知识点29等腰三角形与等边三角形2022

第一批一、选择题12．（2022·烟台）如图，AB是的直径，直线DE与相切于点C，过点A，B分别作，，垂足为点D，E，连接AC，BC．若，，则的长为（）．A．B．C．D．第12题答图第12题答图【答案】D【解题过程】连接OC，因为，，所以所以因为AB是的直径，所以，所以，所以，在△ADC与△CED,因为，所以△ADC∽△CED,所以在Rt△ACB中，，所以，又因为，所以△AOC是等边三角形，所以，因为直线DE与相切于点C，所以，因为，，所以AD2022·潍坊）如图已知∠AOB，按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．③连接OE交CD于点M．下列结论中错误的是（）A．∠CEO=∠DEOB．CM=MDC．∠OCD=∠ECDD．S四边形OCED=CD·OE【答案】C【解析】由作图可知OC=OD，CE＝DE，OE＝OE，所以△OCE≌ODE，∴∠CEO=∠DEO，选项A正确，根据“三线合一”可知，CM=MD，CD⊥OE，所以选项B、D正确；选项C错误；故选C.2.（2022·衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动。C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是° ° ° °【答案】D【解析】本题考查等腰三角形及三角形外角的性质，因为OC=CD=DE，所以∠O=∠CDO,∠DCE=∠CED.所以∠DCE=2∠O，∠EDB=3∠O=75°,所以∠O=25°,∠CED=∠ECD=50°,所以∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=180°-50°-50°=80°，故选D.3.（2022·重庆A卷）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC′沿BD翻折，得到△，与AB交于点E，连结，若AD＝＝2，BD＝3，则点D到的距离为（）A．B．C．D．第12题图第12题图【答案】B【解析】如答图，过点D作DM⊥于点M，过点B作BN⊥于点N，由翻折可知＝DC＝AD＝2，∠BDC＝∠B．∵AD＝＝2，∴△是等边三角形，从而∠＝∠B＝∠BDC＝60°．在Rt△BDN中，DN＝BD＝，BN＝，从而＝．于是，＝＝．∵＝，∴DM＝＝＝．故选B．4.(2022·聊城)如图在等腰直角三角形ABC中,∠BAC＝90°,一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合,且两条直角边分别经过点A和点B,将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的两直角边与AB,AC分别交于点E,F时,下列结论中错误的是+AF＝AC B.∠BEO+∠OFC＝180° +OF＝BC 四边形AEOF＝S△ABC【答案】C【解析】连接AO,易得△AEO≌△CFO,∴AE+AF＝CF+AF＝AC,故A正确；∠BEO+∠OFC＝∠BEO+∠AEO＝180°,故B正确；随着三角形的转动,OE和OF的长度会变化,故C错误；S四边形AEOF＝S△AEO+S△AFO＝S△CFO+S△AFO＝S△ABC,故D正确；故选C.5.67.8.910.二、填空题14．（2022·绍兴）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD=30°，以点B为圆心，AB为半径作弧，与AP交于点A,M，分别以点A,M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的度数为.【答案】15°或45°【解析】因为∠PAD＝30°，以点B为圆心，AB为半径作弧，与AP交于点A,M，而∠BAM＝60°，所以△BAM是等边三角形；又以点A,M为圆心，AM长为半径作弧，交点有两个E或B有两种情况：①由题意△AME是等边三角形，所以∠EAM＝60°，所以∠DAE＝30°+120°＝150°，又AD＝AM＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝（180°－150°）＝15°；②点E与B重合，所以∠ADB（E）＝45°.14．（2022·常德）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD´，且点D´、D、B三点在同一直线上，则∠ABD的度数是．【答案】°【解析】根据题意可知△ABD≌△ACD´，∴∠BAC＝∠CAD´＝45°，AD´＝AD，∴∠ADD´＝∠AD´D＝＝°，∵D´、D、B三点在同一直线上，∴∠ABD＝∠ADD´－∠BAC＝°．1.（2022·怀化）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为________.【答案】36°.【解析】解：∵等腰三角形的一个底角为72°，∴这个等腰三角形的顶角为180°-72°×2=36°.故答案为36°.2.3.4.5.67.8.三、解答题19.（2022浙江省杭州市，19，8分）(本题满分8分)如图在△ABC中，AC＜AB＜BC.(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证:∠APC=2∠B.(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ.若∠AQC=3∠B，求∠B的度数.（第19题(2)）（第19题(1)）（第19题(2)）（第19题(1)）【解题过程】（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，∴PA=PB，∴∠B=∠BAP，∵∠APC=∠B+∠BAP，∴∠APC=2∠B；（2）根据题意可知BA=BQ，∴∠BAQ=∠BQA，∵∠AQC=3∠B，∠AQC=∠B+∠BAQ，∴∠BQA=2∠B，∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°．25．（2022江苏盐城卷，25，10）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：（=1\*ROMANI）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；（=2\*ROMANII）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B、处，如图③，两次折痕交于点O；（=3\*ROMANIII）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④【探究】（1）证明：△OBC≌△OED；（2）若AB=8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式.图①图②图③图④【解题过程】解：（1）由折叠可知BC=AD=AF=DE，∴CB=CB、，由两次折叠可知∠BCO=∠DCO=∠ODE=45O，∴△OCD是等腰直角三角形，OC=OD∴△OBC≌△OED（2）如图，过O向BC做ON⊥BC于N，则△OCN是等腰直角三角形，又△OCD是等腰直角三角形，OC=OD，∴CD=8，OC=,ON=CN=4，在直角三角形BON中，OB2=BN2+ON2∴=（4<x＜8）25．（2022·株洲）四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC、BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交于点P．（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB＋CD＝2(＋1)．①求证：△DHC为等腰直角三角形；②求CH的长度．【解题过程】(1)∵∠CBD=∠CAD,∠ACH＝∠CBD，∴∠CAD=∠ACH，∴CH∥AD，∵AD＝CH，∴四边形ADCH是平行四边形（2）①∵AB是直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，∵CH∥AD，∴∠CHD=∠ADB=90°，∵AC＝BC，∴∠CAB=45°，∴∠CDB=∠CAB=45°，∴△DHC为等腰直角三角形②∵四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，∴∠PDA=∠PBC，∵∠P=∠P，∴△PDA∽△PBC，∴,∵△DHC和△ABC为等腰直角三角形，∴AB=,CD=,∴∵AB＋CD＝2(＋1)∴CD+CD=2(＋1)∴CD=2，∴CH=26．（2022·常德）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点N．（1）在图12中，求证：△BMC≌△CNB；（2）在图13中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交NB于点F，求证：PE+PF＝BM；（3）在图14中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：AM·PF+OM·BN＝AM·PE．【解题过程】（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵CM⊥AB，BN⊥AC，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，又∵BC＝BC，∴△BMC≌△CNB；（2）连接OP，∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠BMC＝∠PEC＝90°，∠CNB＝∠PFB＝90°，∵＝＋，∴OC·BM＝OB·PF＋OC·PE．∵△BMC≌△CNB，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴PE+PF＝BM；（3）同上连接OP，∵＝－，∴OC·BM＝OC·PE－OB·PF，∵OB＝OC，∴PE－PF＝BM．∵∠BMC＝∠ANB＝90°，∠BMO＝∠NBA，△BOM∽△BAN，∴，∴OM·BN＝BM·AN＝（PE－PF）·AN，∵AB＝AC，BM＝CN，∴AM＝AN，∴OM·BN＝＝（PE－PF）·AM，∴AM·PF+OM·BN＝AM·PE．1.（2022·重庆A卷）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．第20题图第20题图解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝36°．∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝108°．∵AB＝AC，D是BC边上的中点，∴AD平分∠BAC．∴∠BAD＝∠BAC＝54°．（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE．∴∠ABE＝∠FEB．∴FB＝FE．2.（2022·重庆B卷）如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D．若∠C=42°，求∠BAD的度数；若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE=FE解：（1）（方法一）：∵AB=AC，∠C=42°，∴∠B=∠C=42°，∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－42°－42°=96°∵AD⊥BC∴∠BAD=∠BAC=×96°=48°（方法二）：∵AB=AC∠C=42°∴∠B=∠C=42°∵AD⊥BC于点D∴∠ADB=90°∴∠BAD=180°－90°－42°=48°（2）证明：∵EF∥AC∴∠CAF=∠F∵AB=AC，AD⊥BC∴∠CAF=∠BAF∴∠F=∠BAF∴AE=FE3.（2022·眉山）如图，在四边形ABCD中AB∥DC，点E是CD的中点，AE=BE．求证：∠D=∠C．证明：∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵DC∥AB，∴∠DEA=∠EAB，∠CEB=∠EBA，∴∠DEA=∠CEB，在△EDA和△CEB中，，∴△EDA≌△CEB（SAS），∴∠D=∠C.4.（2022·无锡）如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点O；求证：（1）△DBC≌△ECB;（2）.证明：（1）∵AB=AC，∴∠ECB=∠DBC，在△DBC与△ECB中，BD=CE，∠DBC=∠ECB，BC=CB，∴△DBC≌△ECB（SAS）；(2)由(1)知△DBC≌△ECB，∴∠DCB=∠EBC，∴OB=OC.5.67.8.910.11.12.13.14.15.1617.18.1920.21.22.23.24.25.2627.28.2930.31.32.33.34.35.3637.38.39第二批一、选择题8．（2022·黄石）如图，在中，，于点，和的角平分线相较于点，为边的中点，，则（）° ° °°【答案】C【解析】连接DF，∵CD⊥AB，F为边AC的中点，∴DF＝AC＝CF，又∵CD＝CF，∴CD＝DF＝CF，∴△CDF是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵∠B＝50°，∴∠BCD+∠BDC＝130°，∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，∴∠DCE+∠CDE＝65°，∴∠CED＝115°，∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，故选：C．【知识点】三角形的角平分线；直角三角形的斜边上的中线的性质；等边三角形；8.（2022·天水）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．（1，1） B．（1，3） C．（3，1） D．（3，3）【答案】B【解析】过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，∴OH＝1，BH=3∴点B的坐标为（1，3）．故选：B．【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质7.（2022·宜宾）如图，的顶点是边长为2的等边的重心，的两边与的边交于，，，则与的边所围成阴影部分的面积是A． B． C． D．【答案】C【解析】连接、，过点作，垂足为，为等边三角形，，点为的内心，．．．，，，，，．，，即．在和中，，．故选：．【知识点】三角形的重心；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质二、填空题13．（2022·黔三州）如右图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的大小为.【答案】34°.【解析】根据题意可得BA=BD.∵∠B=40°，∴∠BAD=∠BDA=70°.∵∠B=40°，∠C=36°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=104°，∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=34°，故答案为34°【知识点】等腰三角形性质；三角形内角和.14．（2022·兰州）在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠B=.【答案】70【解析】解：∵AB=AC，∴∠B+∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=40°，∴∠B=∠C=70°，故答案为：70°.【知识点】等腰三角形的性质，三角形的内角和16.（2022·齐齐哈尔）等腰ABC中，BD⊥AC,垂足为点D，且BD=AC，则等腰△ABC的底角的度数为【答案】15°或45°或75°【解析】分情况讨论：当∠B为顶角时为等腰直角三角形如图1；（2）当∠B为底角时，当∠BAC为锐角时，如图2，BD=AC，∴∠BAC=30°，则∠B=75°；（3）当∠B为底角时，当∠BAC为锐角时，如图3，BD=AC，∴∠BAD=30°，∠BAC=150°则∠B=15°，所以△ABC的度数为45°或75°或15°【知识点】分类讨论，等腰三角形，锐角三角函数13.（2022•广安）等腰三角形的两边长分别为，，其周长为．【答案】32【解析】解：由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为时，三角形三边长为6，6，13，，不能构成三角形；（2）当腰长为时，三角形三边长为6，13，13，周长．故答案为32．【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质16（2022·宜宾）如图，和都是等边三角形，且点、、在同一直线上，与、分别交于点、，与交于点．下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）．①；②；③；④【答案】①③④【解析】证明：①和都是等边三角形，，，，，即，在和中，，，，，，在和中，，，，，，即；②，，，，，找不出全等的条件；③，，，，，，；④，，是等边三角形，，，，，，，，，两边同时除得，．故答案为①③④【知识点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质17.（2022·武威）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值．【答案】或【解析】①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：，∴特征值②当为底角时，顶角的度数为：∴特征值故答案为或【知识点】等腰三角形的性质13.（2022·黔东南）如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为．【答案】34°【解析】∵∠B＝40°，∠C＝36°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°∵AB＝BD∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34°故答案为：34°．【知识点】等腰三角形的性质三、解答题第三批一、选择题18．（2022·徐州）函数y＝x＋1的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴上，若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有_________个．答案：4解析：本题考查了等腰三角形存在性，涉及到一次函数的性质，线段的垂直平分线以及圆等知识，作AB的垂直平分线，交于坐标原点，△OAB为等腰三角形；以B为圆心BA长为半径交x轴于C2，△C2AB为等腰三角形，以A为圆心，AB长为半径，交x轴于C3，C4，则△C3AB，△C4AB为等腰三角形，所以满足条件的C点的有4个.第18题图二、填空题12.（2022·荆州）如图①，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA1，AD的中点，截面EFG将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图②），则图②中阴影部分的面积为cm2．【答案】23【解析】解：∵已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA1，AD的中点，∴GF＝GE＝EF=22+过G作GH⊥EF于H，∴GH=32GF∴图②中阴影部分的面积=12×22×6故答案为：23．【知识点】截一个几何体；等边三角形的判定与性质；勾股定理14.(2022·东营)已知等腰三角形的底角是30°，腰长为，则它的周长是．答案：解析：本题考查了锐角三角函数的定义或勾股定理．过等腰三角形的顶点作底边的垂线，设底边为2a，那么cos30°=，所以a=3，所以周长=6+4.17.(2022·东营)如图，在平面直角坐标系中，△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC=2，点C与点E关于x轴对称，则点D的坐标是．第17题图答案：（，0）解析：本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形、勾股定理等，设CE交x轴于点F，因为△ACE是等边三角形，所以∠CAD=30°，那么CF=AC=1．由勾股定理求得AF=.因为CD2=DF2+CF2，CD=2DF，所以可求得DF=.由“HL”定理易知△ABO与△DCF全等，所以AO=DF.所以OD=AF-AO-DF=，即点D坐标为（，0）.三、解答题26．（2022·龙东地区）如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，BH⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．（1）如图①所示，若∠ABC＝30°，求证：DF＋BH＝BD；（2）如图②所示，若∠ABC＝45°，如图③所示，若∠ABC＝60°（点M与点D重合），猜想线段DF，BH，BD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．图① 图② 图③解：（1）证明：连接CF，∵AB=BC，∠ABC==30°，∴∠BAC=∠ACB=75°.∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=60°，∴∠DAC=15°.……………………（1分）∵AB=BC，BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，………………（1分）∴∠ACF=∠DAC=15°，∴∠BCF=75°-15°=60°，∵BH⊥AB，∠ABC=30°，∴∠CBH==60°，∴∠CBH=∠BCF=60°.……（1分）在△BHM和△CFM中，∠CBH=∠BCF，BM=CM，∠BMH=∠CMF，∴△BHM≌△CFM，…………（1分）∴BH=CF,∴BH=AF，∴AD=DF+AF=DF+BH.在Rt△ADB中，∠ABC=30°，∴AD=BD,…………（1分）∴DF＋BH＝BD.………………（1分）（2）图②猜想结论：DF＋BH＝BD；…………（1分）图③猜想结论：DF＋BH＝BD.………………（1分）【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；全等三角形的判定和性质（2022·吉林）性质探究如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB=120°，则底边AB与腰AC的长度之比为理解运用（1）若顶点为120°的等腰三角形的周长为，则它的面积为；（2）如图②，在四边形EFGH中，EF=EG=EH①求证：∠EFG+∠EHG=∠FGH;②在边FG,GH上分别取中点M,N，连接MN，若∠FGH=120°，EF=10,直接写出线段MN的长.类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含α的式子表示）解：性质探究如图，过点C作CD⊥AB于点D，则AB=2AE,∵∠ACB=120°，∴∠ACD=60°，Rt△ACD中，AD:AC=:1，∴AB;AC=理解运用根据性质探究可知,底边AB与腰AC的长度之比为，设AC=x，则AB=∵周长为，∴AB=4，AB=∴CD=2，∴三角形的面积为①∵EF=EG，∴∠EFG=∠EGF,∵EG=EH,∴∠EGH=∠EHG，∴∠EFG+∠EHG=∠FGH;②如图，连接FH∵∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，又∵∠FGH=120°∴∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，∵四边形EFGH内角和360°，∴∠FEH=120°,由性质探索可知底边AB与腰AC的长度之比为，∴FH=，△FHG中，MN为中位线，∴MN=类比拓展如图,等腰三角形ABC中，过点C作CD⊥AB于点D，∠ACB=2α,则∠ACD=α，AB=2AD,Rt△ACD中，AD:AC=si