知识点33圆的基本性质2022

第一批一、选择题7．（2022·嘉兴）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】连接OA，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以PA=.3.（2022·杭州）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，若PA=3，则PB= （）A．2 【答案】B【解析】因为PA和PB与⊙相切，根据切线长定理，可知：PA=PB=3，故选B．12．（2022·烟台）如图，AB是的直径，直线DE与相切于点C，过点A，B分别作，，垂足为点D，E，连接AC，BC．若，，则的长为（）．A．B．C．D．第12题答图第12题答图【答案】D【解题过程】连接OC，因为，，所以所以因为AB是的直径，所以，所以，所以，在△ADC与△CED,因为，所以△ADC∽△CED,所以在Rt△ACB中，，所以，又因为，所以△AOC是等边三角形，所以，因为直线DE与相切于点C，所以，因为，，所以ADC.D.【答案】D【解题过程】连接PA、PB、PC,过点P分别作PF⊥AB，PE⊥OC，垂足为F,E.由题意可知：四边形PFOE为矩形，∴PE＝OF,PF＝OE.∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°.∵PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA＝30°.∵PF⊥AB，∴AF＝BF＝3.∴PE＝OF＝2.∵tan30°＝,cos30°＝，∴PF＝,AP＝.∴OE＝,PC＝.在RT△PEC中，CE＝ ＝，∴OC＝CE＋EO＝＋2.5．（2022·青岛）如圈，结段AB经过⊙O的圆心，ACBD分别与⊙O相切于点D.若AC=BD=4,∠A=45°，则圆弧CD的长度为A.π B.2π C.2π π【答案】B【解析】连接CO,DO,因为AC,BD分别与⊙O相切于C,D，所以∠ACO=∠DBO=90°,所以∠AOC=∠A=45°,所以CO=AC=4，因为AC=BD,CO=DO,所以△ACO≌△BDO,所以∠DOB=∠AOC=45°，所以∠DOC=180°-∠DOB-∠AOC=180°-45°-45°=90°，==2π，故选B.9．（2022·益阳）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（）A.PA=PBB.∠BPD＝∠⊥平分PD第9题图【答案】D【解析】∵PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，∴PA=PB，∠BPD＝∠APD，故A、B正确；∵PA=PB，∠BPD＝∠APD，∴PD⊥AB，PD平分AB，但AB不一定平分PD，故C正确，D错误.7．（2022·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m.则这段弯路所在圆的半径为（） 【答案】A【解析】连接OD，由垂径定理可知O，C，D在同一条直线上，OC⊥AB，设半径为r，则OC＝OA＝r，AD＝20，OD＝OA－CD＝r－10，在Rt△ADO，由勾股定理知：r2＝202＋(r－10)2，解得r＝25.9．（2022·陇南）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A．° B．30° C．45° D．60°【答案】C【解析】作AB的垂直平分线，交圆与点C，D，设圆心为O，CD与AB交于点E，∵AB=OA，∴AE=，∴,∴∠AOE=45°，∴∠AOB=90°，∴∠ASB=45°，故选：C．1.（2022·滨州）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60° B．50° C．40° D．20°【答案】B【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．2.(2022·聊城)如图,BC是半圆O的直径,D,E是上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如果∠A＝70°,那么∠DOE的度数为° ° ° °【答案】C【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180°＝40°,故选C.3.（2022·潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=，DF=5，则BC的长为（）A．8B．10C．12D．16【答案】C【解析】连接BD．∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD．∵AB为直径，∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD．∵∠ABD=∠ACD，∴∠DAC=∠ADE．∴AF=DF=5．在Rt△AEF中，sin∠CAB=∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8．由DE2=AE▪EB，得．∴AB=16+4=20．在Rt△ABC中，sin∠CAB=∴BC=12．4.（2022·凉山）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数（▲）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以只有①是对的，故选A.5.（2022·眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD．垂足是点E，∠CAO=22．5°，OC=6，则CD的长为 A． B． C．6 D．12【答案】A【解析】∵∠A=°，∴∠COE=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，OC=6，∴∠CEO=90°，∵∠COE=45°，∴CE=OE=OC＝，∴CD=2CE=，故选D.6（2022·衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（A） 【答案】B【解析】连接OD，OB，则O，C，D三点在一条直线上，因为CD垂直平分AB，AB=8dm，所以BD=4dm,OD=（r-2）dm，由勾股定理得42+（r-2）2=r2，r=5dm，故选B.7.(2022·泰安)如图,△ABC是O的内接三角形,∠A＝119°,过点C的圆的切线交BO于点P,则∠P的度数为 ° ° ° °【答案】A【解析】连接CO,CF,∵∠A＝119°,∴∠BFC＝61°,∴∠BOC＝122°,∴∠COP＝58°,∵CP与圆相切于点C,∴OC⊥CP,∴在Rt△OCP中,∠P＝90°－∠COP＝32°,故选A.8.910.11.二、填空题7．（2022·嘉兴）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】连接OA，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以PA=.3.（2022·杭州）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，若PA=3，则PB= （）A．2 【答案】B【解析】因为PA和PB与⊙相切，根据切线长定理，可知：PA=PB=3，故选B．12．（2022·烟台）如图，AB是的直径，直线DE与相切于点C，过点A，B分别作，，垂足为点D，E，连接AC，BC．若，，则的长为（）．A．B．C．D．第12题答图第12题答图【答案】D【解题过程】连接OC，因为，，所以所以因为AB是的直径，所以，所以，所以，在△ADC与△CED,因为，所以△ADC∽△CED,所以在Rt△ACB中，，所以，又因为，所以△AOC是等边三角形，所以，因为直线DE与相切于点C，所以，因为，，所以ADC.D.【答案】D【解题过程】连接PA、PB、PC,过点P分别作PF⊥AB，PE⊥OC，垂足为F,E.由题意可知：四边形PFOE为矩形，∴PE＝OF,PF＝OE.∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°.∵PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA＝30°.∵PF⊥AB，∴AF＝BF＝3.∴PE＝OF＝2.∵tan30°＝,cos30°＝，∴PF＝,AP＝.∴OE＝,PC＝.在RT△PEC中，CE＝ ＝，∴OC＝CE＋EO＝＋2.5．（2022·青岛）如圈，结段AB经过⊙O的圆心，ACBD分别与⊙O相切于点D.若AC=BD=4,∠A=45°，则圆弧CD的长度为A.π B.2π C.2π π【答案】B【解析】连接CO,DO,因为AC,BD分别与⊙O相切于C,D，所以∠ACO=∠DBO=90°,所以∠AOC=∠A=45°,所以CO=AC=4，因为AC=BD,CO=DO,所以△ACO≌△BDO,所以∠DOB=∠AOC=45°，所以∠DOC=180°-∠DOB-∠AOC=180°-45°-45°=90°，==2π，故选B.16．（2022·娄底）如图（9），C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝_____________．【答案】1．【解析】如图，图9－1，连结AD，∵由AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵在⊙O中有∠ACD＝30°,∴∠B＝∠ACD＝30°，∴．17．（2022·衡阳）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是．【答案】6【解析】如图，作OD⊥BC于D，∵OB＝6，∠OBD＝30，∴BD＝BC＝3，∴BC＝6，故答案为6．13．（2022·安徽）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为.【答案】【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，于是得到∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，解直角三角形即可得到结论．连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，则∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，∵⊙O的半径为2，∴CE=4，∴BC=CE=2，∵CD⊥AB，∠CBA=45°，∴CD=BC=，故答案为．（2022·株洲）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝度．第16题【答案】20°【解析】如图，连接DO，因为CO⊥AB,所以∠COB=90°，∵∠AEC＝65°，∴∠C=25°，∵OD=OC,∴∠ODC=∠C=25°，△DCO中，∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∴2∠BAD=∠DOB,∴∠BAD=20°。1.（2022·凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，CD=2，则⊙O的半径是______________．【答案】2【解析】连接OC，则OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=60°，∵OB⊥CD，CD=2，∴CH=，∴OH=1，∴OC=2.16．(2022·泰州)如图,⊙O的半径为5,点P在⊙O上,点A在⊙O内,且AP＝3,过点A作AP的垂线交于⊙O点B、C.设PB＝x,PC＝y,则y与x的函数表达式为________.第16题图【答案】【解析】过点O作OD⊥PC于点D连接OP,OC,因为PC＝y,由垂径定理可得DC＝,因为OP＝OC,所以∠COD＝∠POC,由圆周角定理,∠B＝∠POC,所以∠COD＝∠B,所以△COD∽△PBA,,即,整理可得函数表达式为:.14．（2022·嘉兴）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．【答案】【解析】连接OD，因为CD⊥OC，则有CD=，根据题意可知圆半径一定，故当OC最小时则有CD最大，故当OC⊥AB时CD=BC=最大.14．（2022·盐城）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且弧AB为50°，则∠E＋∠C＝________【答案】155°【解析】如图，连结OA、OB、AE，由弧AB为50°可知，∠AOB=50°，又∠AOB和∠AEB分别为弧AB所对的圆心角和圆周角，故,即∠AEB=25°，又四边形AEDC是O的内接四边形，所以∠ACD+∠AED=180°，又∠AEB=25°，可得∠ACD+∠BED=180°-25°=155°.三、解答题22．（2022浙江省温州市，22，10分）（本题满分10分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点E在BC边上，且CA=CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形；（2）当BE=4，CD=AB时，求⊙O的直径长．【解题过程】（1）连接AE.∵∠BAC=90°，∴CF是⊙O的直径.∵AC=EC，∴CF⊥AE.∵AD为⊙O的直径，∴∠AED=90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG.∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB∥CD，∴四边形DCFG为平行四边形；（2）由CD=AB，可设CD=3x,AB=8x，∴CD=FG=3x.∵∠AOF=∠COD，∴AF=CD=3x，∴BG=8x-3x-3x=2x.∵GE∥CF，∴△BGE∽△CDE，∴.又∵BE=4，∴AC=CE=6，∴BC=6+4=10，∴AB==8=8x，∴x=1.在Rt△ACF中，AF=3，AC=6，∴CF==3，即⊙O的直径长为3.21．（2022年浙江省绍兴市，第21题，10分）在屏幕上有如下内容：如图，△ABC内接于圆O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D.张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答0在屏幕内容中添加条件∠D=30°，求AD的长，请你解答.以下是小明，小聪的对话：参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线、添字母），并解答.【解题过程】24．（2022江苏盐城卷，24，10）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E.（2）求证：NE与⊙O相切.21．（2022·山西）阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数,公式和定理,下面就是欧拉发现的一个定理:在△ABC中,R和r分别为外接圆和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则.如图1,O和I分别是△ABC的外接圆和内切圆,I与AB相切于点F,设O的半径为R,I的半径为r,外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d,则有.下面是该定理的证明过程（部分）:延长AI交O于点D,过点I作O的直径MN,连接DM,AN.∵∠D＝∠N,∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）,∴△MDI∽△ANI.∴.∴.①如图2,在图1（隐去MD,AN）的基础上作O的直径DE,连接BE,BD,BI,IF.∵DE是O的直径,∴∠DBE＝90°.∵I与AB相切于点F,∴∠AFI＝90°,∴∠DBE＝∠IFA.∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等）,∴△AIF∽△EDB.∴.∴.②……任务:（1）观察发现:IM＝R+r,IN＝_____（用含R,d的代数式表示）;（2）请判断BD和ID的数量关系,并说明理由;（3）请观察式子①和式子②,并利用任务（1）,（2）的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分;（4）应用:若△ABC的外接圆的半径为5cm,内切圆的半径为2cm,则△ABC的外心与内心之间的距离为___cm第21题图【思路分析】（1）MN是直径,根据内切圆与外接圆半径与它的关系得到IN的代数式（2）由内切圆是三角形三条角平分线的交点,转化相等的角,再利用同弧所对的圆周角相等转化角,最后得到∠BID＝∠DBI,利用等角对等边得证（3）由材料得到的结论及任务（1）（2）等量代换得线段等积式,从而得证结论（4）根据结论直接应用求解.【解题过程】（1）IN＝R－d;BD＝ID.理由如下:∵点I是△ABC的内心,∴∠BAD＝∠CAD,∠CBI＝∠ABI,∵∠DBC＝∠CAD,∠BID＝∠BAD+∠ABI,∠DBI＝∠DBC+∠CBI,∴∠BID＝∠DBI,∴BD＝ID;由（2）知:BD＝ID,∴,又∵,∴,∴,∴,∴;由得,∵d>0,∴.2.（2022·天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC=50°，∠BAC=30°，经过点A,B的圆的圆心在边AC上，线段AB的长等于；请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC=∠PBC=∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不需要证明）【答案】（1）（2）如图，取圆与网格线的交点E,F连接EF与AC相交，得圆心O；AB与网格线相交于点D，连接DO并延长，交O于点Q，连接QC并延长，与点B,O的连线BO相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC=∠PBC=∠PCB【解析】(1)如图，Rt△ABD中，AD=2，BD=,由勾股定理可得AB=（2）由于点A在格点上，可得直角，根据圆周角是直角所对的弦是直径可以作出直径，又因为圆心在AC上，所以取圆与网格线的交点E,F连接EF与AC相交，得圆心O；AB与网格线相交于点D，则点D为AB的中点，连接DO并延长，根据垂径定理可得则DO垂直平分AB，连接BO，则∠OAB=∠OBA=30°，因为∠ABC=50°，所以∠OBC=20°，DO的延长线交O于点Q，连接QC并延长，与点B,O的连线BO相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC=∠PBC=∠PCB.3.（2022·湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数为15°，则它所对的圆心角的度数是______．【答案】30°．【解析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆心角的度数是该弧所对圆周角的度数的2倍，可知答案为30°．4.(2022·台州)如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连接AE,若∠ABC＝64°,则∠BAE的度数为________.【答案】52°【解析】∵圆内接四边形ABCD,∴∠B+∠D＝180°,∵∠B＝64°,∴∠D＝116°,又∵点D关于AC的对称点是点E,∴∠D＝∠AEC＝116°,又∵∠AEC＝∠B+∠BAE,∴∠BAE＝52°.5.67.8.910.11.12.13.14.15.1617.18.1920.21.22.23.24.25.2627.28.2930.31.32.33.34.35.3637.38.39三、解答题26．（2022·苏州，26，12）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．（1）求证：DO∥AC；（2）求证：DE•DA＝DC2；（3）若tan∠CADQUOTE=12，求sin∠CDA的值．第26题图【解题过程】解：（1）∵点D是中点，OD是圆的半径，∴OD⊥BC，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC∥OD；（2）∵，∴∠CAD＝∠DCB，∴△DCE∽△DCA，∴CD2＝DE•DA；（3）∵tan∠CAD，∴△DCE和△DAC的相似比为，设：DE＝a，则CD＝2a，AD＝4a，AE＝3a，∴3，即△AEC和△DEF的相似比为3，设EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，tan∠CAD，∴AC＝6k，AB＝10k，∴sin∠CDA．19．（2022安徽，19题号，10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB的长为6米，∠OAB=°.若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB）.求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：°≈，°≈，°≈）【解题过程】解：连接CO并延长，交AB于点D，所以CD⊥AB，所以D为AB中点，所求运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离即为线段CD的长.………………2分在Rt△AOD中，∵AD=AB=3，∠OAD=°，∴OD=AD·°≈3×=，OA=≈=4，…………8分∴CD=CO+OD=AO++4=.………………10分答：运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为米.1.(2022·宁波)如图1,O经过等边三角形ABC的顶点A,C(圆心O在△ABC内),分别与AB,CB的延长线交于点D,E,连接DE,BF⊥EC交AE于点F.(1)求证:BD＝BE;(2)当AF:EF＝3:2,AC＝6时,求AE的长;(3)设＝x,tan∠DAE＝y.①求y关于x的函数表达式;②如图2,连接OF,OB,若△AEC的面积是△OFB面积的10倍,求y的值.解：(1)∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC＝∠C＝60°,∠DEB＝∠BAC＝60°,∠D＝∠C＝60°,∠DEB＝∠D,BD＝BE.(2)如图,过点A作AG⊥EC于点G,∵△ABC为等边三角形,AC＝6,∴BG＝BC＝AC＝3,在Rt△ABG中,AG＝BG＝,∵BF⊥EC,∴BF∥AG,∴,∵AF:EF＝3:2,∴BE＝BG＝2,∴EG＝BE+BG＝3+2＝5,∴在Rt△AEG中,AE＝;答图(1)(3)①如图,过点E作EH⊥AD于点H,∵∠EBD＝∠ABC＝60,在Rt△BEH中,＝sin60＝,EH＝BE,BH＝BE,＝x,BG＝xBE,AB＝BC＝2BG＝2xBE,AH＝AB+BH＝2xBE+BE＝(2x+)BE,Rt△AHE中,tanEAD＝,∴y＝;答图(2)②如图,过点O作OM⊥EC于点M,设BE＝a,∵＝x,∴CG＝BG＝xBE＝ax,∴EC＝CG+BG+BE＝a+2ax,∴EM＝EC＝a+ax,∴BM＝EM－BE＝ax－a,∵BF∥AG,∴△EBF∽△EGA,∴,∵AG＝BG＝ax,∴BF＝AG＝,△OFB的面积＝,△AEC的面积＝,∵△OFB的面积是△AEC的面积的10倍,∴＝,∴2x2－7x+6＝0,解之,得x1＝2,x2＝,y＝或.答图(3)2.（2022·自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD、BC，求证：（1）AD=BC；（2）AE解：（1）连接AO，BO，CO，DO,∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∴∠AOD=∠BOC，∴AD（2）∵AD∴AD=BC，∵AC∴∠ADC=∠ABC，又∵∠AED=∠CEB，∴△ADE≌△CBE，∴AE=CE.3.（2022·攀枝花）在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y＝x的图象上运动（不与O重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ。（1）求线段AP长度的取值范围；（2）试问：点P运动过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由。（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标.解：（1）作AH⊥OP，则AP≥AH．∵点P在y＝x的图象上，∴∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°．∵A（0，2），∴AH＝AO·sin60°＝．∴AP≥．（2）∠QAP是定值．法一：（共圆法）①当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得∠APQ＋∠AOQ＝180°，∴P、Q、O、A四点共圆∴∠PAQ＝∠POQ＝30°．②当点P在第一象限的线段OH上时，由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得P、O、Q、A四点共圆∴∠PAQ＋∠POQ＝180°，又∵∠POQ＝150°，∴∠PAQ＝180°－∠POQ＝30°．③当点P在第三象限时，特殊角的三角函数值；由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得Q、P、O、A四点共圆∴∠PAQ＝∠POQ＝30°．法二：（相似法）①当点P在第三象限时，由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得△BPQ∽△BOA．∴∴△QBA∽△PBO．∴∠PAQ＝∠POQ＝30°，②当点P在第一象限且点B在AP延长线上时，由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得∠BPQ＝∠BOA＝90°，∴△BPQ∽△BOA．∴∴△BPO∽△BQA．∴∠PAQ＝∠POB＝30°．③当点P在第一象限且点B在PA延长线上时，由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得∠BPQ＝∠BOA＝90°，∴△BPQ∽△BOA．∴∴△BPO∽△BQA．∠PAQ＝∠POQ＝30°．（3）设P（m，m），Q（a，0），∵OA2＋OQ2＝AP2＋PQ2∴22＋a2＝m2＋(m－2)2＋(a－m)2＋(m)2整理，得a＝.∴Q（，0）.∴OP2＝m2，OQ2＝m2－m＋.PQ2＝m2－m＋.①当OP＝OQ时，则m2＝m2－m＋整理,得m2－4m＋3＝0，解得m＝2±3．∴Q1(2＋4,0)，Q2(2－4,0)．②当PO＝PQ时，则m2＝m2－m＋整理得：2m2＋m－3＝0，解得解得m＝，或m＝－.当m＝时，Q点与O重合，舍去，∴m＝－.∴Q3(－2,0).③当QO＝QP时，则m2－m＋＝m2－m＋整理，得m2－m＝0.解得m＝∴Q4(,0).综上，当△OPQ为等腰三角形时，点Q的坐标为Q1(2＋4,0)，Q2(2－4,0)，Q3(－2,0)，Q4(,0).4.（2022·济宁）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是弧AC的中点，E为OD延长线上一点，∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．DCDCHAEOBF解：∵D是弧AC的中点，∴AD＝CD∴∠DAC＝∠C∵∠CAE＝∠EAD＋∠DAC，∠CAE＝2∠C，∴∠EAD＝∠C，∵∠C＝∠B，∴∠B＝∠EAD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠B＝90°，∴∠EAD＋∠DAB＝90°，∴∠EAO＝90°，∴AE是⊙O的切线；在△ADH中∠ADH＝90°，DH＝9，∠DAH＝∠C，∴tan∠DAH＝，∴，∴AD＝12，在△BAD中∠ADB＝90°，AD＝12，∴tan∠B＝tan∠C＝，∴tan∠B＝，∴BD＝16，∵∠ADB＝90°，∴AB＝．5.（2022·无锡）如图1，在矩形中，BC=3，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为.（1）若AB=2，①如图2，当点落在AC上时，显然△PC是直角三角形，求此时t的值；②是否存在异于图2的时刻，使得△PC是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由；（2）当P点不与C点重合时，若直线P与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM=45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论∠PAM=45°是否总是成立？请说明理由.图1图2备用第28题图解：（1）①∵∠B=90°，∴AC=，∵∠CP=∠CBA=90°，∠CP=∠BCA，∴△CP∽△CBA，，故，解得.由轴对称可得PB=，∴t=；②由已知可得PB=P=t，PC=3-t，DA=BC=3，AB=A=2，分三种情况：1°如图，当∠PC=90°时，由勾股定理得D=，∴C=，在△PC中，PC2+C2=P2，∴()2+(3-t)2=t2，解得t=2.②③④第28题答图2°如图，当∠PC=90°时，由勾股定理得D=，∴C=3，在△PC中PC2+C2=P2，(3)2+(t-3)2=t2，解得t=6.3°当∠CP=90°时，易证四边形ABP为正方形，P=AB=2，∴t=2；如图④，四边形ABCD为正方形，t>3时，∵AB=A=AD，AM=AM，Rt△MDA≌Rt△AM（HL），∴∠DAM=∠AM，由轴对称可得∠PAB=∠PA=2∠DAM+∠PAD，∴∠PAB+∠PAD=2∠DAM+2∠PAD=90°，∴∠PAM=∠DAM+∠PAD=45°.6（2022·怀化）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH.计算∠CAD的度数；连接AE，证明：AE=ME；求证：ME2=BM·BE.解：（1）解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴∠COD==72°，∴∠CAD=∠COD=36°.同理可得∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°.（2）∵∠AEB=∠BDA，∠DAE=∠EBD，又∵∠CAD=∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°，∴∠MAE=72°，∠AEB=36°，∴∠MAE=∠AME=72°，∴AE=ME.（3）连接AB.由（2）可知∠NAE=∠AEN=36°，∠ABE=∠AEB=36°，AB=AE∴△ABE∽△NAE，△ABM≌△EAN，∴，AN=BM，∴AB·AE=BE·AN，∵AE=ME，∴ME2=BM·BE..7.8.910.11.12.13.14.15.1617.18.1920.21.22.23.24.25.2627.28.2930.31.32.33.34.35.3637.38.39第二批一、选择题9．（2022·福建）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（）A．55°B．70°C．110°D．125°(第(第9题)【答案】B【解析】连接OA、OB，∵PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝2∠ACB＝110°，∴∠APB＝360°－110°－90°－90°＝70°．【知识点】圆周角定理；切线的性质；四边形内角和；6．（2022·兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=40°，则∠C=（） A.110° ° ° °【答案】D【解析】根据圆内接四边形的对角互补，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=40°，∴∠C=140°，故选D.【知识点】圆内接四边形的性质9（2022·武威）如图，点，，在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是A． B． C． D．【答案】C【解析】设圆心为，连接、，如图，∵弦的长度等于圆半径的倍，即，∴，∴为等腰直角三角形，，∴，故选C．【知识点】圆周角定理12.（2022·宜昌）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（）A．50° B．55° C．60° D．65°【答案】A【解析】∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠A=12∠故选：A．【知识点】圆周角定理6（2022·菏泽）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD【答案】C【解析】∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A成立；∴AD⊥OC，选项B成立；∴AF＝FD，选项D成立；∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立，故选C．【知识点】圆周角定理8.（2022·甘肃）如图，是的直径，点、是圆上两点，且，则A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵，∴，∴，故选C．【知识点】圆的有关概念及性质9（2022·天水）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】C【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，∴∠ACB=12∠DCB=1∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝80°，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，故选：C．【知识点】菱形的性质；圆周角定理二、填空题13.（2022·连云港）如图，点、、在上，，，则的半径为．【答案】6【解析】解：，又，是等边三角形，故答案为6．【知识点】圆周角定理14.（2022·南京）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝．【答案】219°【解析】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∵∠P＝102°，∴∠PAB＝∠PBA=1∵∠DAB+∠C＝180°，∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°，故答案为：219°．【知识点】圆周角定理；切线的性质16.（2022·遵义）如图，已知O的半径为1，AB，AC是O的两条弦，且AB=AC，延长BO交AC于点D，连接OA,OC，若,则OD=【答案】【解析】∵AB=AC，∴,∴D为AC的黄金分割点，∴∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB,∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABO=∠ACO,由于AB=AC,AO=AO,∴△BAO≌△CAO，∴∠BAO=∠DA0∴∵AB=AC∴∴，∴OD=【知识点】等边对等角，三角形相似，黄金分割，三角形内角平分线定理15.（2022·宜宾）如图，的两条相交弦、，，，则的面积是．【答案】【解析】，而，，为等边三角形，，圆的半径为4，的面积是，故答案为：．【知识点】圆周角定理12．（2022·随州）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为．【答案】40°【解析】∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝50°，∴∠AOB＝180°－∠OAB－∠OBA＝80°，∴∠C＝∠AOB＝20°．【知识点】等腰三角形性质；圆的有关性质16（2022·鄂州）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为．【答案】16【解析】连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，∵C（3，4），∴OC=3∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为3，∴OP＝OA＝OB＝8，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴AB长度的最大值为16，故答案为16．【知识点】坐标与图形性质；圆周角定理；切线的性质三、解答题22.（2022·南京）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：PA＝PC．【思路分析】连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出AB=CD，进而得出【解题过程】解：连接AC，∵AB＝CD，∴AB=∴AB+BD=∴∠C＝∠A，∴PA＝PC．【知识点】圆的有关概念及性质24．（2022·福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF.(1)求证：∠BAC=2∠DAC；(2)若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值.【思路分析】（1）由AC⊥BD，在Rt△AED中根据两个锐角互余，得∠CAD与∠ADE的关系；AB＝AC，在等腰△ABC中得∠BAC与底角∠ACB关系；再结合同弧所对圆周角相等，得∠ADE＝∠ACB，整理即可得出结论；（2）由DF=DC，得外角∠BDC与∠CFD关系，再结合∠BAC=2∠DAC与同弧所对圆周角相等得CF=BC，知CA垂直平分BF，求出AB与AC的长度，根据勾股定理列方程分别求出AE、CE、BE，再利用△ADE∽△BCE，求出AD、DE，作△ABD中AB边上的高DH，利用面积法求出DH，及AH的值，即可利用正切定义求值.【解题过程】证明：(1)∵AC⊥BD，∴∠AED=90°，在Rt△AED中，∠ADE=90°－∠CAD，∵AB＝AC，∴＝，∴∠BAC＝180°－(∠ABC－∠ACB)＝180°－2(90°－∠CAD)，即∠BAC＝2∠CAD；解：(2)∵DF=DC，∴∠FCD=∠CFD，∴∠BDC=∠FCD＋∠CFD=2∠CFD，∵∠BDC＝∠BAC，由（1）得∠BAC＝2∠CAD，∴∠CFD=∠CAD，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CFD=∠CBD，∴CF＝CB，∵AC⊥BD，∴BE＝EF，故CA垂直平分BF，∴AC＝AB＝AF＝10，设AE＝x，则CE＝10－x，在Rt△ABE和Rt△BCE中，AB2－AE2=BE2=BC2－CE2，又∵BC＝4，∴102－x2=(4)－(10－x)2，解得x=6，∴AE＝6，CE＝4，∴BE＝=8，∵∠DAE＝∠CBE，∠ADE＝∠BCE，∴△ADE∽△BCE，∴＝＝，∴DE＝3，AD＝3，过点D作DH⊥AB于H.∵S△ABD＝AB·DH＝BD·AE，BD＝BE＋DE＝11，10DH＝11×6，∴DH＝，在Rt△ADH中，AH＝＝，∴tan∠BAD＝.【知识点】等腰三角形的性质与判定；圆的有关性质；相似三角形的性质与判定；直角三角形的性质17．（2022·河南）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B,D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点C.⑴求证：△ADF≌△BDG；⑵填空：①若AB=4，且点E是的中点，则DF的长为；②取的中点H，当∠EAB的度数为时，四边形OBEH为菱形.【思路分析】⑴首先根据在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，判定△ABC是等腰直角三角形，得到∠CAB＝45°，再根据直径所对的圆周角是直角，得到△ABD是等腰直角三角形，从而DA=DB，又因为∠CAE与∠DBG对着同一条弧DE，得到∠CAE=∠DBG，根据ASA可以判定△ADF≌△BDG.⑵①DF=4-2；②30°.①由△ADF≌△BDG得到DG=DF.由点E是的中点，得到∠CAE=∠BAE.根据AB为直径，可得∠AEB=∠AEG=90°，又AE=AE，得到△AEG≌△AEB，从而得到AG=AB=4.再根据△ABD是等腰直角三角形，可得AD=2，所以DF=DG=AG-AD=4-2.②连接OE，因为四边形OBEH为菱形，所以BE=BO.因为OB，OE都是半径，所以OB=OE，推得△OBE是等边三角形，所以∠ABE=60°.又AB是直径，所以∠AEB=90°，根据三角形内角和定理，可得∠EAB=30°.【解题过程】解：∵在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝45°.∵AB为直径，∴∠ADB＝∠BDG＝90°.∴△ABD是等腰直角三角形，∴DA=DB.∵∠CAE与∠DBG同弧，∴∠CAE=∠DBG，∴△ADF≌△BDG.⑵①∵△ADF≌△BDG，∴DG=DF.∵点E是的中点，∴∠CAE=∠BAE.∵AB为直径，∴∠AEB=∠AEG=90°.又AE=AE，∴△AEG≌△AEB，∴AG=AB=4.∵△ABD是等腰直角三角形，∴AD=2，∴DF=DG=AG-AD=4-2.②连接OE，∵四边形OBEH为菱形，∴BE=BO.∵OB=OE，∴△OBE是等边三角形，∴∠ABE=60°.∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴∠EAB=30°.【知识点】圆的性质，三角形全等的判定，等腰直角三角形，等腰三角形，菱形25.（2022·河北）如图1和图2，□ABCD中，AB=3，BC＝15，tan∠DAB＝.点P为AB延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP＝x.(1)如图1，x为何值时，圆心O落在AP上?若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系；(2)当x＝4时，如图2，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧PQ长度的大小；(3)当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围.第25题图1第25题图2第25题备用图【思路分析】（1）若圆心O落在AP上，则有∠BPC=∠DAB，∠BPC=90°，然后利用三角函数求出x的值；最后利用直径和平行四边形的性质证明PE与BC的位置关系；（2）作CM⊥AP于点M，利用三角函数求出CM、BM的长度，再使用三角函数求∠CAP；然后使用垂径定理求出半径，再比较大小；（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，x≥18.【解题过程】（1）∵圆心O落在AP上，∴AP为⊙O的直径，∴∠BEP=90°，∴PE⊥AD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BPC=∠DAB，BC∥AD，∴PE⊥BC.∵作⊙O切CP于点P，∴∠BPC=90°，∵tan∠DAB＝，设BP＝x，∴PC=BP·tan∠DAB＝x，又∵BC＝15，∴，解得x=9，即当x=9时，圆心O落在AP上.此时PE⊥BC.（2）如图所示，作CM⊥AP于点M，∵tan∠CBP=tan∠DAB＝，BC=15，∴BM=9，CM=12，∴AM=AB+BM=3+9=12=CM，∴∠CAP=45°.∵AB=3，BP=4，∴AP=AB+BP=3+4=7.作垂直于AP的直径EF于点G，连接OP、FP，则∠FGP=90°，∠F=∠CAP=45°，AG=PG=，∴FG=PG=，∴OG=OG-FG=OP-FG=OP-，∴，解得OP=，∴劣弧PQ长度为=.∵＜7，∴弦AP大于劣弧PQ长度.（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，x≥18.【知识点】圆周角定理及推论、平行四边形的性质、垂直的定义、锐角三角函数、勾股定理、一元二次方程的解法、等腰直角三角形的判定和性质、垂径定理、圆的周长公式、弧长公式、实数的大小比较23.（2022·绵阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为BD的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．【思路分析】（1）根据AAS证明：△BFG≌△CDG；（2）如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），得AE＝AH，再证明Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），得DH＝BE＝2，计算AE和AB的长，证明△BEC∽△BCA，列比例式可得BC的长，就是BF的长．【解题过程】证明：（1）∵C是BC的中点，∴CD=∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴BC=∴CD=BF，∴CD＝在△BFG和△CDG中，∵∠F=∠CDG∠FGB=∠DGCBF=CD，∴△BFG≌△CDG（（2）如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，∵CD=BC，∴∠HAC＝∠∵CE⊥AB，∴CH＝CE，∵AC＝AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），∴AE＝AH，∵CH＝CE，CD＝CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），∴DH＝BE＝2，∴AE＝AH＝2+2＝4，∴AB＝4+2＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BEC＝90°，∵∠EBC＝∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴BCAB=BEBC，∴BC2＝AB•BE＝6×2＝12，∴BF＝【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系25.（2022·绵阳）如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD＝4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．【思路分析】（1）由正方形的性质可得∠DAC＝∠CAB＝45°，根据圆周角定理得∠FDE＝∠DFE＝45°，则结论得证；（2）设OE＝t，连接OD，证明△DOE∽△DAF可得AF=2t，证明△AEF∽△ADG可得AG=42t22+t，可表示EG的长，由AF∥CD得比例线段（3）由（2）知EG=t2+822+t，过点F作FK⊥【解题过程】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠CAB＝45°，∴∠FDE＝∠CAB，∠DFE＝∠DAC，∴∠FDE＝∠DFE＝45°，∴∠DEF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形；（2）设OE＝t，连接OD，∴∠DOE＝∠DAF＝90°，∵∠OED＝∠DFA，∴△DOE∽△DAF，∴OEAF∴AF=2t又∵∠AEF＝∠ADG，∠EAF＝∠DAG，∴△AEF∽△ADG，∴AEAD∴AG⋅AE=AD⋅AF=42又∵AE＝OA+OE＝22+t∴AG=4∴EG＝AE﹣AG=t当点H恰好落在线段BC上∠DFH＝∠DFE+∠HFE＝45°+45°＝90°，∴△ADF∽△BFH，∴FHFD∵AF∥CD，∴FGDG∴FGDF∴4-2解得：t1=10-2，t∴EG＝EH=t（3）过点F作FK⊥AC于点K，由（2）得EG=t∵DE＝EF，∠DEF＝90°，∴∠DEO＝∠EFK，∴△DOE≌△EKF（AAS），∴FK＝OE＝t，∴S△EFG=【知识点】四边形综合题；圆周角定理；相似三角形的判定和性质；等腰直角三角形的性质；三角形的面积23.（2022·宜昌）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．（1）填空：点A（填“在”或“不在”）⊙O上；当AE=AF时，tan∠（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH；（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：EH＝AE+DH；（4）如图3，点M在线段FH的延长线上，若FM＝FE，连接EM交DC于点N，连接FN，当AE＝AD时，FN＝4，HN＝3，求tan∠AEF的值．【思路分析】（1）连接AO，∠EAF＝90°，O为EF中点，所以AO=12EF，因此点A在⊙O上，当AE=AF时，∠（2）证明△AEF≌△DFH，得到AF＝DH，AE＝DF，所以AD＝AF+DF＝AE+DH；（3）延长EF交HD的延长线于点G，先证明△AEF≌△DGF（ASA），所以AE＝DG，EF＝FG，因为EF⊥FG，所以EH＝GH，GH＝DH+DG＝DH+AE，即EH＝AE+DH；（4）过点M作MQ⊥AD于点Q．设AF＝x，AE＝a，所以△EFM为等腰直角三角形，∠FEM＝∠FMN＝45°，因此△AEF≌△QFM（ASA），AE＝EQ＝a，AF＝QM，AE＝AD，AF＝DQ＝QM由△FEN～△HMN，得到MNEN=HN【解题过程】解：（1）连接AO，∵∠EAF＝90°，O为EF中点，∴AO=12∴点A在⊙O上，当AE=AF时，∠∴tan∠AEF＝tan45°＝1，故答案为：在，1；（2）∵EF⊥FH，∴∠EFH＝90°，在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AFE+∠DFH＝90°，∴∠AEF＝∠DFH，又FE＝FH，∴△AEF≌△DFH（AAS），∴AF＝DH，AE＝DF，∴AD＝AF+DF＝AE+DH；（3）延长EF交HD的延长线于点G，∵F分别是边AD上的中点，∴AF＝DF，∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，∴△AEF≌△DGF（ASA），∴AE＝DG，EF＝FG，∵EF⊥FG，∴EH＝GH，∴GH＝DH+DG＝DH+AE，∴EH＝AE+DH；（4）过点M作MQ⊥AD于点Q．设AF＝x，AE＝a，∵FM＝FEEF⊥FH，∴△EFM为等腰直角三角形，∴∠FEM＝∠FMN＝45°，∵FM＝FE，∠A＝∠MQF＝90°，∠AEF＝∠MFQ，∴△AEF≌△QFM（ASA），∴AE＝EQ＝a，AF＝QM，∵AE＝AD，∴AF＝DQ＝QM＝x，∵DC∥QM，∴DQFQ∵DC∥AB∥QM，∴MNEN∴MNEN∵FE＝FM，∴MNEN∠FEM＝∠FMN＝45°，∴△FEN～△HMN，∴MNEN∴tan∠AEF=AF【知识点】圆的综合知识；相似三角形的判定与性质第三批选择题10．（2022·襄阳）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是()A．AP＝2OPB．CD＝2OPC．OB⊥ACD．AC平分OB答案：A解析：本题考查了“直径所对的圆周角是直角”，平行四边形的性质，平行线的性质，三角形中位线等知识.∵AD是直径，∴∠ACD=90°，∵四边形OBCD是平行四边形，∴CD∥OB，CD=OB，∴∠CPO=90°，即OB⊥AC，选项C正确；又∵O是AD的中点，∴OP是△ACD的中位线，∴CD=2OP，∴选项B正确；∴CD=OB=2OP，即P是OB的中点，∴AC平分OB，选项D正确；AP与OP数量关系无从得出，选项A错误24.（2022·台湾）如图表示、、、四点在上的位置，其中，且，．若阿超在上取一点，在上取一点，使得，则下列叙述何者正确？A．点在上，且 B．点在上，且 C．点在上，且 D．点在上，且【答案】B【解析】解：连接，，，，且，，，在圆周上取一点连接，，，，取的中点，连接，则，，点在上，且，故选：B．【知识点】圆心角，弧，弦的关系；圆内接四边形的性质；圆周角定理11.（2022·梧州）如图，在半径为的中，弦与交于点，，，，则的长是A． B． C． D．【答案】C【解析】解：过点作于点，于，连接、，如图所示：则，，，在中，，，是等腰直角三角形，，，，，，在中，，；故选：C．【知识点】垂径定理；勾股定理；直角三角形的性质6．（2022·柳州）如图，A、B、C、D是圆上的点，则图中与∠A相等的角是（）A．∠BB．∠CC．∠DEBD．∠D【答案】D【解析】：∵∠A与∠D都是弧BC所对的圆周角，∴∠D=∠A．故选：D．【知识点】圆周角定理15.（2022·镇江）如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，．若，则的度数等于A． B． C． D．【答案】A【解析】连接，四边形是半圆的内接四边形，，，，是直径，，，故选：．【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质（2022·吉林）如图，在⊙O中，弧AB所对的圆周角∠ACB=50°，若P为弧AB上一点，∠AOP=55°，则∠POB的度数为（）(A)30°(B)45°(C)55°(D)60°【答案】B【解析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可知，∠AOB=2∠ACB=110°，因为∠AOP=55°，所以∠POB的度数为45°，故选B【知识点】同弧所对的圆周角与圆心角的关系10.（2022·赤峰）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】D【解析】如图，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°．∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，∴AC=∴∠AOC＝∠BOC＝60°．故选：D．【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理11.（2022·泸州）如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB＝AC＝5，BC＝6，则DE的长是（）A．31010 B．3105 C．【答案】D【解析】连接OA、OE、OB，OB交DE于H，如图，∵等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∴点A、O、E共线，即AE⊥BC，∴BE＝CE＝3，在Rt△ABE中，AE=5∵BD＝BE＝3，∴AD＝2，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，AO＝4﹣r，在Rt△AOD中，r2+22＝（4﹣r）2，解得r=3在Rt△BOE中，OB=3∵BE＝BD，OE＝OD，∴OB垂直平分DE，∴DH＝EH，OB⊥DE，∵12HE•OB=12OE•BE，∴HE=OE⋅BEOB=3×3【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；三角形的内切圆与内心第8题图8．（2022·安顺）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上的一点，则tan∠OBC＝（）第8题图A． B．2 C． D．【答案】D【解析】作直径CD，在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，则OD＝4，cos∠CDO＝＝，由圆周角定理得，∠OBC＝∠CDO，则cos∠OBC＝，故选D．【知识点】圆周角定理、锐角三角函数的定义，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．二、填空题16．（2022·常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝__________°．第16题图第16题图【答案】30【解析】本题考查了圆周角定理，∵AB是⊙O的直径，∠AOC＝120°，∴∠BOC＝60°．∴∠CDB＝30°．因此本题答案为30．【知识点】圆周角定理16.(2022·东营)如图，AC是⊙O的弦，AC=5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC=45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是.第16题图答案：解析：本题考查了圆的有个性质以及三角形中位线定义，因为当MN最大时，AB也最大，此时AB为⊙O的直径，那么△ABC为等腰直角三角形，由锐角三角函数或勾股定理，求得AB=AC=5．因为点M、N分别是AC、BC的中点，那么由三角形中位线定理，求得MN=AB=.15．（2022·雅安）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD=21°，则∠A的度数为___________.【答案】69°【解析】∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∵∠CBD=21°，∴∠D=69°，∴∠A=∠D=69°，故答案为69°．【知识点】圆周角定理6．（2022·龙东地区）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为________．【答案】60°.【解析】∵OA⊥BC，∴，∴∠AOB＝2∠ADC,∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝60°.【知识点】垂径定理；圆周角与圆心角关系定理三、解答题第25题图25．（2022·安顺）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．第25题图（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：点H为CE的中点；（3）若BC＝10，cosC＝，求AE的长．（1）解：DH与⊙O相切．理由如下：连结OD、AD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，第25题答图∵AB＝AC，∴BD＝CD，第25题答图而AO＝BO，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH为⊙O的切线； 4分（2）证明：连结DE，如图，∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，∴∠DEC＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∵DH⊥CE，∴CH＝EH，即H为CE的中点； 8分（3）解：在Rt△ADC中，CD＝BC＝5，∵co