高考微专题解析几何

微专题1：直角走廊问题的研究与拓展【课本溯源】如图，一条直角走廊宽为:1m，若一根铁棒EF能水平地通过此直角走廊，求此根铁棒的最大长度.【探究拓展】探究1：已知直线过点，且与轴的正半轴、轴正半轴分别交于两点（1）求面积最小值及此时直线的方程；（2）求最小值及此时直线的方程；（3）求最小值及此时直线的方程变式1：过点作直线交轴与轴交于两点，若的面积为12，试问这样的直线有几条？3条变式2：已知过点的直线与轴正半轴、轴正半轴交于两点，若面积为的直线条数为2条，则的取值范围是___________.（考察直线的截距式、基本不等式的使用）答案：探究1：如图，一条直角走廊宽分别为1m和8m，若一根铁棒EF能水平地通过此直角走廊，求此根铁棒的最大长度.探究2：如图，一条转角处角度为（）的等宽走廊宽为1m，若一根铁棒EF能水平地通过此直角走廊，则此根铁棒的最大长度为_____________.探究3：如图所示，一条直角走廊宽为2米。现有一转动灵活的平板车，其平板面为矩形ABEF，它的宽为1米。直线EF分别交直线AC、BC于M、N，过墙角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；（1）若平板车卡在直角走廊内，且∠，试求平板面的长(用表示)；（2）若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?AAB2m2mMNEDFPQCCl解：（1）DM=，DN=，MF=，EN=，EF=DM+DN-MF-EN=+－－=（）（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角（），平板车的长度不能通过，即平板车的长度；记，有=，==此后研究函数的最小值，方法很多；如换元（记，则）或直接求导，以确定函数在上的单调性；当时取得最小值探究4：一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁和外壁都是半径为的四分之一圆弧，，分别与圆弧相切于，两点，∥，∥，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是．（1）若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内壁圆弧相切于点．设，试用表示木棒的长度；（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．NMNMABCDEFGHPS1m1mTQWNMABCDEFGHPQ1m1m解：（1）如图，设圆弧所在的圆的圆心为，过点作垂线，垂足为点，且交或其延长线与于，并连接，再过点作的垂线，垂足为．在 中，因为，，所以．因为与圆弧切于点，所以，在，因为，，所以，，①若在线段上，则在 中，，因此②若在线段的延长线上，则在 中，，因此．（2）设，则，因此．因为，又，所以恒成立，因此函数在是减函数，所以，即．答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？微专题2：三角函数定义在解析几何中的应用研究与拓展【问题提出】问题1：已知,均为正数,,满足,则的值为__________.问题2：如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮的半径为（为常数），小飞轮的半径为，.在大飞轮的边缘上有两个点，，满足，在小飞轮的边缘上有点．设大飞轮逆时针旋转一圈，传动开始时，点，在水平直线上．求点到达最高点时，间的距离；（2）求点，在传动过程中高度差的最大值．【分析】把A看作主动点，C为从动点，相同时间内两个飞轮传动的皮带长度相等，可以得到两个圆上的圆心角的大小关系．要求点，在传动过程中高度差，建立坐标系较方便．【解答】（1）以为坐标系的原点，所在直线为轴，如图所示建立直角坐标系．AOZOZCZBZ12．．．．．xy当点A到达最高点时，点A绕AOZOZCZBZ12．．．．．xy此时A（0，2r），C．∴．（2）由题意，设大飞轮转过的角度为θ，则小飞轮转过的角度为2θ，其中．此时B（2r，2r），C（4rr，r）．记点高度差为，则．即．设，，则．令，得或1．则，，0或2π．列表：02π+00+0极大值f()极小值f()0∴当θ时，f(θ)取得极大值为；当θ时，f(θ)取得极小值为．答：点B，C在传动中高度差的最大值．本题主要考查弧度制的定义，三角函数的定义并结合导数来考虑函数的最值问题．对于一些不能利用三角函数常见求解方法的三角函数问题，一般可以利用导数来求其最值．【探究拓展】探究1：已知曲线的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.正方形的顶点都在上，且以逆时针次序排列，点的极坐标为.（1）求点的直角坐标；（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.探究2：过原点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于与，则四边形面积的最小值为.探究3：椭圆的离心率为，左顶点到直线的距离，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于两点，若以为直径的圆经过坐标原点，证明：点到直线的距离为定值；（3）试求面积的最小值.探究4：已知椭圆：（）经过与OABMxy两点，过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足．OABMxy（1）求椭圆的方程；（2）求证：为定值．【分析】（1）待定系数法求椭圆方程；（2）求等价于求的值.在求时，不要忘记讨论点A、B、M的特殊位置。【解答】（1）将与代入椭圆的方程，得，解得，．所以椭圆的方程为．（2）由，知在线段的垂直平分线上，由椭圆的对称性知、关于原点对称．①若点、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，此时．同理，若点、在椭圆的长轴顶点上，则点在椭圆的短轴顶点上，此时．②若点、、不是椭圆的顶点，设直线的方程为（），则直线的方程为．设，，由，解得，，所以，同理可得，所以．综上，为定值．【反思】对于第（2）小题也可以设点法来处理，即设点A，B，分别代入椭圆方程即得结果.此法是运用了三角函数中的点的表示或者说是极点在原点的极坐标表示法，同时免于了讨论.变式1：在平面直角坐标系中，已知,若三点按顺时针方向排列构成等边三角形,且直线与轴交于点（1）求的值；（2）求点的坐标本题2问也可以利用矩阵变换的方法完成变式2：已知椭圆的离心率，一条准线方程为（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上的两个动点，为坐标原点，且．①当直线的倾斜角为时，求的面积；②是否存在以原点为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．解：（1）因为，，，解得，所以椭圆方程为．（2）=1\*GB3①由，解得，由得，所以，所以．=2\*GB3②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为，则因为，故，当与的斜率均存在时，不妨设直线方程为：，由，得，所以，同理可得（将中的换成可得），，，当与的斜率有一个不存在时，可得，故满足条件的定圆方程为：．变式3：在平面直角坐标系中，已知双曲线：．（1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积；（2）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值.变式4：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(a>b>0)过点(1，1)．（1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；（2）若椭圆上两动点P，Q，满足OP⊥OQ．①已知命题：“直线PQ恒与定圆C相切”是真命题，试直接写出圆C的方程；(不需要解答过程)②设①中的圆C交y轴的负半轴于M点，二次函数y=x2-m的图象过点M．点A，B在该图象上，当A，O，B三点共线时，求△MAB的面积S的最小值．解：(1)由，所以．························································2分设椭圆方程为，将(1，1)代入得，所以，椭圆方程为．·············································5分(2)①．······························································9分②由题意，二次函数为y=x2-1．······················································10分设直线AB的方程为y=kx．由，消去得，．设，，则，．······································12分所以．·····························14分当时，△MAB的面积S的最小值为1．·············································16分拓展1：经过点(1，1)的椭圆C1：上有两动点P，Q，满足OP⊥OQ．（1）求证直线PQ恒与定圆C相切，并求出圆C的方程；（2）设（1）中的圆C交y轴的负半轴于M点，曲线C2：y=x2-m过M点．过M作直线l1交C1于D，交C2于A，过M作直线l2交C1于E，交C2于B．当A，O，B共线时，①求∠AMB；②记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，求的最小值．求解时，可利用等面积法，得到，进而可证明直线PQ恒与单位圆相切．可通过特例，由椭圆的四个顶点及连线围成的菱形，由猜测出圆C的方程，进而只需探求圆心O到直线PQ的距离是否为1即可．OxyABl拓展2：在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C的中心在原点，焦点在xOxyABl（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，且．①求证：原点O到直线AB的距离为定值；②求AB的最小值．【解】（1）由题意，可设椭圆C的方程为，焦距为2c，离心率为e．于是．设椭圆的右焦点为F，椭圆上点P到右准线距离为，则，于是当d最小即P为右顶点时，PF取得最小值，所以．因为所以椭圆方程为．（2）①设原点到直线的距离为h，则由题设及面积公式知．当直线的斜率不存在或斜率为时，或于是．当直线的斜率存在且不为时，则，解得同理在Rt△OAB中，，则，所以．综上，原点到直线的距离为定值．另解：，所以．②因为h为定值，于是求的最小值即求的最小值．，令，则，于是，因为，所以，当且仅当，即，取得最小值，因而所以的最小值为．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？微专题3：老马饮水问题的研究与拓展【探究拓展】探究：在直线：上（1）求一点，使到点和的距离之和最小；（2）求一点，使到点和的距离之差最大.变式1：以为一个顶点，试在轴上找一点，另在直线上找一点构成，使其周长最小.变式2：自发出的光线被轴反射后射到圆上，则光线走过的最短距离为_________.【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？微专题4：平行线间的一类三角函数问题的研究与拓展【探究拓展】探究：、、是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线．（1）如果与间的距离是1，与间的距离也是1，可以把一个正三角形的三顶点分别放在，，上，求这个正三角形的边长；（2）如图，如果与间的距离是1，与间的距离是2，能否把一个正三角形的三顶点分别放在，，上，如果能放，求和夹角的正切值并求该正三角形边长；如果不能，说明为什么？（3）如果边长为2的正三角形的三顶点分别在，，上，设与的距离为，与的距离为，求的范围？解：不妨设（1）∵到直线的距离相等，∴过的中点， ∴ ∴边长 （2）设边长为与的夹角为，由对称性，不妨设，∴两式相比得： ∴∴ ∴边长（3）== ∵，∴∴，∴（图甲）（图乙）变式：如图，某兴趣小组测得菱形养殖区的固定投食点到两条平行河岸线的距离分别为4m、8m，河岸线与该养殖区的最近点的距离为1m，与该养殖区的最近点的距离为2m．（1）如图甲，养殖区在投食点的右侧，若该小组测得，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点的两侧，试在该小组未测得的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．（图甲）（图乙）解：（1）如图甲，设与所成夹角为，则与所成夹角为，对菱形的边长“算两次”得，解得，所以，养殖区的面积；……6分（2）如图乙，设与所成夹角为，，则与所成夹角为，对菱形的边长“算两次”得，解得，所以养殖区的面积由得，经检验得，当时，养殖区的面积．拓展1：如图，已知矩形ORTM内有5个全等的小正方形，其中顶点A、B、C、D在矩形ORTM的四条边上.若矩形ORTM的边长OR=7，OM=8，试求小正方形的边长.解法1：因为以AI、AD的方向分别为轴、轴的正向建立平面直角坐标系，设小正方形的边长为得A（0，0）、、、.设直线MDT的斜率为k，则，，，.由此可得直线MDT、OBR之间的距离是，直线MAO、TCR之间的距离是，由此可解得，,，即边长为.解法2：设锐角∠MAD=，设小正方形的边长为，则由右图可得相减得消去解得边长为.解法3：可设，由，可设由（1）可得：，所以，所以，所以小正方形的边长为拓展2：在平面直角坐标系xOy中，设，B，C是函数图象上的两点，且△ABC为正三角形，则△ABC的高为___________.2解法1：设正三角形ABC的边长为a，B(-1+acos(θ+30º)，1+asin(θ+30º))，C(-1+acos(θ－30º)，1+asin(θ－30º))，由B、C在y=上，所以，两式相减得：a2cos2－asim－acos＝0，得a＝，①两式相加得：，a2sin2θ=4②解法2：将直角坐标系旋转45º，则A(0，)，双曲线方程为：.设BC的方程为：y=kx+b，联立，消去得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2=0.，BC中点D(，)，而直线AD的方程是：.所以，=，，AD＝，BC＝|x1－x2|=，由△ABC为正三角形，所以AD＝＝7.故AD＝=＝2.拓展3：某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，，AB＝2百米，BC＝1百米（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1）,使得EF‖AB,,在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？微专题5：圆系方程问题的研究与拓展【课本溯源】（1）已知一个圆经过直线：与圆：的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程.（2）求圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点的圆的方程.【问题提出】问题1：过直线与圆的交点的圆系方程问题知识点睛：过直线与圆的交点的圆系方程为：.问题2：过两圆交点的圆系方程问题知识点睛：经过两圆与交点的圆系方程为：.特别的，当时，上式为，其表示两圆的相交弦或公切线所在的直线。问题3：一些特殊的运用技巧（1）点圆——半径为0的圆；（2）想像圆——直角三角形的外接圆.【探究拓展】探究1：求过直线：与圆：的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1）过原点；（2）有最小面积.变式1：一圆过圆与直线的交点，且圆心在轴上，求这个圆的方程．变式2：求过两圆：与：的交点且圆心在直线：上的圆的方程为______________________________.变式3：求经过两圆：及：的两个交点且半径最小的圆的方程.变式4：过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为____________.变式5：过原点作圆：的两条切线,设切点分别为点、,则线段的长为.探究2：已知动圆：，，证明不论取任何实数值，动圆恒过一个定点.变式1：求证：对任意实数，恒过两个定点.变式2：已知曲线.（1）求证无论m取何实数，曲线C过一定点；（2）证明当时，曲线C是一个圆，且圆心在一条定直线上.探究3：求与圆：相切于点且过点的圆的方程.探究4：已知圆与直线相交于、两点，是坐标原点，若，求实数的值.变式：已知圆：.是否存在斜率为的直线被圆截得的弦为，使得(为原点)？若存在，试求直线的方程；若不存在，说明理由.【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？微专题6：和圆有关的十一类轨迹问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：已知在中，的最大值为__________变式：函数，当时，在中，，且BC=1，若E为BC中点，则AE的最大值为_____________.（或者利用向量的中线模型加以转化）探究2：如果圆上总存在两点到原点的距离为1，则实数m的取值范围为___________.变式1：在平面直角坐标系中，若满足的点都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数的取值范围是________两圆内含和内切变式2：若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线斜率的取值范围是___________.变式3：在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为1，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.解：（1）切线方程为或（2）命题背景：阿波罗尼奥斯圆；转化为两圆的位置关系问题处理答案为探究3：平面内到A(0，-3)的距离为1，到点B（4,0）的距离为2的直线有______条.变式：在平面直角坐标系中，若与点的距离为且与点的距离为的直线恰有两条，则实数的取值范围为__________考察圆与圆的位置关系，研究公切线的条数探究4：写出以，,为直径的圆的方程________________.变式1：若实数a,b,c成等差数列，点P（-1,0）到动直线上的射影为M，已知点N（3,3），则线段MN长度的最大值为____________变式2：若点G为的重心，且AG⊥BG，则的最大值为变式3：在中，边上的中线和边上的中线互相垂直，交点为，则的最小值为________两条中线所在直线作为两坐标轴建系拓展：将命题“圆上任意一点对直径的张角为直角”类比到椭圆和双曲线有怎样的结论？xxyBB´AA´ODD´探究5：点A，B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB＝2，若点A从(eq\r(3)，0)移动到(eq\r(2)，0)，则AB中点D经过的路程为.eq\f(,12)单位圆变式：如图，线段的长度为1，端点在边长不小于1的正方形的四边上滑动，当沿正方形的四边滑动一周时，的中点所形成的轨迹为，若的周长为，其围成的面积为，则的最大值为．拓展：若M点是线段EF上任意一点，则M点的轨迹是什么？探究6：已知点与两定点的距离之比为，那么点的坐标应满足什么关系？拓展：已知动点与两定点、的距离之比为，那么点的轨迹是什么？问题1：满足条件AB2，ACeq\r(2)BC的ABC的面积的最大值是_________．问题2：已知点A(2,0)，B(4,0)，圆，P是圆C上任意一点，问是否存在常数，使得？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由．变式1：已知点A(2,0)，圆，P是圆C上任意一点，问：在平面上是否存在点B，使得？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．变式2：已知点A(2,0)，B(4,0)，圆，P是圆C上任意一点，若为定值，求b的值．拓展1：设圆，动圆，试探究：平面内是否存在定点，过点作圆的一条切线，切点为，过点作圆的一条切线，切点为，使无穷多个圆，满足？如果存在，求出所有这样的点；如果不存在，说明理由.探究7：已知圆M：直线l:y=kx,给出下列四个命题：eq\o\ac(○,1)对任意实数k和,直线l与圆M相切；eq\o\ac(○,2)对任意实数k和,直线l与圆M有公共点；eq\o\ac(○,3)对任意实数,必存在实数k，使得直线l与圆M相切；eq\o\ac(○,4)对任意实数k，必存在实数,使得直线l与圆M相切.其中正确命题的序号为_____________.变式1：圆心的运动轨迹是什么？变式2：圆扫过的面积是多少？拓展1：已知和是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点是，动点分别在和上，且，过三点的动圆所形成的区域的面积为__________解答：；三点的动圆在以为直径的圆上，以的中点为圆心，M点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以动圆所形成的区域是是以为圆心，为半径的圆拓展2：已知点在椭圆（）上运动，点为椭圆的右焦点，以为圆心，为半径做圆，当在椭圆上扫过一周时，形成的轨迹图像的面积为_______探究8：在平面直角坐标系中，若直线与圆和圆都相切，且两个圆的圆心均在直线的下方，则直线的斜率为________.7通过对图形进行割补可得到最终结果。变式1：已知圆（）（1）对任意是否存在直线与圆都相切？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由；（2）给定圆；圆（），若两圆的公共弦所在直线的方程为，且公共弦长为，求和的值.变式2：设有一组圆，求这组圆的公切线方程变式3：一组圆，求这组圆的公切线方程.变式4：有一组圆．四个命题中：Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交Ｄ．所有的圆均不经过原点其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）探究9：设直线系,下列命题：①中所有直线均经过一个定点；②存在定点不在中的任一条直线上③对于任意整数，存在正边形,其所有边均在中的直线上④中的直线所能围成的正三角形面积都相等⑤存在一个圆与所有直线相交；⑥存在一个圆与所有直线不相交；⑦存在一个圆与所有直线相切；其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．变式：已知，，对任意，经过两点的直线与一定圆相切，则圆方程为．探究10：已知圆方程为，则过圆上一点的圆的切线方程是_____变式1：已知圆方程为，过圆上一点的圆的切线方程为____________.变式2：已知圆方程为，过圆上一点的圆的切线方程为___________.变式3：椭圆方程为，则过椭圆上一点的椭圆的切线方程为___________.这个点和这条切线的几何背景是什么？极点和极线变式4：双曲线方程为，则过双曲线上一点的双曲线的切线方程为___________.变式5：抛物线方程为，则过抛物线一点的抛物线的切线方程为___________.变式6：已知圆方程为，则过圆外一点作圆的两条切线，切点分别是，则相交弦直线的方程为___________.拓展1：xyOF2PAF11已知椭圆C：(a>b>0)的上顶点为A，左，右焦点分别为F1F2,且椭圆C过点P(eq\f(4,3)，eq\f(b,3))，以AP为直径的圆恰好过右焦点F2xyOF2PAF11（1）求椭圆C的方程；（2）若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)因为椭圆过点P(eq\f(4,3)，eq\f(b,3)),所以eq\f(16,9a2)+\f(1,9)=1,解得a2=2,又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.所以AF2F2P,即eq\f(b,c)eq\f(\f(b,3),\f(4,3)c)=1,b2=c(43c).,而b2=a2c2=2c2,所以c22c+1=0,解得c2=1，故椭圆C的方程是eq\f(x2,2)+y2=1.(2)①当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4kpx+2p2－2=0.因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，所以△=16k2p2－4(1+2k2)(2p2－2)=8(1+2k2―p2)=0，即1+2k2=p2.设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则eq\f(|ks+p|,\r(k2+1))eq\f(|kt+p|,\r(k2+1))=eq\f(|k2st+kp(s+t)+p2|,k2+1)=1，即(st+1)k+p(s+t)=0(*)，或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0(**).由(*)恒成立,得eq\b\lc\{(\a\al(st+1=0，,s+t=0.))解得eq\b\lc\{(\a\al(s=1,t=1)),或eq\b\lc\{(\a\al(s=1,t=1))，而(**)不恒成立.②当直线l斜率不存在时，直线方程为x=eq\r(2)时，定点(－1，0)、F2(1，0)到直线l的距离之积d1d2=(eq\r(2)－1)(eq\r(2)+1)=1.综上,存在两个定点(1,0),(1,0),使其到直线l的距离之积为定值1.思考：能否利用切线方法进行一定程度的优化？拓展2：在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦距为.求椭圆的方程；（2）若点在定直线上运动，过点引椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点（3）试问第（2）问的逆命题是否成立？说明理由.探究11：已知圆，若圆上有且只有4个点到直线的距离为1，则r的取值范围是__________.变式：在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是_________.拓展：关于圆上点到直线l与距离为d的点的个数归纳？【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？微专题7：椭圆定义问题的研究与拓展【问题提出】问题1：一动圆与已知圆O1：(x+3）2+y2=1外切，与圆O2：(x-3）2+y2=81内切，则动圆圆心的轨迹方程为_________问题2：已知圆柱的底面半径为与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，建立适当的坐标系，求椭圆的标准方程与离心率__________________.拓展：能否对结论做一般推广？问题3:已知是椭圆左焦点，定点，为椭圆上的一个动点，则的最小值为.7问题4：椭圆第三定义：与两个定点,连线的斜率乘积等于定值的动点的轨迹方程是______________，其轨迹是________________.yy思考：考虑其逆命题，成立吗？【探究拓展】探究1：椭圆长轴的两个顶点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为．拓展1：能否对结论作一般性推广？结论如何？拓展2：在双曲线中能否给出类似的结论？变式：已知AB是过双曲线的中心的一条弦，是双曲线上异于顶点的一点，设直线的斜率分别为，则=___________yy探究2：椭圆上任意经过原点的弦的两个端点与椭圆上的任一点（除这两点外）连线斜率之积为y变式１：如图，若为椭圆的右顶点，直线AD、PD交直线于两点，则的最小值为．y你能利用我们所探究的结论来解决吗？变式2：已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为、，则=_______.变式3：如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆()的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为.若，则直线的斜率为OOBCF1F2Dxy拓展1：在平面直角坐标系中，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.y（1）若直线PA平分线段NM时，求k的值；y（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离； （3）对任意的k＞0，求证：PA⊥PB．你能利用我们所探究的结论来解决（3）吗？拓展2：请将圆中的其它性质类比到椭圆中，进行探究．（1）圆的垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦．类比：椭圆中，过原点平分椭圆弦的直线与弦所在直线的斜率之积是否为一定值？（假设它们的斜率存在）；（2）圆的切线定理：过切点的直径垂直于圆的切线．类比：椭圆中，椭圆上一点与原点连线的斜率与该点处切线的斜率之积是否为一定值？（假设它们的斜率存在）．拓展3：椭圆与轴交与两点，是椭圆上任一点，直线分别与直线交与两点，问以为直径的圆是否过定点？定点为，拓展4：已知椭圆的左顶点为，过作两条互相垂直的弦，交椭圆于两点（1）当直线斜率为1时，求点的坐标（2）当直线斜率为时，直线是否过轴上的一定点（1）（2）由（1）知过定点由，同理拓展5：已知是椭圆上关于轴对称的两点，是椭圆上任一点，直线分别与轴交于点两点，求证：为定值解：设=为定值拓展6：如图，已知椭圆方程为，圆方程为，过椭圆的左顶点A作斜率为直线与椭圆和圆分别相交于B、C．（1）若时，恰好为线段AC的中点，试求椭圆的离心率；（2）若椭圆的离心率=，为椭圆的右焦点，当时，求值；（3）设D为圆上不同于A的一点，直线AD的斜率为，当时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．解：（1）当时，点C在轴上，且，则，由点B在椭圆上，得，∴，，∴．（2）设椭圆的左焦点为，由椭圆定义知，，∴，则点B在线段的中垂线上，∴，又，∴，，∴，代入椭圆方程得=，∴=．（3）法一：由得，∴，或，∵，∴，则．由得，得，或，同理，得，，当时，，，，∴BD⊥AD，∵为圆，∴∠ADB所对圆的弦为直径，从而直线BD过定点（a,0）.法二：直线过定点，证明如下：设，，则：，所以，又所以三点共线，即直线过定点.拓展7：已知椭圆C：eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(6),3)，且过点(eq\r(6)，eq\r(2))．设M是椭圆C上的一点，P、Q、T分别为点M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于点M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E．（1）求椭圆C的方程；（2）当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．（1）由题意得：解之得：a2=12，b2=4，所以椭圆C的方程为：．（2）设M(x1，y1)为椭圆C上的任意一点（x1y1≠0），N(x2，y2)，动点E的坐标为（x，y），则P(－x1，y1)，Q(－x1，－y1)，T(x1，－y1)．所以，……(1)．……(2)(1)－(2)，得．所以，即．又MN⊥MQ，，，所以．直线QN的方程为，直线PT的方程为．从而得．所以．由（1），可得，此即为所求的轨迹方程．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？微专题8：圆锥曲线中一类对称问题的研究与拓展【探究拓展】引例：试探究是否存在实数，使得椭圆有不同的两点关于直线对称？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；结论：若直线交椭圆于两点，且不与轴垂直，为线段的中点，则_____变式1：已知直线与双曲线相交于两点，是否存在实数，使两点关于直线对称？若存在，求出实数的值，不存在，请说明理由变式2：已知抛物线与直线，试问上是否存在关于直线对称的两点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由变式3：中心在原点，焦点在轴上的椭圆的一个顶点为，右焦点到直线的距离为3（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在斜率的直线交于两点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？微专题9：焦点三角形面积问题的研究与拓展【探究拓展】探究：已知椭圆方程为，是其左右焦点，是椭圆上异于的任意一点，若已知，求证：的面积只与椭圆的短轴长有关.拓展：情况可否推广到双曲线中？结论如何？变式：已知双曲线的左、右焦点分别为，，是准线上一点，且，，则双曲线的离心率是利用双曲线焦点三角形面积公式：；椭圆结论：【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？微专题10：椭圆上点的存在性问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：已知椭圆（），是椭圆的左、右焦点，试问在椭圆上存在几个点，使得？探究2：已知分别是椭圆的左、右焦点，l为右准线，若椭圆上存在一点，使是P到直线l的距离的3倍，则离心率的取值范围为.考虑最大值大于等于3答案为：变式：已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为_________．思考：若将比值形式变为乘积形式，结论如何？探究3：在平面内，已知椭圆的两个焦点为，椭圆的离心率为,点是椭圆上任意一点,且.（1）求椭圆的标准方程；（2）以椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，这样的等腰直角三角形是否存在？若存在请说明有几个、并求出直角边所在直线方程？若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得，方程为：（2）设的直线方程为设，（不妨设）由得，由得，即，即或所以，存在3个等腰直角三角形。直角边所在直线方程为变式：已知曲线，直线，为坐标原点.（1）讨论曲线所表示的轨迹形状；（2）当，时，求直线被曲线C所截得的弦长；（3）若直线与x轴的交点为，当时，是否存在这样的以为直角顶点的内接于曲线的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个？若不存在，请说明理由.解：（1），当时，曲线表示焦点在x轴上的双曲线；当时，曲线表示单位圆；当时，曲线表示焦点在x轴上的椭圆；当时，曲线表示焦点在y轴上的椭圆；（2）曲线C为单位圆，直线：，圆心O到直线的距离为，所以直线被圆O:截得弦长为.故所求弦长为（3）由题意知点，设过点的直线与曲线C交于另一点，由，；同理可求过点的直线与曲线C交于另一点，由或当时,存在三个满足条件的等腰直角三角形.探究4：三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形．已知点A是椭圆的一个短轴端点，如果以A为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率的取值范围是_______.可特殊化，取b=1便于计算，求出a的取值范围变式1：椭圆，过上顶点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，若以为直角顶点的等腰直角三角形有且仅有1个，则实数的取值范围_______.拓展：在平面内，已知椭圆的两个焦点为，椭圆的离心率为，点是椭圆上任意一点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）以椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，这样的等腰直角三角形是否存在？若存在请说明有几个，并求出直角边所在直线方程？若不存在，请说明理由．变式2：椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是．解：当为底边时，则应满足有解，但同时我们注意到【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？微专题11：椭圆的极坐标方程相关问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：若以为极点，以作为极轴，设为椭圆上的任意一点，请利用椭圆的第二定义推导以左焦点为极点的椭圆的极坐标方程变式1:：请利用椭圆的第二定义推导以右焦点为极点的椭圆的极坐标方程；变式2:：若过右焦点的直线交椭圆于两点，若设点的极角为，写出和；探究2：在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为（，为常数），离心率等于，过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若时，，求实数；（3）试问的值是否与的大小无关，并证明你的结论．解：（1）∵，椭圆离心率，∴．∴．∴椭圆的标准方程为．（2）在椭圆方程中，令，解得．∵当时，直线MN⊥x轴，此时．∴．∵，∴．解得．（3）的值与的大小无关．证明如下：法一：设点M、N到右准线的距离分别为．∵，，∴．又由图可知，，∴．即．同理，∴=．∴．显然该值与与的大小无关．法二：当直线的斜率不存在时，由（2）知，的值与的大小无关．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程，得．设点、，∵△恒成立，∴，．∵，，∴，．……11分∴=．显然该值与与的大小无关．（优化方法：借助椭圆的第二定义，应用平面几何的相关性质解决）本题结论可进一步推广：（1）若是经过椭圆焦点的一条弦，其中分别是直线与椭圆的两个焦点，则定值；（2）若是经过双曲线焦点的一条弦，其中分别是直线与双曲线的两个焦点，则定值；（3）若是经过抛物线（）焦点的一条弦，其中分别是直线与抛物线的两个焦点，则定值；ABPOxyABPOxy．已知和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的离心率；（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值．变式：椭圆的右焦点为，为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中是椭圆的右顶点，并且．若这24个点到右准线的距离的倒数和为，则的值为.180拓展1：某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中是过抛物线焦点且互相垂直的两条弦，该抛物线的对称轴为，通径长为4．记，为锐角．（通径：经过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦）（1）用表示的长；（2）试建立“蝴蝶形图案”的面积关于的函数关系式，并设计的大小，使“蝴蝶形图案”的面积最小．解：（1）由抛物线的定义知，，解得，．（2）据（1）同理可得，，．所以“蝴蝶形图案”的面积，即，．令，则，所以当，即时，的最小值为8．答：当时，可使“蝴蝶形图案”的面积最小．拓展2：已知曲线的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.正方形的顶点都在上，且以逆时针次序排列，点的极坐标为.（1）求点的直角坐标；（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.拓展3：已知椭圆两个焦点，且椭圆与直线相切.（1）求椭圆的方程；（2）过作两条互相垂直的直线和，与椭圆分别交于及两点，求四边形面积的最大值与最小值.可进一步探究：结论能否作进一步推广？结论如何？推广后的结论：；思考1：已知点是坐标平面内的一点，且满足到点的距离与其到定直线的距离之比为，求点的运动轨迹方程？此时应用求轨迹方程的一般步骤求解，否则不给分，此处未告知椭圆的中心是否在坐标原点思考2：可模仿某年全国高考试题命题：求证四边形面积的最大值只与椭圆的短半轴长有关拓展4：如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x=12（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明为定值，并求此定值【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？微专题12：椭圆的极点和极线相关问题的研究与拓展【问题提出】椭圆极点和极线的定义与作图：已知椭圆（a＞b＞0），则称点和直线为椭圆的一对极点和极线.极点和极线是成对出现的.从定义我们共同思考和讨论几个问题并写下你的思考:（1）若点在椭圆上，则其对应的极线是什么?（2）椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么?（3）过椭圆外（上、内）任意一点，如何作出相应的极线？【探究拓展】探究1：在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,.（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得化简得。故所求点P的轨迹为直线（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，即，直线NTB方程为：，即联立方程组，解得：，所以点T的坐标为（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB方程为：，即分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、（方法1）当时，直线MN方程为：令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。（方法2）若，则由及，得，此时直线MN的方程为，过点D（1，0）若，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过轴上的点（1，0）.探索解析几何问题中的两个技巧用“α法”求直线方程已知两点坐标，求经过这两点的直线方程．通常采取的方法是，或者“点斜式”，或者“两点式”．其实采用下面介绍的“α法”，运算将更加迅速简洁．现介绍如下：若A（，），B（，），求直线AB的方程．先将两个点的坐标上下对齐书写，假设最终求出的直线方程为Ax＋By＋C＝0，则，，这种方法既形象直观，又运算简洁，更重要的是避免了许多情况下，因为字母运算时需要分类讨论的繁琐．大家不妨以“若A（－2,1），B（3，－1），求直线AB的方程”为例试试看.（2）巧妙分解因式通常由直线方程与二次曲线方程联立方程组求交点坐标，这种运算是可怕的，尤其是含有大量字母运算时，但当直线与二次曲线有一个已知公共点时，则可以借助分解因式的技巧，很方便地求出另一个公共点的坐标．下面以椭圆为例讲解这种运算技巧：若公共点为，椭圆方程为，设直线方程为，则由得，，将代入上式得，显然有公因式，从而很方便地求出另一个交点坐标．下面运用前面介绍的两个技巧解答2022江苏省高考数学第18题的第⑶问．先求点M的坐标：由得将直线TA：代入上式得显然x＋3＝0时，即为点A．要求点M，则约去（x＋3）得．代入直线TA：得点M的坐标为．同理，可求出点N的坐标为．用“α法”写出直线MN的方程，并及时令y＝0得由于m＞0，化简得，则x＝1即直线MN必过x轴上的定点（1，0）．探究2：在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2＝r2和直线l：x＝a（其中r和a均为常数，且0<r<a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．（1）若r＝2，M点的坐标为(4，2)，求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．解：（1）当r＝2，M(4，2)，则A1(－2，0)，A2(2，0).直线MA1的方程：x－3y+2=0，解得．直线MA2的方程：x－y－2=0，解得．由两点式，得直线PQ方程为：2x－y－2=0．另解：(1)当r＝2，M(4，2)，则A1(－2，0)，A2(2，0).直线MA1的方程：x－3y+2=0，直线MA2的方程：x+y－2=0，所以P、Q在曲线(x－3y+2)(x－y－2)+t(x2+y2－4)=0上，当t=－1时，2x－2y－2=0为直线PQ的方程.（2）证法一：由题设得A1(－r，0)，A2(r，0).设M(a，t)，直线MA1的方程是：y=eq\f(t,a+r)(x+r)，直线MA1的方程是：y=eq\f(t,a－r)(x－r)．解得．解得．于是直线PQ的斜率kPQ＝eq\f(2at,a2－t2－r2)，直线PQ的方程为．上式中令y=0，得x＝eq\f(r2,a)，是一个与t无关的常数.故直线PQ过定点．证法二：由题设得A1(－r，0)，A2(r，0).设M(a，t)，直线MA1的方程是：y=eq\f(t,a+r)(x+r)，与圆C的交点P设为P(x1，y1)．直线MA2的方程是：y=eq\f(t,a－r)(x－r)；与圆C的交点Q设为Q(x2，y2)．则点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在曲线［(a+r)y－t(x+r)］［(a－r)y－t(x－r)］=0上，化简得(a2－r2)y2－2ty(ax－r2)+t2(x2－r2)＝0．①又有P(x1，y1)，Q(x2，y2)在圆C上，圆C：x2+y2－r2＝0．②①－t2×②得(a2－r2)y2－2ty(ax－r2)－t2(x2－r2)－t2(x2+y2－r2)＝0，化简得：(a2－r2)y－2t(ax－r2)－t2y＝0．所以直线PQ的方程为(a2－r2)y－2t(ax－r2)-t2y＝0．③在③中令y=0得x=eq\f(r2,a)，故直线PQ过定点．变式：已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线x＝my＋1与椭圆C交于两点P，Q，直线与交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？微专题13：解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展【问题提出】1.无论取任何实数，直线必经过一个定点，则这个定点的坐标为__________.2.已知直线；圆，则直线与圆的位置关系为______________.3.已知椭圆，点分别是椭圆的左顶点和左焦点，点是圆上的动点，若为常数，则椭圆的离心率为___________.4.平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－(6－2m)x－4my＋5m2－6m＝0过点(1，0)．若对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值，则直线l的方程为________.2x＋y－2＝0【探究拓展】探究1：已知、分别为椭圆:的上、下焦点,其中也是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点,且.（1）求椭圆的方程.（2）已知点和圆:,过点的动直线与圆相交于不同的两点,在线段上取一点,满足:,,(且).求证:点总在某定直线上.解：方法1：由知,设,因在抛物线上,故…①又,则……②,由①②解得,椭圆的两个焦点,,点椭圆上,由椭圆定义∴,又,∴,∴椭圆的方程为.方法2：由知,设,因在抛物线上,故…①又,则……②,由①②解得,.而点椭圆上,故有即…③,又,则…④由③④可解得,,∴椭圆的方程为（2）设,,由可得:,即由可得:,即⑤⑦得:⑥⑧得:两式相加得又点在圆上，且,所以,即,∴点总在定直线上.变式1：在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(－4,0)、B(4,0)，动点P与A、B两点连线的斜率之积为.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C.半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为eq\r(3)r.①求⊙M的方程；②当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．变式2：已知椭圆E：的离心率为，它的上顶点为A，左、右焦点分别为，直线AF1，AF2分别交椭圆于点B，C．（1）求证直线BO平分线段AC；（2）设点P（m，n）（m，n为常数）在直线BO上且在椭圆外，过P的动直线l与椭圆交于两个不同点M，N，在线段MN上取点Q，满足，试证明点Q恒在一定直线上．解：（1）由题意，，则，，故椭圆方程为，即，其中，，∴直线的斜率为，此时直线的方程为，联立得，解得（舍）和，即，由对称性知．直线BO的方程为，线段AC的中点坐标为，AC的中点坐标满足直线BO的方程，即直线BO平分线段AC．（2）设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为，点，则，．∵，∴设，则求得，，∴，∴，由于m，n，C为常数，所以点Q恒在直线上．【说明】（1）若特殊化处理，令，此时椭圆方程为，设，其它条件不变，可得点Q恒在直线上．（2）若一般化处理，对于椭圆，椭圆外的一点P（m，n）（m，n为常数），过P的动直线l与椭圆交于两个不同点M，N，在线段MN上取点Q，满足，则点Q恒在定直线上．（极点和极线问题）探究2：平面直角坐标系中，圆和圆.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.解：(1)设直线的方程为：，即由垂径定理，得：圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，得：化简得：求直线的方程为：或，即或(2)设点P坐标为，直线、的方程分别为：，即：因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。故有：，化简得：关于的方程有无穷多解，有：解之得：点P坐标为或.变式1：在直角坐标系中，点到点，的距离之和为，点的轨迹是，与轴的负半轴交于点，轨迹上有不同的两点和，且求轨迹的方程；直线是否过轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点？若不过定点，请说明理由.变式2：已知圆，点，直线.（1）求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；（2）在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.拓展：在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别是，点为椭圆的左顶点，圆的方程为，是否存在不同于点的定点，对于圆上任一点，都有为一常数，若存在，试求所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.变式3：在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：－y＋3＋＝0和圆：＋＋8x＋F＝0．若直线l被圆截得的弦长为．设圆和x轴相交于A，B两点，点P为圆上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交y轴于M，N两点．当点P变化时，以MN为直径的圆是否经过圆内一定点？请证明你的结论；拓展：已知抛物线与椭圆有公共焦点F，且椭圆过点D.过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q，则直线PQ是否经过定点，若是，求出该点坐标，若不经过，说明理由值得注意的是：若题干中出现两条互相垂直的直线，一般用设而不求的思想（当两直线斜率均存在时，可设两直线斜率分别为和，然后进行运算）变式4：如图，椭圆的中心为原点O，离心率e＝eq\f(\r(2),2)，一条准线的方程为x＝2eq\r(2).(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P满足：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(ON,\s\up6(→))，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为－eq\f(1,2)，问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|＋|PF2|为定值？若存在，求出F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．变式5：已知左焦点为F(－1，0)的椭圆过点E(1，)．过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求k1；（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．解：依题设c=1，且右焦点(1，0)．所以，2a==，b2=a2－c2=2，故所求的椭圆的标准方程为．(2)设A(，)，B(，)，则①，②．②－①，得．所以，k1=．(3)依题设，k1≠k2．设M(,)，直线AB的方程为y－1=k1(x－1)，即y=k1x+(1－k1)，亦即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得．于是，，．同理，，．当k1k2≠0时，直线MN的斜率k==．直线MN的方程为，即，亦即．此时直线过定点．当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点．综上，直线MN恒过定点，且坐标为．第（3）问，可有一般的情形：过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦，则两动弦的中点所在直线过定值．此结论在抛物线中也成立．另外，也可以求过两中点所在直线的斜率的最值．近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势：多考一点“算”，少考一点“想”．拓展：如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：．（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设动圆同时平分圆的周长、圆的周长．①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；②动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．才才【分析】（1）在求直线方程时应先判断一下是否有斜率不存在的情况，然后再进行求解；（2）的第①小题其实质是求轨迹问题，即以圆C的半径相等作为等量关系来证明结论；（2）的第②小题的求解要学会与第①小题的相联系起来考虑，以表达出圆的含参方程，从而可以判断出结论.解：（1）设直线的方程为，即．因为直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为1，所以圆心到：的距离为．化简，得，解得或．所以直线的方程为或．（2）①证明：设圆心，由题意，得，即．化简得，即动圆圆心C在定直线上运动．②圆过定点，设，则动圆C的半径为．于是动圆C的方程为．整理，得．由得或所以定点的坐标为，．反思：1、第（2）题的第①小题的提法与书本要求相一致的，避免了求轨迹方程的嫌疑2、定点问题解题关键在于寻找题中用来联系已知量、未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系问题来解决。探究3：已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，且过点P(2，eq\r(2))，设椭圆E的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为eq\f(4\r(5),5).（1）求椭圆E的方程及圆O的方程；（2）若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上的任意一点N，有eq\f(MN,NQ)为定值；且当M在直线l上运动时，点Q在