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学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册教师用书:第10章10.110.1.4概率的基本性质含解析10.1。4概率的基本性质学习目标核心素养1。通过实例,理解概率的性质.(重点、易混点)2.掌握随机事件概率的运算法则.(难点)1。通过对概率性质的学习,培养数学抽象素养.2.通过利用随机事件概率的运算法则求解随机事件的概率,培养数学运算素养。甲、乙两人下棋,甲不输的概率是0.6,两人下成平局的概率是0.3.问题:甲获胜的概率是多少?概率的基本性质性质1对任意的事件A,都有P(A)≥0.性质2必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(∅)=0.性质3如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性质4如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性质5如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).性质6设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).思考1:设事件A发生的概率为P(A),事件B发生的概率为P(B),那么事件A∪B发生的概率是P(A)+P(B)吗?[提示]不一定.当事件A与B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B);当事件A与B不互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).思考2:从某班任选6名同学作为志愿者参加市运动会服务工作,记“其中至少有3名女同学”为事件A,那么事件A的对立事件eq\x\to(A)是什么?[提示]事件A的对立事件eq\x\to(A)是“其中至多有2名女同学”.1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若A与B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1. ()(2)若P(A)+P(B)=1,则事件A与B为对立事件. ()(3)某班统计同学们的数学测试成绩,事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“所有同学的成绩都在60分以下”. ()[提示](1)错误.只有当A与B为对立事件时,P(A)+P(B)=1。(2)错误.(3)错误.事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“至少有一个同学的成绩不高于60分".[答案](1)×(2)×(3)×2.甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0。2,若不出现平局,那么乙获胜的概率为()A.0.2 B.0。8C.0。4 D.0.1B[乙获胜的概率为1-0。2=0。8.]3.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为eq\f(3,7),乙夺得冠军的概率为eq\f(1,4),那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.eq\f(19,28)[由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军"和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为eq\f(3,7)+eq\f(1,4)=eq\f(19,28).]4.若P(A∪B)=0.7,P(A)=0。4,P(B)=0.6,则P(A∩B)=________.0.3[因为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),所以P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.4+0。6-0。7=0。3。]互斥事件、对立事件的概率公式及简单应用【例1】备战奥运会射击队的某一选手射击一次,其命中环数的概率如下表:命中环数10环9环8环7环概率0。320。280.180。12求该选手射击一次,(1)命中9环或10环的概率;(2)至少命中8环的概率;(3)命中不足8环的概率.[解]记“射击一次,命中k环”为事件Ak(k=7,8,9,10).(1)因为A9与A10互斥,所以P(A9∪A10)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.(2)记“至少命中8环"为事件B.B=A8+A9+A10,又A8,A9,A10两两互斥,所以P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0。32=0.78。(3)记“命中不足8环”为事件C.则事件C与事件B是对立事件.所以P(C)=1-P(B)=1-0.78=0。22。互斥事件、对立事件的概率公式的应用(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)是一个非常重要的公式,运用该公式解题时,首先要分清事件间是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,然后求出各事件的概率,用加法公式得出结果.(2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时,可间接地先计算出其对立事件的个数,求得对立事件的概率,然后利用对立事件的概率加法公式P(A)+P(B)=1,求出符合条件的事件的概率.eq\o([跟进训练])1.在数学考试中,小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0。18,在80~89分的概率是0.51,在70~79分的概率是0。15,在60~69分的概率是0。09,在60分以下(不含60分)的概率是0。07.求:(1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率;(2)小王数学考试及格的概率.(60分以上为合格,包含60分).[解]设小王的成绩在90分以上(含90分)、在80~89分、在60分以下(不含60分)分别为事件A,B,C,且A,B,C两两互斥.(1)设小王的成绩在80分以上(含80分)为事件D,则D=A+B,所以P(D)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.18+0。51=0。69。(2)设小王数学考试及格为事件E,由于事件E与事件C为对立事件,所以P(E)=1-P(C)=1-0。07=0。93.互斥事件、对立事件的概率公式的综合应用[探究问题]1.若事件A和事件B为互斥事件,那么P(A),P(B),P(A∪B)有什么关系?[提示]P(A∪B)=P(A)+P(B).2.若事件A和事件B不是互斥事件,那么P(A),P(B),P(A∪B)有什么关系?[提示]P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).3.若事件A和事件B是对立事件,那么P(A),P(B)有什么关系?[提示]P(A)+P(B)=1.【例2】有A,B,C,D四位贵宾,应分别坐在a,b,c,d四个席位上,现在这四人均未留意,在四个席位上随便就座时,(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率;(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率.[思路探究]eq\x(利用树状图法列举事件)→eq\x(计算样本点个数)→eq\x(利用古典概型概率公式计算概率)[解]将A,B,C,D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来:如图所示,本题中的样本点的总数为24.(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”,则事件A只包含1个样本点,所以P(A)=eq\f(1,24)。(2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上",则事件B包含9个样本点,所以P(B)=eq\f(9,24)=eq\f(3,8).1.求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率.[解]由本例解析可知,设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”,则事件C包含8个样本点,所以P(C)=eq\f(8,24)=eq\f(1,3).2.求这四人中至少有2人坐在自己的席位上的概率.[解]法一:设事件D为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上”,事件E为“这四人中有2人坐在自己的席位上",则事件E包含6个样本点,则D=A+E,且事件A与E为互斥事件,所以P(D)=P(A+E)=P(A)+P(E)=eq\f(1,24)+eq\f(6,24)=eq\f(7,24).法二:设事件D为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上”,则eq\x\to(D)=B+C,所以P(D)=1-P(B+C)=1-P(B)-P(C)=1-eq\f(3,8)-eq\f(1,3)=eq\f(7,24).1.当事件个数没有很明显的规律,并且涉及的样本点又不是太多时,我们可借助树状图法直观地将其表示出来,这是进行列举的常用方法.树状图可以清晰准确地列出所有的样本点,并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况.2.在求概率时,若事件可以表示成有序数对的形式,则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示,即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观,给问题的解决带来方便.概率与统计的综合应用问题【例3】已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n(单位:百人)的关系有如下规定:当n∈[0,100)时,拥挤等级为“优”;当n∈[100,200)时,拥挤等级为“良”;当n∈[200,300)时,拥挤等级为“拥挤”;当n≥300时,拥挤等级为“严重拥挤”.该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据:(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表,求出a,b的值,并估计该景区6月份游客人数的平均值.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)游客数量(单位:百人)[0,100)[100,200)[200,300)[300,400]天数a1041频率beq\f(1,3)eq\f(2,15)eq\f(1,30)(2)某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩,求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率.[解](1)游客人数在[0,100)范围内的天数共有15天,故a=15,b=eq\f(15,30)=eq\f(1,2),游客人数的平均值为50×eq\f(1,2)+150×eq\f(1,3)+250×eq\f(2,15)+350×eq\f(1,30)=120(百人).(2)从5天中任选2天,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共10个样本点,其中游客拥挤等级均为“优”的有(1,4),(1,5),(4,5),共3个,故所求概率为eq\f(3,10)。解决与古典概型交汇命题的问题时,把相关的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件和随机事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公式进行计算。eq\o([跟进训练])2.某校高三学生体检后,为了解高三学生的视力情况,该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人),每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据.其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表:视力数据4。04。14。24.34.44.54。64。74.84。95.05.15.25.3人数22211(1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值.(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3,4。4,4.5,4.6,4.8。若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较,求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0。2的概率.[解](1)高三(1)班8名学生视力的平均值为eq\f(4。4×2+4。6×2+4。8×2+4.9+5。1,8)=4。7,故用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较,所有的取法共有15种,而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0。2的取法有:(4.3,4。5),(4.3,4.6),(4。3,4.7),(4。3,4。8),(4.4,4。6),(4.4,4。7),(4.4,4。8),(4。5,4。7),(4。5,4。8),(4.6,4.8),共有10种,故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0。2的概率为P=eq\f(10,15)=eq\f(2,3)。一、知识必备1.多个互斥事件的概率公式如果事件A1,A2,…,An彼此互斥,那么P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An),即彼此互斥事件和的概率等于概率和.2.性质6中公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)适用于一个随机试验中的任意两个事件,也适用于A,B为互斥事件的情况,因为互斥事件满足P(A∩B)=0,此时公式变为P(A∪B)=P(A)+P(B),这就是互斥事件的概率加法公式.二、方法必备1.运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏,分别求出各个事件的概率,然后用加法公式求出结果.2.求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率,然后再运用公式求解.如果采用方法一,一定要将事件分拆成若干互斥的事件,不能重复和遗漏;如果采用方法二,一定要找准其对立事件,否则容易出现错误.1.从集合{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个,若这个子集不是集合{a,b,c}的子集的概率是eq\f(3,4),则该子集恰是集合{a,b,c}的子集的概率是()A.eq\f(3,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,8)C[该子集恰是{a,b,c}的子集的概率为P=1-eq\f(3,4)=eq\f(1,4)。]2.甲、乙两队进行足球比赛,若两队战平的概率是eq\f(1,4),乙队胜的概率是eq\f(1,3),则甲队胜的概率是________.eq\f(5,12)[记甲队胜为事件A,则P(A)=1-eq\f(1,4)-eq\f(1,3)=eq\f(5,12)。]3.如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0。35,0.30,0。25,则不命中靶的概率是________.0。10[“射手命中圆面Ⅰ”为事件A,“命中圆环Ⅱ”为事件B,“命中圆环Ⅲ”为事件C,“不中靶”为事件D,则A,B,C彼此互斥,故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0。30+0。25=0.90。因为中靶和不中靶是对立事件,故不命中靶的概率为P(D)=1-P(A∪
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