2020-2021人教版数学第二册教师用书：第10章 10.110.1.4概率的基本性质含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册教师用书：第10章10.110.1.4概率的基本性质含解析10.1。4概率的基本性质学习目标核心素养1。通过实例，理解概率的性质．(重点、易混点)2．掌握随机事件概率的运算法则．（难点）1。通过对概率性质的学习，培养数学抽象素养．2．通过利用随机事件概率的运算法则求解随机事件的概率，培养数学运算素养。甲、乙两人下棋,甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3.问题：甲获胜的概率是多少？概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）＝1，P(∅)＝0.性质3如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B)＝P（A)＋P(B）．性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝1－P(A）,P（A)＝1－P（B)．性质5如果A⊆B,那么P（A）≤P(B)．性质6设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P（A∪B）＝P（A）＋P（B)－P(A∩B）．思考1:设事件A发生的概率为P(A),事件B发生的概率为P（B）,那么事件A∪B发生的概率是P(A）＋P(B)吗?［提示］不一定．当事件A与B互斥时,P（A∪B)＝P（A)＋P（B）；当事件A与B不互斥时，P（A∪B)＝P(A)＋P(B）－P（A∩B）．思考2：从某班任选6名同学作为志愿者参加市运动会服务工作，记“其中至少有3名女同学”为事件A，那么事件A的对立事件eq\x\to(A)是什么？［提示］事件A的对立事件eq\x\to(A）是“其中至多有2名女同学”．1．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”)(1）若A与B为互斥事件，则P（A）＋P（B)＝1. （)（2)若P（A）＋P（B)＝1，则事件A与B为对立事件． ()（3）某班统计同学们的数学测试成绩,事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“所有同学的成绩都在60分以下”． （)[提示］（1)错误．只有当A与B为对立事件时,P（A)＋P（B)＝1。(2)错误．(3）错误．事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“至少有一个同学的成绩不高于60分"．［答案］（1）×（2）×(3)×2．甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0。2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为（）A．0.2 B．0。8C．0。4 D．0.1B[乙获胜的概率为1－0。2＝0。8.]3．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为eq\f（3,7),乙夺得冠军的概率为eq\f(1，4)，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．eq\f(19,28)[由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军"和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为eq\f（3,7）＋eq\f（1，4）＝eq\f(19，28）.］4．若P(A∪B)＝0.7，P(A)＝0。4，P(B）＝0.6，则P（A∩B)＝________.0.3[因为P(A∪B）＝P（A）＋P(B）－P(A∩B)，所以P（A∩B)＝P(A）＋P（B）－P(A∪B）＝0.4＋0。6－0。7＝0。3。］互斥事件、对立事件的概率公式及简单应用【例1】备战奥运会射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表：命中环数10环9环8环7环概率0。320。280.180。12求该选手射击一次，(1)命中9环或10环的概率；（2）至少命中8环的概率;（3）命中不足8环的概率．[解］记“射击一次，命中k环”为事件Ak(k＝7，8，9,10）．(1）因为A9与A10互斥，所以P(A9∪A10）＝P(A9)＋P（A10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2）记“至少命中8环"为事件B．B＝A8＋A9＋A10,又A8，A9，A10两两互斥，所以P(B)＝P(A8）＋P(A9）＋P（A10）＝0.18＋0.28＋0。32＝0.78。(3）记“命中不足8环”为事件C．则事件C与事件B是对立事件．所以P(C）＝1－P(B）＝1－0.78＝0。22。互斥事件、对立事件的概率公式的应用（1)互斥事件的概率加法公式P（A∪B)＝P(A）＋P（B）是一个非常重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率,用加法公式得出结果．(2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率,然后利用对立事件的概率加法公式P(A）＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率．eq\o（[跟进训练］）1．在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0。18，在80~89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0。15，在60～69分的概率是0。09，在60分以下（不含60分)的概率是0。07.求：(1）小王在数学考试中取得80分以上(含80分）成绩的概率；（2）小王数学考试及格的概率．(60分以上为合格，包含60分)．[解］设小王的成绩在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分）分别为事件A，B,C，且A，B，C两两互斥．(1）设小王的成绩在80分以上(含80分)为事件D，则D＝A＋B，所以P（D）＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B）＝0.18＋0。51＝0。69。（2)设小王数学考试及格为事件E，由于事件E与事件C为对立事件，所以P（E)＝1－P(C)＝1－0。07＝0。93.互斥事件、对立事件的概率公式的综合应用［探究问题]1．若事件A和事件B为互斥事件，那么P（A),P（B)，P(A∪B）有什么关系？［提示］P（A∪B)＝P(A)＋P(B）．2．若事件A和事件B不是互斥事件,那么P（A）,P（B)，P(A∪B)有什么关系？[提示]P(A∪B）＝P(A)＋P（B）－P(A∩B)．3．若事件A和事件B是对立事件，那么P（A),P(B）有什么关系？[提示]P(A)＋P（B)＝1.【例2】有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意,在四个席位上随便就座时,(1）求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2）求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率．[思路探究]eq\x(利用树状图法列举事件）→eq\x(计算样本点个数)→eq\x（利用古典概型概率公式计算概率)［解]将A，B,C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来:如图所示，本题中的样本点的总数为24.(1）设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝eq\f（1,24)。（2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上",则事件B包含9个样本点,所以P（B)＝eq\f（9，24）＝eq\f（3，8）.1．求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率．[解］由本例解析可知，设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C）＝eq\f(8，24)＝eq\f(1,3).2．求这四人中至少有2人坐在自己的席位上的概率．[解]法一：设事件D为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上”，事件E为“这四人中有2人坐在自己的席位上"，则事件E包含6个样本点,则D＝A＋E，且事件A与E为互斥事件,所以P(D）＝P(A＋E）＝P（A)＋P(E)＝eq\f(1,24）＋eq\f（6,24）＝eq\f（7,24）.法二：设事件D为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上”,则eq\x\to（D）＝B＋C,所以P(D)＝1－P（B＋C)＝1－P(B）－P（C）＝1－eq\f(3,8)－eq\f(1，3）＝eq\f(7，24).1．当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．2．在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．概率与统计的综合应用问题【例3】已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n（单位：百人)的关系有如下规定：当n∈[0，100）时，拥挤等级为“优”；当n∈［100，200)时,拥挤等级为“良”；当n∈［200，300）时，拥挤等级为“拥挤”；当n≥300时,拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a,b的值,并估计该景区6月份游客人数的平均值．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)游客数量（单位：百人)［0，100）［100，200)［200,300)［300，400］天数a1041频率beq\f(1,3)eq\f（2，15)eq\f(1，30)（2)某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．［解］(1）游客人数在［0，100）范围内的天数共有15天，故a＝15,b＝eq\f（15,30)＝eq\f（1,2),游客人数的平均值为50×eq\f(1，2)＋150×eq\f（1，3)＋250×eq\f(2,15）＋350×eq\f(1，30)＝120(百人）．(2）从5天中任选2天，试验的样本空间Ω＝｛(1,2)，(1，3），（1，4）,(1，5)，(2，3）,(2，4），(2，5)，(3，4)，(3,5），(4,5)｝,共10个样本点，其中游客拥挤等级均为“优”的有(1,4)，（1,5）,（4，5)，共3个,故所求概率为eq\f(3,10)。解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算。eq\o(［跟进训练］）2．某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表:视力数据4。04。14。24.34.44.54。64。74.84。95.05.15.25.3人数22211（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值．(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3,4。4，4.5,4.6，4.8。若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较,求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0。2的概率．[解]（1)高三(1)班8名学生视力的平均值为eq\f(4。4×2＋4。6×2＋4。8×2＋4.9＋5。1,8)＝4。7，故用上述样本数据估计高三(1）班学生视力的平均值为4.7.（2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种,而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0。2的取法有：（4.3,4。5），（4.3,4.6),(4。3，4.7），(4。3，4。8）,(4.4,4。6），(4.4，4。7),(4.4，4。8),(4。5,4。7），(4。5,4。8），(4.6，4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0。2的概率为P＝eq\f(10,15)＝eq\f（2，3)。一、知识必备1．多个互斥事件的概率公式如果事件A1,A2，…,An彼此互斥，那么P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2)＋…＋P（An)，即彼此互斥事件和的概率等于概率和．2．性质6中公式P（A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B）适用于一个随机试验中的任意两个事件，也适用于A，B为互斥事件的情况，因为互斥事件满足P（A∩B）＝0,此时公式变为P(A∪B)＝P(A)＋P（B），这就是互斥事件的概率加法公式．二、方法必备1．运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏,分别求出各个事件的概率,然后用加法公式求出结果．2．求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率,然后再运用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．1．从集合｛a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个,若这个子集不是集合{a,b,c}的子集的概率是eq\f（3，4），则该子集恰是集合{a，b，c}的子集的概率是（）A．eq\f（3,5）B．eq\f（2，5）C．eq\f（1,4)D．eq\f（1,8）C［该子集恰是｛a，b，c｝的子集的概率为P＝1－eq\f(3,4）＝eq\f（1，4)。]2．甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是eq\f（1,4），乙队胜的概率是eq\f(1，3），则甲队胜的概率是________．eq\f（5，12）［记甲队胜为事件A，则P（A)＝1－eq\f(1，4）－eq\f（1,3)＝eq\f（5,12）。］3．如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0。35，0.30，0。25，则不命中靶的概率是________．0。10［“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C）＝P（A)＋P(B)＋P（C）＝0.35＋0。30＋0。25＝0.90。因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P（D）＝1－P(A∪