2020-2021人教版数学4教师用书：第1章 阶段综合提升 第1课弧度制、任意角三角函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年人教A版数学必修4教师用书：第1章阶段综合提升第1课弧度制、任意角三角函数第一课弧度制、任意角三角函数[巩固层·知识整合]［提升层·题型探究］象限角及终边相同的角【例1】已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π）的形式，并指出α是第几象限角；(2）求γ,使γ与α的终边相同，且γ∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（π,2），\f（π，2））)。[解］（1）∵－800°＝－3×360°＋280°,280°＝eq\f(14，9）π,∴α＝－800°＝eq\f(14π，9）＋（－3)×2π。∵α与角eq\f（14π,9）终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋eq\f（14π，9），k∈Z的形式,而γ与α的终边相同，∴γ＝2kπ＋eq\f(14π,9)，k∈Z.又γ∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(π,2)，\f（π，2)))，∴－eq\f（π,2）＜2kπ＋eq\f（14π,9)＜eq\f(π，2），k∈Z，解得k＝－1，∴γ＝－2π＋eq\f(14π，9)＝－eq\f（4π，9).1．灵活应用角度制或弧度制表示角．(1)注意同一表达式中角度与弧度不能混用．(2)角度制与弧度制的换算设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(α·\f（180，π）））°，n°＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(n·\f(π，180）))rad.2．象限角的判定方法．(1)根据图象判定．利用图象实际操作时,依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．eq\o(［跟进训练]）1．在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1）最大的负角；（2）最小的正角．[解]（1)与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°(k∈Z）．由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°,解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°。(2)由0°＜k·360°＋10030°＜360°，得－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27,故所求的最小正角为β＝310°。弧度制下扇形弧长及面积公式的计算【例2】已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c＞0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？[解］(1）设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝eq\f（π，3）,R＝10，∴l＝αR＝eq\f（10π,3）cm.S弓＝S扇－S△＝eq\f（1,2)×eq\f（10π,3)×10－eq\f（1,2）×10×10×coseq\f(π,6）＝50eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π，3）－\f（\r（,3），2))）cm2.(2)扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，∴α＝eq\f(c－2R,R）,∴S扇＝eq\f（1，2）αR2＝eq\f（1，2）·eq\f（c－2R，R）·R2＝eq\f（1，2）(c－2R)R＝－R2＋eq\f(1，2)cR＝－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（R－\f(c,4)）)eq\s\up24(2)＋eq\f(c2,16).当且仅当R＝eq\f（c，4），即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是eq\f（c2,16)。弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略：1明确弧度制下弧长公式l＝｜α｜r，扇形的面积公式是其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角；2涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组求解.eq\o（［跟进训练］)2．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6,求弓形ACB的面积．［解]∵120°＝eq\f(120，180)π＝eq\f(2，3）π，∴l＝6×eq\f(2，3)π＝4π，∴eq\x\to(AB）的长为4π.∵S扇形OAB＝eq\f(1，2)lr＝eq\f(1,2)×4π×6＝12π，如图所示，作OD⊥AB，有S△OAB＝eq\f（1,2）×AB×OD＝eq\f（1,2)×2×6cos30°×3＝9eq\r（3）.∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9eq\r(3）.∴弓形ACB的面积为12π－9eq\r(3）。任意角三角函数的定义【例3】（1）若角α的终边上有一点P（－4，a）,且sinα·cosα＝eq\f(\r（3）,4），则a的值为()A．4eq\r（3) B．±4eq\r(3)C．－4eq\r（3)或－eq\f（4\r（3)，3） D。eq\r(3）(2）已知角α的终边经过点P(12m，－5m）(m≠0)，求sinα，cosα，tanα的值．(1)C［因为角α的终边上有一点P(－4,a）,所以tanα＝－eq\f（a,4），所以sinαcosα＝eq\f(sinαcosα，sin2α＋cos2α)＝eq\f（tanα，tan2α＋1)＝eq\f（－\f(a，4),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（a,4）)）eq\s\up12（2)＋1）＝eq\f(\r（3)，4），整理得eq\r（3）a2＋16a＋16eq\r（3)＝0，（a＋4eq\r(3)）(eq\r（3）a＋4)＝0，所以a＝－4eq\r(3）或－eq\f(4\r（3）,3)。］（2）r＝eq\r(12m2＋－5m2）＝13|m｜，若m＞0，则r＝13m，α为第四象限角，sinα＝eq\f（y，r）＝eq\f（－5m,13m）＝－eq\f（5，13)，cosα＝eq\f（x，r)＝eq\f(12m，13m）＝eq\f(12,13)，tanα＝eq\f(y，x）＝eq\f（－5m,12m）＝－eq\f(5，12）。若m＜0，则r＝－13m，α为第二象限角，sinα＝eq\f(y，r)＝eq\f(－5m，－13m）＝eq\f（5，13），cosα＝eq\f（x，r)＝eq\f（12m，－13m)＝－eq\f(12,13),tanα＝eq\f（y，x）＝eq\f（－5m,12m)＝－eq\f(5,12）.利用定义求三角函数值的两种方法.1先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义,求出相应的三角函数值.2取角α的终边上任意一点Pa，b原点除外，则对应的角α的正弦值sinα＝，余弦值cosα＝，正切值tanα＝\f(b,a)。当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.eq\o([跟进训练])3．已知角α的终边在直线y＝eq\r(,3)x上，求sinα，cosα，tanα值．［解］因为角α的终边在直线y＝eq\r(,3）x上，所以可设P（a，eq\r(，3)a）(a≠0)为角α终边上任意一点．则r＝eq\r(，a2＋\r(,3）a2)＝2|a｜(a≠0)．若a＞0，则α为第一象限角,r＝2a，所以sinα＝eq\f（\r(,3)a，2a）＝eq\f(\r（,3）,2),cosα＝eq\f（a，2a）＝eq\f（1，2），tanα＝eq\f(\r（,3）a,a）＝eq\r（,3）。若a＜0，则α为第三象限，r＝－2a，所以sinα＝eq\f(\r(,3）a,－2a）＝－eq\f（\r(,3),2），cosα＝－eq\f(a,2a）＝－eq\f（1,2）,tanα＝eq\f（\r（,3)a,a）＝eq\r(,3).同角三角函数基本关系和诱导公式的应用【例4】（1）已知sin（－π＋θ)＋2cos（3π－θ）＝0,则eq\f（sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ）＝.(2）已知f(α）＝eq\f(sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋α,sin－π＋α·tan－α＋3π).①化简f（α）；②若f（α)＝eq\f(1,8),且eq\f(π，4)＜α＜eq\f(π,2)，求cosα－sinα的值;③若α＝－eq\f（47π,4)，求f(α)的值．思路点拨：先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值．（1)eq\f(1,3)［由已知得－sinθ－2cosθ＝0,故tanθ＝－2，则eq\f（sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f（tanθ＋1，tanθ－1）＝eq\f（－2＋1，－2－1）＝eq\f(1,3).］(2）[解］①f(α）＝eq\f(sin2α·cosα·tanα,－sinα－tanα)＝sinα·cosα。②由f（α)＝sinα·cosα＝eq\f(1，8）可知,(cosα－sinα）2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α＝1－2sinα·cosα＝1－2×eq\f(1，8）＝eq\f(3,4），又∵eq\f(π，4)＜α＜eq\f（π,2）,∴cosα＜sinα，即cosα－sinα＜0，∴cosα－sinα＝－eq\f（\r（3),2).③∵α＝－eq\f（47，4)π＝－6×2π＋eq\f（π,4），∴feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(47,4）π)）＝coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（47,4)π）)·sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(47,4)π））＝coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－6×2π＋\f(π，4）)）·sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－6×2π＋\f（π,4）)）＝coseq\f（π，4）·sineq\f（π，4)＝eq\f（\r（2）,2）×eq\f（\r(2），2)＝eq\f(1,2）。1．将本例（2)中“eq\f(1,8)”改为“－eq\f（1,8）"“eq\f（π，4)＜α＜eq\f（π，2）”改为“－eq\f(π,4)＜α＜0"求cosα＋sinα.[解]因为－eq\f（π,4)＜α＜0,所以cosα＞0，sinα＜0且｜cosα|＞｜sinα｜,所以cosα＋sinα＞0，又（cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1，8)))＝eq\f(3,4)，所以cosα＋sinα＝eq\f（\r（3)，2)。2．将本例(2)中的用tanα表示eq\f（1,fα＋cos2α)。[解]eq\f(1，fα＋cos2α)＝eq\f（1,sinαcosα＋cos2α）＝eq\f（sin2α＋cos2α,sinαcosα＋cos2α）＝eq\f（tan2α＋1，tanα＋1）.1．牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及eq\f（sinα,co