（江苏专用）2023版高考数学大一轮复习第八章立体几何8.5平行与垂直的综合应用教师用书文苏教版

PAGEPAGE218.5平行与垂直的综合应用1.证明方法(1)证明平行关系的方法：①证明线线平行的常用方法a.利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；b.利用平行四边形进行转换；c.利用三角形中位线定理证明；d.利用线面平行、面面平行的性质定理证明.②证明线面平行的常用方法a.利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；b.利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行.③证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行.(2)证明空间中垂直关系的方法：①证明线线垂直的常用方法a.利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；b.利用勾股定理逆定理；c.利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可.②证明线面垂直的常用方法a.利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；b.利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；c.利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.③证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，假设图中不存在这样的直线，那么借助中点、高线或添加辅助线解决.2.应特别注意的几个易错点定理图形语言易错点等角定理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(∠AOB和,∠A′O′B′中,OA∥O′A′，,OB∥O′B′,且方向相同))⇒∠AOB＝∠A′O′B′易忽略“方向相同〞线面平行的判定定理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊄α，b⊂α,a∥b))⇒a∥α易丢掉“a⊄α〞或“b⊂α〞线面平行的性质定理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α，a⊂β,α∩β＝b))⇒a∥b易忽略“α∩β＝b〞直线和平面垂直的判定定理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a，l⊥b,a⊂α，b⊂α,a∩b＝O))⇒l⊥α易忽略“a∩b＝O〞两个平面垂直的性质定理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝c,a⊂α，a⊥c))⇒a⊥β易忽略“a⊂α〞面面平行的判定定理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α，b∥α,a⊂β，b⊂β,a∩b＝O))⇒α∥β易忽略“a∩b＝O〞面面平行的判定定理的推论eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α，b⊂α,a∩b＝O,c⊂β，d⊂β,c∩d＝O′,a∥c，b∥d))⇒α∥β易忽略“a∩b＝O〞或“c∩d＝O′〞【思考辨析】判断以下结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)假设平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等，那么直线与平面平行.(×)(2)假设直线a∥α，P∈α，那么过点P且平行于a的直线有无数条.(×)(3)假设a⊥b，b⊥c，那么a∥c.(×)(4)α，β，γ为三个不同平面，α∥β，β∥γ⇒α∥γ.(√)(5)假设α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，那么l⊥γ.(√)(6)α⊥β，a⊥β，b⊥α⇒a∥b.(×)1.(教材改编)如图，平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，垂足为C，PD⊥β，垂足为D，那么直线AB与CD的位置关系是________.答案AB⊥CD解析∵PC⊥α，∴PC⊥AB，又∵PD⊥β，∴PD⊥AB，∴AB⊥平面PCD，∴AB⊥CD.2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G分别为B1C1，A1D1，A1B1的中点，那么平面EBD与平面FGA的位置关系为______.答案平行3.(2022·常州一模)给出以下四个命题：①假设两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；②假设两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；③假设两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；④假设两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面.其中为真命题的是________.(填序号)答案①②解析③中的直线可能在另一平面内；④中的直线与另一平面，可能是线面平行、线面相交或直线在平面内.4.点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，PA＝8，在△ABC中，底边BC＝6，AB＝5，那么P到BC的距离为________.答案4eq\r(5)解析取BC的中点D，连结AD，PD.∵AD⊥BC，PA⊥BC，且AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥PD，∴在Rt△PAD中，PD＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5).5.(教材改编)如图，在三棱锥V—ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，那么平面VBA与平面VBC的位置关系为_______.答案垂直解析∵∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，VA⊥AC，VA⊥AB，由eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(VA⊥AB,VA⊥AC))⇒VA⊥平面ABC，∴VA⊥BC，由eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(VA⊥BC,AB⊥BC))⇒BC⊥平面VAB，又BC⊂平面VBC，∴平面VBC⊥平面VBA.题型一线、面平行与垂直关系的判定例1(1)如下图，在直棱柱ABC—A1B1C1中，假设D是AB的中点，那么AC1与平面CDB1的关系为________.(2)m，n为直线，α，β为平面，给出以下命题：①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥α，,m⊥n))⇒n∥α；②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥β，,n⊥β))⇒m∥n；③eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥α，,m⊥β))⇒α∥β；④eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊂α，,n⊂β，,α∥β))⇒m∥n.其中正确的命题是________.答案(1)AC1∥平面CDB1(2)②③解析(1)如图，连结BC1，BC1与CB1交于E点，连结DE，那么DE∥AC1，又DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.(2)对于①，n可能在α内；对于④，m与n可能异面.易知②，③是真命题.思维升华对线面平行、垂直关系的判定(1)易无视判定定理与性质定理的条件，如易无视线面平行的判定定理中直线在平面外这一条件.(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.(3)可举反例否认结论或用反证法判断结论是否正确.(1)在正方形SG1G2G3中，E，F分别为G1G2，G2G3的中点.现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使点G1，G2，G3重合，记为点G，那么SG与平面EFG的位置关系为________.答案垂直解析翻折后SG⊥EG，SG⊥FG，从而SG⊥平面EFG.(2)三个平面α，β，γ.假设α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，且直线c⊂β，c∥b.①判断c与α的位置关系，并说明理由；②判断c与a的位置关系，并说明理由.解①c∥α，∵α∥β，∴α与β没有公共点.又∵c⊂β，∴c与α无公共点，故c∥α.②c∥a.∵α∥β，∴α与β没有公共点.又α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，∴a∥b.又c∥b，∴a∥c.题型二平行与垂直关系的证明命题点1线面平行的证明例2在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，C1D1的中点.求证：EF∥平面BB1D1D.证明如下图，连结AC交BD于点O，连结OE，那么OE∥DC，OE＝eq\f(1,2)DC.∵DC∥D1C1，DC＝D1C1，F为D1C1的中点，∴OE∥D1F，OE＝D1F，∴四边形D1FEO为平行四边形，∴EF∥D1O.又∵EF⊄平面BB1D1D，D1O⊂平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.命题点2面面平行的证明例3如下图，正方体ABCD—A1B1C1D1.(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C.(2)假设E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.证明(1)∵B1B∥DD1，B1B＝D1D，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，又BD⊂平面A1BD，B1D1⊂平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C，又∵A1D∩BD＝D，A1D，BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD∥平面B1D1C.(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.如下图，取BB1的中点G，连结AG，GF，易得AE∥B1G，又∵AE＝B1G，∴四边形AEB1G是平行四边形，∴B1E∥AG.同理GF∥AD.又∵GF＝AD，∴四边形ADFG是平行四边形，∴AG∥DF，∴B1E∥DF，∴DF∥平面EB1D1.又∵BD∩DF＝D，∴平面EB1D1∥平面FBD.命题点3直线与平面垂直的证明例4(2022·连云港模拟)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC、BD相交于点O，EF∥AB，AB＝2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，点G为BC的中点.(1)求证：OG∥平面EFCD；(2)求证：AC⊥平面ODE.证明(1)∵四边形ABCD是菱形，AC∩BD＝O，∴点O是BD的中点，∵点G是BC的中点，∴OG∥CD，又∵OG⊄平面EFCD，CD⊂平面EFCD，∴OG∥平面EFCD.(2)∵BF＝CF，点G为BC的中点，∴FG⊥BC.∵平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD＝BC，FG⊂平面BCF，FG⊥BC，∴FG⊥平面ABCD.∵AC⊂平面ABCD，∴FG⊥AC，∵OG∥AB，OG＝eq\f(1,2)AB，EF∥AB，EF＝eq\f(1,2)AB，∴OG∥EF，OG＝EF，∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO.又∵FG⊥AC，∴AC⊥EO.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DO，∵EO∩DO＝O，EO、DO在平面ODE内，∴AC⊥平面ODE.命题点4面面垂直的证明例5如下图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.证明如下图，取A1C的中点F，AC的中点G，连结FG，EF，BG，那么FG∥AA1，且GF＝eq\f(1,2)AA1.因为BE＝EB1，A1B1＝CB，∠A1B1E＝∠CBE＝90°，所以△A1B1E≌△CBE，所以A1E＝CE.因为F为A1C的中点，所以EF⊥A1C.又FG∥AA1∥BE，GF＝eq\f(1,2)AA1＝BE，且BE⊥BG，所以四边形BEFG是矩形，所以EF⊥FG.因为A1C∩FG＝F，所以EF⊥侧面ACC1A1.又因为EF⊂平面A1CE，所以截面A1CE⊥侧面ACC1A1.命题点5平行、垂直的综合证明例6(2022·泰州一模)如图，在四棱锥E—ABCD中，△ABD为正三角形，EB＝ED，CB＝CD.(1)求证：EC⊥BD；(2)假设AB⊥BC，M，N分别为线段AE，AB的中点，求证：平面DMN∥平面BEC.证明(1)如图，取BD的中点O，连结EO，CO.因为EB＝ED，CD＝CB，所以CO⊥BD，EO⊥BD.又CO∩EO＝O，CO，EO⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC.因为EC⊂平面EOC，所以EC⊥BD.(2)因为N是AB的中点，△ABD为正三角形，所以DN⊥AB.因为BC⊥AB，所以DN∥BC.因为BC⊂平面BCE，DN⊄平面BCE，所以DN∥平面BCE.因为M为AE的中点，N为AB的中点，所以MN∥BE.因为MN⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，所以MN∥平面BCE.因为MN∩DN＝N，所以平面DMN∥平面BEC.思维升华(1)空间线面的位置关系的判定方法①证明直线与平面平行，设法在平面内找到一条直线与直线平行，解答时合理利用中位线性质、线面平行的性质，或构造平行四边形，寻求比例关系确定两直线平行.②证明直线与平面垂直，主要途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.解题时注意分析观察几何图形，寻求隐含条件.(2)空间面面的位置关系的判定方法①证明面面平行，需要证明线面平行，要证明线面平行需证明线线平行，将“面面平行〞问题转化为“线线平行〞问题.②证明面面垂直，将“面面垂直〞问题转化为“线面垂直〞问题，再将“线面垂直〞问题转化为“线线垂直〞问题.(2022·苏锡常镇四市调研)如图，四边形AA1C1C为矩形，四边形CC1B1B为菱形，且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，D，E分别为边A1B1，C1C的中点.求证：(1)BC1⊥平面AB1C；(2)DE∥平面AB1C.证明(1)∵四边形AA1C1C为矩形，∴AC⊥C1C.又平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，平面CC1B1B∩平面AA1C1C＝CC1，∴AC⊥平面CC1B1B.∵BC1⊂平面CC1B1B，∴AC⊥BC1.又四边形CC1B1B为菱形，∴B1C⊥BC1.∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面AB1C.(2)取AA1的中点F，连结DF，EF.∵四边形AA1C1C为矩形，E，F分别为C1C，AA1的中点，∴EF∥AC.∵EF⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，∴EF∥平面AB1C.∵D，F分别为边A1B1，AA1的中点，∴DF∥AB1.∵DF⊄平面AB1C，AB1⊂平面AB1C，∴DF∥平面AB1C.∵EF∩DF＝F，EF⊂平面DEF，DF⊂平面DEF，∴平面DEF∥平面AB1C.∵DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C.题型三平行与垂直的应用例7(2022·安徽)如图，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P­ABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求eq\f(PM,MC)的值.(1)解由题设AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC＝eq\f(1,2)·AB·AC·sin60°＝eq\f(\r(3),2).由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥P­ABC的高，又PA＝1.所以三棱锥P­ABC的体积V＝eq\f(1,3)·S△ABC·PA＝eq\f(\r(3),6).(2)证明在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N，在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连结BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN，又BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM.在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝eq\f(1,2)，从而NC＝AC－AN＝eq\f(3,2)，由MN∥PA，得eq\f(PM,MC)＝eq\f(AN,NC)＝eq\f(1,3).思维升华(1)利用平行关系可以转移点到面的距离，从而求几何体体积或解决关于距离的最值问题.(2)对于存在性问题的证明与探索有三种途径：途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.途径三：将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝eq\r(3)，点F是PD的中点，点E是边DC上的任意一点.(1)当点E为DC边的中点时，判断EF与平面PAC的位置关系，并加以证明；(2)证明：无论点E在边DC的何处，都有AF⊥EF；(3)求三棱锥B—AFE的体积.(1)解当点E为DC边的中点时，EF与平面PAC平行.证明如下：在△PDC中，E，F分别为DC，PD的中点，∴EF∥PC，又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴EF∥平面PAC.(2)证明∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD.∵AD∩AP＝A，∴CD⊥平面PAD.又AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD.∵PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD.又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PCD.∵EF⊂平面PCD，∴AF⊥EF.即无论点E在边DC的何处，都有AF⊥EF.(3)解作FG∥PA交AD于G，那么FG⊥平面ABCD，且FG＝eq\f(1,2)，又S△ABE＝eq\f(\r(3),2)，∴VB—AEF＝VF—AEB＝eq\f(1,3)S△ABE·FG＝eq\f(\r(3),12).∴三棱锥B—AFE的体积为eq\f(\r(3),12).6.立体几何平行、垂直的证明问题典例(14分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点.(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E－ABC的体积.标准解答(1)证明在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB. [1分]又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1， [2分]又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1. [3分](2)证明取AB的中点G，连结EG，FG. [4分]因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝eq\f(1,2)AC. [6分]因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG. [8分]又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE. [10分](3)解因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝eq\r(AC2－BC2)＝eq\r(3). [12分]所以三棱锥E－ABC的体积V＝eq\f(1,3)S△ABC·AA1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×2＝eq\f(\r(3),3). [14分]证明线面平行问题(一)第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；第二步：证明线线平行；第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行；第四步：反思回忆.检测关键点及答题标准.证明线面平行问题(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；第三步：证明所作平面与所证平面平行；第四步：转化为线面平行；第五步：反思回忆，检查答题标准.证明面面垂直问题第一步：根据条件确定一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的一条直线；第二步：结合条件证明确定的这条直线垂直于另一平面内的两条相交直线；第三步：得出确定的这条直线垂直于另一平面；第四步：转化为面面垂直；第五步：反思回忆，检查答题标准.1.设α，β为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出以下四个命题：①假设α∥β，l⊂α，那么l∥β；②假设m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，那么α∥β；③假设l∥α，l⊥β，那么α⊥β；④假设m，n是异面直线，m∥α，n∥α，且l⊥m，l⊥n，那么l⊥α.其中真命题的序号是________.答案①③④解析①由α∥β，l⊂α知，l与β无公共点，故l∥β.②当m⊂α，n⊂α，m与n相交，m∥β，n∥β时，α∥β.③由l∥α知，α内存在l′，使得l′∥l.因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β.④易知α内存在m′，n′，使得m′∥m，n′∥n，且m′，n′相交，由l⊥m，l⊥n知，l⊥m′且l⊥n′，故l⊥α.2.(2022·南京二模)平面α，β，直线m，n，给出以下命题：①假设m∥α，n∥β，m∥n，那么α∥β；②假设α∥β，m∥α，n∥β，那么m∥n；③假设m⊥α，n⊥β，m⊥n，那么α⊥β；④假设α⊥β，m⊥α，n⊥β，那么m⊥n.其中是真命题的是________.答案③④解析对于①，平面α与β可能相交，故①错；对于②，假设α∥β，m∥α，n∥β，那么直线m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故②错；对于③，由面面垂直的判定可知③正确；对于④，由面面垂直的性质可知m⊥n，故④正确.因此真命题的序号为③④.3.在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上一动点，当M满足是________时，平面MBD⊥平面ABCD.答案PC的中点解析当M是PC中点时，连结AC，BD交于O，由题意知，O是AC的中点，连结MO，那么MO∥PA.∵PA⊥平面ABCD，∴MO⊥平面ABCD，MO⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面ABCD.4.(2022·连云港模拟)如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，A1A＝2，底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱BB1、AA1、AD的中点，那么平面A1DE与平面BGF的位置关系是________(填“平行〞或“相交〞).答案平行解析在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱BB1、AA1、AD的中点，所以FG∥A1D，所以FG∥平面A1DE，同理FB∥平面A1DE，又FG∩FB＝F，所以平面BGF∥平面A1DE.5.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.答案a或2a解析由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可.令CF⊥DF，设AF＝x，那么A1F＝3a－x.易知Rt△CAF∽Rt△FA1D，得eq\f(AC,AF)＝eq\f(A1F,A1D)，即eq\f(2a,x)＝eq\f(3a－x,a)，整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a.6.在正四面体P—ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，给出下面三个结论：①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC.其中不成立的结论是________.答案③解析如图，由题知BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∵四面体P—ABC为正四面体，∴BC⊥PA，AE⊥BC，BC⊥平面PAE，∴DF⊥平面PAE，∴平面PAE⊥平面ABC，∴①和②成立.设此正四面体的棱长为1，那么PA＝1，AM＝eq\f(\r(3),4)，PM2＝PD2－DM2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(11,16)，∴PA2≠AM2＋PM2，故③不成立.7.(2022·常州调研)如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB＝PD，PA⊥PC，CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM.求证：(1)OM∥平面PAD；(2)OM⊥平面PCD.证明(1)连结AC.因为四边形ABCD是平行四边形，所以O为AC的中点.在△PAC中，因为O，M分别是AC，PC的中点，所以OM∥PA.因为OM⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以OM∥平面PAD.(2)连结PO.因为O是BD的中点，PB＝PD，所以PO⊥BD.因为平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，PO⊂平面PBD，所以PO⊥平面ABCD，从而PO⊥CD.因为CD⊥PC，PC∩PO＝P，PC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC.因为OM⊂平面PAC，所以CD⊥OM.因为PA⊥PC，OM∥PA，所以OM⊥PC.因为CD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，CD∩PC＝C，所以OM⊥平面PCD.8.如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.(1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论.(1)证明如图，因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以B1C1⊥面ABB1A1.因为A1B⊂面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B.又因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，所以A1B⊥面ADC1B1.因为A1B⊂面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.(2)解当点F为C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE.证明如下：易知：EF∥C1D，且EF＝eq\f(1,2)C1D.设AB1∩A1B＝O，那么B1O∥C1D且B1O＝eq\f(1,2)C1D，所以EF∥B1O且EF＝B1O，所以四边形B1OEF为平行四边形.所以B1F∥OE.又因为B1F⊄面A1BE，OE⊂面A1BE.所以B1F∥面A1BE.9.(2022·南京三模)如图，在四棱锥P—ABCD中，O为AC与BD的交点，AB⊥平面PAD，△PAD是正三角形，DC∥AB，DA＝DC＝2AB.(1)假设E为棱PA上一点，且OE∥平面PBC，求eq\f(AE,PE)的值；(2)求证：平面PBC⊥平面PDC.(1)解因为OE∥平面PBC，OE⊂平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC，所以OE∥PC，所以AO∶OC＝AE∶EP.因为DC∥AB，DC＝2AB，所以AO∶OC＝AB∶DC＝1∶2，所以eq\f(AE,PE)＝eq\f(1,2).(2)方法一取PC的中点F，连结FB，FD.因为△PAD是正三角形，DA＝DC，所以DP＝DC.因为F为PC的中点，所以DF⊥PC.因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PA，AB⊥AD，AB⊥PD.因为DC∥AB，所以DC⊥DP，DC⊥DA.设AB＝a，在等腰直角三角形PCD中，DF＝PF＝eq\r(2)a.在Rt△PAB中，PB＝eq\r(5)a.在直角梯形ABCD中，BD＝BC＝eq\r(5)a.因为BC＝PB＝eq\r(5)a，F为PC的中点，所以PC⊥FB.在Rt△PFB中，FB＝eq\r(3)a.在△FDB中，由DF＝eq\r(2)a，FB＝eq\r(3)a，BD＝eq\r(5)a，可知DF2＋FB2＝BD2，所以FB⊥DF.因为DF⊥PC，DF⊥FB，PC∩FB＝F，PC，FB⊂平面PBC，所以DF⊥平面PBC.又DF⊂平面PCD，所以平面PBC⊥平面PDC.方法二取PD，PC的