《复变函数与积分变换》教学大纲

第页《复变函数与积分变换》教学大纲课程编号：10180115英文名称：ComplexFunctionandIntegralTransformation学分：2学时：总学时32学时，其中理论32学时先修课程：高等数学课程类别：专业基础必修课程授课对象：自动化专业学生教学单位：数理信息学院修读学期：第3学期一、课程描述和目标本课程是自动化专业的一门专业基础课程，系统学习复变函数中解析函数的复积分理论、级数理论以及留数理论；还将学习傅里叶变换与拉普拉斯变换这两个变换的性质与应用。本课程的学习将提高学生在函数论方面的理论水平和综合应用能力，为后续课程奠定必要的基础。本课程是为自动化类专业的二年级学生开设的专业基础课程。通过学习本课程，拟达到以下课程目标：课程目标1：使学生清楚复分析与实分析的区别和联系，会进行复数的相关运算，能计算复极限和复积分，理解解析函数的概念和判别，能对已知函数进行Taylor展开和Laurent展开，能计算留数，会用留数计算积分，能计算傅里叶变换和拉普拉斯变换，并学会用拉普拉斯变换解方程。课程目标2：能够将本课程的知识用于解决自动化系统中的复杂工程问题。课程目标3：使学生具有一定的逻辑思维能力，有发现问题、分析问题和应用复分析知识解决专业问题的能力。二、课程目标对毕业要求的支撑关系毕业要求指标点课程目标权重对应关系1.4理解计算机控制和自动化工程的专业知识，能综合运用相关知识解决控制系统方案设计、改进、建模和算法设计等复杂工程问题。课程目标10.6M课程目标20.2课程目标30.22.1能用数学、物理的基本原理和方法对电路的数学模型进行求解和分析。课程目标20.5L课程目标30.54.4能正确采集和整理实验数据，对实验结果进行分析和解释，获取有效结论。课程目标20.5M课程目标30.5（H—高，M—中，L—低）三、教学内容、基本要求与学时分配序号教学内容基本要求学时教学方式对应课程目标1复数与复变函数复数；复数的三角表示；平面点集的一般概念；无穷大与复球面；复变函数掌握复数的三角表示，熟练进行复数的四则、乘幂及开方运算，能用复参数方程表示简单的曲线；了解无穷大、区域的概念及区域的分类，理解复变函数的极限与连续。3集中讲授12解析函数解析函数的概念；解析函数与调和函数的关系；初等函数了解复变函数的导数与微分的概念，理解和掌握解析函数的定义及其性质，掌握柯西－黎曼条件与解析函数的关系，能熟练判别函数的解析性。了解解析函数与调和函数的关系，掌握由已知的调和函数求其共轭调和函数，从而得到解析函数的方法；掌握几个重要复初等函数的定义以及它们与对应实初等函数之间的异同点。5集中讲授13复变函数的积分复积分的概念；柯西积分定理；柯西积分公式；解析函数的高阶导数了解复变函数积分的概念与基本性质。掌握Cauchy积分定理、闭路变形定理和复合闭路定理。熟练掌握用Cauchy积分公式及高阶导数公式计算复积分。5集中讲授14解析函数的级数表示复数项级数；复变函数项级数；泰勒级数；洛朗级数了解复数项级数、幂级数敛散性概念。了解幂级数的基本性质。掌握幂级数收敛半径的定义求法与公式求法。熟练掌握几个重要初等函数的Taylor展开式，能利用间接法做一些较复杂函数的Taylor展开；了解Laurent级数的作用，掌握利用Taylor展开的方法求得同一函数在不同解析环域内的Laurent展开。4集中讲授小组讨论15留数及其应用孤立奇点；留数；留数在定积分计算中的应用理解孤立奇点和零点的概念，掌握两者的联系，熟悉孤立奇点的分类与判别。掌握函数在孤立奇点处留数的概念。掌握留数计算的方法，能熟练运用留数定理计算复积分和3种标准类型的实积分。6集中讲授小组讨论1,26傅里叶变换傅里叶变换的概念；单位冲激函数；傅里叶变换的性质理解Fourier变换及其逆变换的概念，掌握几个重要信号的Fourier变换或逆变换。了解单位脉冲函数和单位阶跃函数的概念和性质，掌握他们的Fourier变换。掌握Fourier变换的性质，并进行相关计算。5集中讲授小组讨论2,37拉普拉斯变换拉普拉斯变换的概念；拉式变换的性质；拉普拉斯逆变换；拉式变换的应用及综合举例理解Laplace变换的概念，了解它与Fourier变换的区别和联系。掌握Laplace变换的性质。了解用留数求Laplace逆变换的方法。能熟练应用Laplace变换求解常微分方程。4集中讲授小组讨论2,3合计32四、课程教学方法1.课堂教学课堂讲授：在课前预习的基础上，利用多媒体课件，采取课件与板书相结合的方式讲解知识点。在讲授中，穿插提问，加强师生互动，活跃课堂气氛。课内讨论：围绕预习内容、课程知识点理解上有偏差的常见问题、作业中出现的问题，进行提问和讨论。2.课外学习课前预习：要求学生在课前预习教材相关章节。课后作业：要求学生按时完成课后作业，复习课件内容。五、学业评价和课程考核1．考核方式考试（√）考查（）2．成绩记载百分制（√）五级分制（）3.考核原则突出平时——注重平时作业、课堂表现。4.成绩总评考核评价构成：平时成绩40%，期末闭卷考试60%。5.考核方案（1）平时成绩考核方案平时成绩40%包括课堂表现（课内提问、讨论、纪律）20%，平时作业20%。1）课堂表现课堂表现占20%，包括课内提问、讨论和课堂纪律。每次按A、B、C、D四等予以记载，总评时最终折算成A（20分）、B（16分）、C（14分）、D（12分）。不遵守课堂纪律，一次扣2分；扣完为止。2）平时作业平时作业占20%，每次按A、B、C、D四等予以记载,缺交一次扣2分，总评时最终折算成A（20分）、B（16分）、C（14分）、D（12分）。（2）期末闭卷考试考核方案期末闭卷考试占60%，其考核方案参见表5-1。期末成绩占60%，采用闭卷形式，题型为判断题、选择题、填空题、计算题和综合题。期末考试卷面成绩不能低于50分，低于50分者，其课程总评成绩为不及格。表5-1期末闭卷考试的考核方案序号考察点占比%总分得分对应课程目标1复数1111课程目标12解析函数与调和函数的判断516课程目标1初等解析函数的性质11课程目标13用柯西积分公式计算复积分1515课程目标1,24级数的收敛半径、敛散性814课程目标1求函数的泰勒展开、洛朗展开6课程目标25计算复函数在孤立奇点的留数1726课程目标2用留数计算实积分9课程目标26计算给定函数的傅里叶变换99课程目标2,37计算给定函数的拉普拉斯变换99课程目标2,3六、教学反馈教学过程中包含8次以上纸质作业，所有作业要求每个同学都完成，并上交批改，作业完成情况在课内集体讲解反馈。个别答疑采用课间十分钟反馈或者QQ个别反馈的形式。七、推荐教材与参考资料（一）推荐教材1．《复变函数与积分变换》，李红,谢松法主编，高等教育出版社，2013年11月版。（二）参考资料1．《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，李红,谢松法主编，高等教育出版社，2013年11月版。2．《复变函数与积分变换》，包革军,HYPERLINK