A6R2A/5r7V2n3闻
291620
【答案】D
【分析】
根据平面向量数量积的运算性质,结合平面向量夹角公式进行求解即可.
【详解】因为W=26,且£出=3,所以>@-£)=片益4=(2G)2—3=9,
因为忸一4=府存=而+a-2ba=J12+4-6=V10,
b-(b-a)93病
所以向量万与加夹角的余弦值为故选:D
|斗忸-12^x>/10
2.(2022・全国•高三专题练习)已知非零向量1、5满足切石=0,(a+^)(a-^)=0,则向
量5与向量夹角的余弦值为()
A.--B.0
2
C.—D.立
22
【答案】A
【分析】
根据无5=0,设4=(1,0),5=(0,f),根据(0+5〉(1-5)=0求出/=1,再根据平面向量的
夹角公式计算可得解.
【详解】
因为无5=0,所以可设方=(L0),5=(0/),则万+5=(11),a-b=(l,-t),
因为(a+5)R-5)=o,所以]_/=0,即r=i.
则cos<5,万一5>=,=^==一与,故选:A.
\h\\a-h\Id-Vl+rlxV22
3.(2022•辽宁锦州.一模)若同=6卜一司=2同,则向量与G的夹角为()
【答案】A
【分析】
首先求得1石=0,再利用向量的夹角公式,即可求解.
【详解】
由条件可知,+耳=,一同,两边平方后得力/=0,并且卜-目=2叵同,
(a-b\agi-g.by/3
cos<a-b,a>=
胴理司22
因为向量夹角的范围是[()4],所以向量4-方与G的夹角为2故选:A
【题型五】投影
【典例分析】
已知向量五在向量3方向上的投影为-1,向量B在向量五方向上的投影为-右且|瓦=1,贝u
|a+2b\=()
A.2V3B.4C.2D.12
河南省林州市第一中学2019-2020学年高三5月月考数学试题
【答案】C
【解析】分析:向量3在向量,方向上的投影为-右求出向量夹角,由向量,在向量B方向上
的投影为-1,求出向量五的模,将成+2日平方,结合平面向量数量积公式可得结果.
详解:设五工的夹角为。,向量否在向量1方向上的投影为-g,且由=1,
所以得同cos6=cosd=因为向量1在向量3方向上的投影为一1,
所以|五|cos。=—I,.-.|a|=2,
■.|a+2b\=|a|2+4a-b+4间=22+4x2x1x0+4xl2=4,
\a+2h\=2,故选C.
【提分秘籍】
基本规律
7.a在,方向上的投影为:lalcosB=招
2.向量B在公方向上的投影:设。为£、B的夹角,则问〈os。为B在£方向上的投影.
投影也是一个数量,不是向量.当。为锐角时投影为正值;当。为钝角时投影为负值;当6
为直角时投影为0;当8=0时投影为|H;当。=180时投影为-忖.
【变式演练】
1.已知向量a力的夹角为120。,且a=2,。=3,则向量2a+3b在向量2a+匕方向
上的投影为()
8G,6957619V13
A.-------D.
13,13~6~13
【答案】D
【解析】
试题分析:根据数量积公式可得投影为
(n
/—v—\—一c16+8x2x3x—+3x9/—
(22+3“22+1)_42?0+8孤+3、2____________12)_19_
==>=r,
恢+母>+J4x4+4x2x3x(-1j+9^
故选D.
jrI
2.已知向量a,〃的夹角为一,且|a|=4,(—a+6)-(2a-36)=12,则向量8在向量a方
4112
向上的投影是()
A.V2B.3C.4拉D.1
【答案】D
【解析】
(|a+/>)-(2a-36)=123或-亚同-4=0=同=后
试题分析:由已知式子2化简可得:।।।।,
7-l^lcos—=1
所以向量3在向量a方向上的投影为口4
3.已知向量五,B满足⑷=5,|五—同=6,恒+同=4,则向量B在向量法上的投影为
2018届湖南省(长郡中学、衡阳八中)、江西省(南昌二中)等十四校高三第二次联考数学
理科试题
【答案】-1
【分析】
由已知结合向量数量积的性质可求2£然后代入到向量了在向量:上的投影公式华可求.
|a|
'T———
『棒MYl「二,7,,[36=a2-2Q•匕+
【详解】|a|=5,|a-b|=6,|Q+=4,~»
2
、16=a?+2Q•b+b
a-b=-5,则向量力在向量2上的投影为丝=?=一1,故答案为:-1.
|a|5
【题型六】模与数量积
【典例分析】
若向量,,|=1,忖=2,卜一q=2,贝.
河北省唐山市第十二高级中学2019-2020学年高三下学期期末数学试题
【答案】76
【分析】由条件先求万•方的值,再代入[+'=J(万+盯求值.
【详解】忖_1=J(万—盯=1万2一2无5+于=Jl+4-253=2解得:2G电=1,
1+B卜+=y/a2+2a-b+b2=J1+4+1=底.故答案为:Jd
【提分秘籍】
基本规律
平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量£与B,它们的夹角是。,则数量
同同.,叫£与石的数量积,记作即有“石巾叫由火0"«》).
规定。与任何向量的数量积为0.
说明:两个向量的数量积与向量同实数积的区别:
⑴两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos。的符号所决定.
⑵两个向量的数量积称为内积,写成7凡书写时注意符号“•”在向量运算中不是乘号,
既不能省略,也不能用“x”代替.
(3)(&±5)2=a2±2ab+b2,(a+b)-(a-h)=a-b•
(4)在实数中,若"0,且a/=0,则。=0,
但是在向量中,若m,且£石=0,不能推出B=.其中cos〃=0.
⑸已知实数“、b、C(后0),贝!I而=6cn〃=c,但是向量=不能推出£=入
如图:d-b=^a\-\b\-cos/3=|^|-|C)A|,
^-c=|^|-|c|-cosa=|i|-|ft4|,=>£石=“但ZwL
⑹在实数中有S"c=e(6-c),但是在向量中(£7)7=7(左2),
【变式演练】
1.若等边448c的边长为3,平面内一点M满足而=]谓+?不,则宿•碗的值为()
A.2B.----C.—D.—2
22
【答案】A
【解析】_
解析:因病=而一刀,而=谓-丽,则丽.丽=g而石?)即前.
MB=-CB2--CACB+-CA2=2--+-=2,应选答案A。
92444
2.在△ABC中,AB=4,NA3C=30°,。是边BC上的一点,且汨•丽=汨•/,
则花•通的值为A.0B.4C.8D.-4
【答案】B
【解析】试题分析:
ADAB=ADAC^Ab*(AB-AC^=ADCB=O=>ADlCB=>AD=ABsin3O0,
ZBAT>=60°=>而•而=4x2xcos60°=4,故选B.
3.已知向量乖满足同一ab=-l,Rlja(2a-b)=
A.4B.3C.2D.0
[答案]B
分析:根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解:因为无(2〃-6)=2求一无5=2|初2-(-1)=2+1=3,
所以选B.
【题型七】范围最值
【典例分析】
已知向量a、B的夹角为e,\a+b\=6,忸一可=26,则8的取值范围是()
A.0<^<-B.-<0<-C.-<0<-D.O<0<—
332623
[首发]浙江省温州市“十五校联合体”2019-2020学年高三下学期期中联考数学试题(A卷)
【答案】A
【解析】由|1+4=6,得口?+2孤+闻'=36.......①由日一目=24,得
同2-2标+@=12......②
八、2a*b1
由①②得M=24,且=6从而有C°S8=FFF|N不同"=],又0S6工外,
7T
故0K8&',选A.
3
【变式演练】
1.(2022.浙江.乐清市知临中学模拟预测)平面向量甚满足|£-引=3,|£|=2|治,贝!j力与£
夹角最大值时|£|为()
A.&B.73C.2&D.26
【答案】D
【分析】根据条件对|£-加=3两边平方即可得出万石=|庐-:从而可求出
®-&g=|52+g,进而即可得出cosca-5,万>=;|5|+裔然后根据基本不等式即可得
出求出向量夹角的最大值,判断出|51=石,I£1=2y/3.
【详解】因为平面向量满足I"-加|=3,|“|=2出|,所以
(a-b)2=a2-2a-b+b2=4b2-2a-b+b2=9,
所以万仍一=己5。r2_乙9,所以0_匕->万=彳、2—万力一二4从F一5二、+乙9二二3匕F2十二9
222222
3r91
由夹角公式,cos<a_5z>=丝3=23=匕5|+3?3(当且仅当%出1=3
4\b\
\a-b\a\6|们44\b\2
即|B|=G时等号成立).
因为04<4—反万>V万,所以04<a—>4■,即151="V5时<a—>="^■最大.
66
此时|£|=2仍|=2
故选:D
2.已知向量获满足:|£|=13,面=1,日-5各区12,则Z在「上的投影长度的取值范围
是()
5
A.[0,—]B.[0.—]C.[—,1]D.[—,1]
13131313
【答案】D
【解析】
试题分析:由|力=析,|1|=1,|」-51饪12,可得(£—51)2=169+25—107B4144,整理
——--。㈤5M
得〃小25,根据则人在〃上的投影长度为—2—,而其投影肯定会不大于帆=1,所
\a\1311
以其范围为[9,1],故选D.
13
3.已知向量可与石的夹角为5|瓦1=1,|^|=V2,若4瓦+石与3宕+/1孩的夹角为锐角,
则实数4的取值范围是()
-5+V13,
A.B.(^^,-V3)U(-V3,:)
2
—
cr5—>/13^r—5+>/13,、n,—5—V13.:^HV3)U(V3,+oo)
C.(一8,-^—)0(—7—,+8)D.(-00,-^—■)U(-(
【答案】D
【解析】根据夹角为锐角,有cos^W+筱,3瓦<+Xei)=e(0.1),即
|(Ae1+e2)|K3e1+Ae2)|
百+瓦)•(3/+AeJ)>0也即544-(34-/I2)-1-V2-cos^>0即/+54+3>0
/―3工0'22—30'A2—3=^=0
解得4G(一8,三运)u(三运力)U(V3,+00).
《鼠真题再现
-/
1.(■陕西•高考真题(文))已知向量2=(1,用),b=(m,2),若£〃乱则实数加等于()
A.-72B.V2
C.-0或aD.0
【答案】c
【分析】应用向量平行的坐标表示列方程求参数值即可.
【详解】由£〃坂知:1x2一/=0,即加=0或一近.
故选:C.
2.(2022•全国•高考真题(文))已知向量£=(2,1)石=(-2,4),则卜盟()
A.2B.3C.4D.5
【答案】D
rr
【分析】先求得1方,然后求得卜-4
【详解】因为£4=(2,1)—(—2,4)=(4,—3),所以忖-q=a2+(-3)2=5.
故选:D
3.(•山东・高考真题)己知向量Z[cos沼sin割,坂=(cos3si*],那么公石等于()
\JL/J,4J\1,4X乙J
A.;B.@C.1D.0
22
【答案】A
【分析】利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.
…叼、f(5兀.5兀1r(兀.兀、
【洋解】〃=cos—,sin——,b=cos—,sin—,
(12\2)(1212j
5兀7t.5瓦.兀兀
abr=cos—cos—+sin—sin—=cos—=
1212121232
故选:A.
4.(•山东・高考真题)已知点尸(八-2)在函数'=1°8了的图象上,点人的坐标是(4,3),那
么|福|的值是()
A.弧B.2MC.6及D.5及
【答案】D
【分析】根据p(机-2)在函数y=l°g广的图象上代入可得利=9,再利用向量的模长公式求
解即可.
【详解】:点尸(八一2)在函数)'=kg;的图象上,
A>og.^=-2,m=(gj=9,
P点坐标为(9,-2),AP=(5,-5),|丽卜+为5>=5行.
故选:D
5.(2020•山东•高考真题)已知点A(4,3),B(T,2),点尸在函数y=x-4x-3图象的对称轴
上,若丽,丽,则点P的坐标是()
A.(2,-6)或(2,1)B.(-2,-6)或(-2,1)
C.(2,6)或(2,-1)D.(-2,6)^(-2,-1)
【答案】C
【分析】由二次函数时称轴设出尸点坐标,再由向量垂直的坐标式不计算可得.
【详解】由题意函数y=/-4x-3图象的对称轴是X=2,设P(2,y),
因为丽J_而,所以丽•丽=(2,3-y)-(-6,2-y)=-12+(3-y)(2-y)=0,解得y=6或
y=~\,所以尸(2,6)或P(2,-l),
故选:C.
6.(2022全国高考真题(理))已知向量£而满足|£|=1,|昨"|£-2很|=3,则£%=()
A.-2B.-IC.1D.2
【答案】c
【分析】根据给定模长,利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解:•••|日—25|2=|©2-415+咽2,又・・,㈤=1,1降百,陷—25|=3,
,9=1-4展5+4乂3=13-4无5,・・・日石=1故选:C.
7.(2022.全国•高考真题)已知向量£=(3,4)3=(1,0),3=。+B,若<a,c>=<Rc>,贝lJ/二
()
A.-6B.—5C.5D.6
【答案】C
【B析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
9+3,+163+/
【详解】解:c=(3+r,4).cosa,c=cosi,c,BP商一=有,解得f=5,
故选:C
8.(2022.北京・高考真题)在中,AC=3,BC=4,NC=90。.P为dSC所在平面内的
动点,且尸C=l,则西•丽的取值范围是()
A.1-5,3]B.1-3,5]C.[-6,4JD.[-4,6]
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系,设P(cos6,sin。),表示出百,PB,根据数量积的
坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得;
【详解】解:依题意如图建立平面直角坐标系,则C(0,0),A(3,0),3(0,4),
半径的圆上运动,设P(cos®,sin0),。«0,2句,所以丽=(3-cos6,-sin6),
PB=(-cos^,4-sin0),
^ft!PA-PB=(-cos6>)x(3-cos^)+(4-sin6?)x(-sin6>)=cos*2634>-3cos6'-4sin6>+sin:!0
=l-3cos^-4sin^
=1—5sin(6+e),其中sin°=—,cos^>=—,
因为-lVsin(e+e)Vl,所以T«l-5sin(e+*)46,即方.丽e[-4,6];故选:D
9.(2022・全国•高考真题(文))已知向量a=(m,3),8=(l,m+l).若力行,则机=
3
【答案】-丁##-0.75
4
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
33
【详解】由题意知:万石=机+3(机+1)=0,解得机=-二.故答案为:
44
10.(2021•全国•高考真题)己知向量〃+B+c=6卜1,W=H=2,ab+bc+c-a=
【答案】-g
【分析】由已知可得0+坂+2)2=0,展开化简后可得结果.
【详解】由己知可得(。+囚+c)-a+b+,2+2,3+\c+c-a)=9+2(a0+~c+La)=O,
一一一一一一9Q
因此,。为++=一不.故答案为:-不.
11.(2022•全国•高考真题(理))设向量£,区的夹角的余弦值为g,且同=1,向=3,则
(2。+坂)4=.
【答案】11
【分析】设£与石的夹角为。,依题意可得cos6=;,再根据数量积的定义求出[加,最后
根据数量积的运算律计算可得.
【详解】解:设£与丐的夹角为。,因为£与丐的夹角的余弦值为g,即cose=g,
又忖=1,1|=3,所以=,卜^cos"lx3xg=1,
所以(2£+B>B=2£3+片=2£4+W=2xl+32=ll.故答案为:11.
12.(2020•浙江・高考真题)设V为单位向量,满足呜-爆区&,£=1+£,1=3不+4,
设2,5的夹角为6,则cos?6的最小值为.
【答案】n
UTITQ
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得再根据向量夹角公式求
4
COS。。函数关系式,根据函数单调性求最值.
UULuu1111*3
【详解】Q2e,-e2|<V2,.-.4-4e,-e2+l<2,:.et-e2>~,
lIUIIUII
2A(Gb)2-e,)2,…4(1+刍刍)
!
..cosc/=r2r2=-------»—IF—-n^-a=-=----if—ir-
a-b(2+2q*.)00+66],4)5+3q..
,(1-一^)>1(1-一二)=吏
35+3£,
Ie235+3x329,
4
故答案为:||.
13.(2021.浙江.高考真题)已知平面向量2,“,("工。)满足,=1,阿=2,4%=0,(4-办,=0.
记向量2在ZB方向上的投影分别为x,%在2方向上的投影为z,则V+V+z?的最
小值为.
【答案】I2
【分析】设。=(l,0),5=(0,2),C=(zn,〃),由平面向量的知识可得2x+y-右z=2,再结合柯
西不等式即可得解.
【详解】由题意,设万=(1,0)&=(0,2),0=(〃?,"),
则(£。"=m-2〃=0,即相=2〃,又向量2在斓方向上的投影分别为工,),,所以2=(乂力,
,_-._,(d-a)-cm(x-\)+ny2x-2+y
所以d-a在c方向上的投n影z=———='/J,="——尸,
klVwi+«士0
B|I2x+y+\/5z=2,
fjlfl^x2+r+z2=1^22+12+(±>/5)'(x2+>'2+z2)>-^(2x+y+V5z)'=|,
2
x=—
5
x_y_z
1o
当且仅当,2-T-+V5即y=-时,等号成立,所以V+y2+z2的最小值为故答案
2x4-y+>/5z=2
2=+
5
二2
为:?
14.(2021・北京•高考真题)已知向量。出厘在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小
正方形的边长为1,则
(a+b)-c=;ab=.
【答案】03
【分析】根据坐标求出d+日,再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】以a,5交点为坐标原点,建立直角坐标系如图所示:
则&=(2,1),5=(2,-1)忑=(0,1),
:.a+b=(4,0),(a+^)-c=4x0+0xl=0».'.aS=2x2+1x(—1)=3.
故答案为:0;3.
久!、模拟检测
1.(2022.江苏•金陵中学模拟预测)己知向量G=(cosasin6),^=(0,-1),0w(09,则向
量万与向量5的夹角为()
A.n-0B.--QC.0D.-+6»
22
【答案】D
【分析】先利用平面向量的夹角公式求出夹角余弦值,再利用诱导公式结合角的范围进行求
解..
【详解】设向量G与向量5的夹角为a,由题意,得同=1,忖=1,ab=-sin0,
TTTTTT
所以cosa=-sin6=cos(—+,),因为u+eeg,71),兀],
222
所以a=]+。,即向量M与向量5的夹角为^+氏故选:D.
2.(2023•全国♦高三专题练习)已知向量乙=(2,3)石=(%2),贝『工与区的夹角为锐角”是
。>一3”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】求出£与3的夹角为锐角时的充要条件是{x|x>-3且x*g},从而判断出答案.
【详解】因为£勺不的夹角为锐角,则cos(£,今>0且£与否不共线.
cos^,。〉。时,«.fo=2x+6>0=>x>-3,当苏4时3x=4nx=g,
44
则々与分不共线时,所以2与万的夹角为锐角的充要条件是“|x>-3且
4
显然{x|x>-3且是{x|x>—3}的真子集,
即'工与另的夹角为锐角''是"x>-3”的充分不必要条件,A正确.故选:A
3.(2022.山西.怀仁市第一中学校模拟预测(文))设向量£,各满足问=2,|£-耳=6,£
与石的夹角为(,则w等于()
A.2B.1C.3D.72
【答案】B
【分析】利用向量数量积的运算法则及数量积的定义即得.
【详解】•.胴=2,£与石的夹角为9,
22
^-^=a-2a-b+b=2-2x2x\b\x^+\b[=3,
.•脚-2恸+1=0,即忖=1.故选:B.
4.(2022•全国•高三专题练习(理))已知心万、2均为单位向量,且2£=45+33则2、c
之间夹角的余弦值为()
A.—B.-C.—D.一
3344
【答案】C
【分析】
变形可得出%-32=4人可得出(2£-3今2=16片,利用平面向量数量积的运算可求得
cos<2,">的值,即可得解.
【详解】
依题意,2£-3"=4万,则(213"
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